2025高考數(shù)學(xué)壓軸專項(xiàng)題型專題14圓錐曲線中的證明問題含答案及解析

專題14圓錐曲線中的證明問題一、考情分析圓錐曲線中的證明問題在高考時有出現(xiàn),主要有兩大類：一是證明點(diǎn)線位置關(guān)系,如直線或曲線過某個點(diǎn)、直線平行與垂直、直線對稱等問題,二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系,如相等與不相等.二、解題秘籍(一)證明直線或圓過定點(diǎn)證明直線過定點(diǎn),通常是設(shè)出直線方程,由已知條件確定的關(guān)系.若,則,則直線過定點(diǎn),證明圓過定點(diǎn),常見題型是證明以AB為直徑的圓過定點(diǎn)P,只需證明.【例1】（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓C：的離心率為,橢圓的上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與橢圓C交于異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)P,Q,直線BP,BQ與x軸相交于,,若,求證：直線過一定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）∵,,∴,,．故橢圓方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓可得,解得,于是有：,,．由題意BP：,BQ：,分別和聯(lián)立得,,,由,得,即整理得,整理得,解得或者．當(dāng)時,直線過點(diǎn)B,與題意矛盾,應(yīng)舍去.故直線的方程為：,過定點(diǎn)為．【例2】（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期第二次考試）在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線,點(diǎn)M到l的距離為d,若點(diǎn)M滿足,記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè),證明：以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A．【解析】（1）設(shè)點(diǎn),則,由,得,兩邊平方整理得,則所求曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,消去并整理得,因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn),故,此時,所以,而.又,所以所以,即以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A.(二)證明與斜率有關(guān)的定值問題證明與斜率有關(guān)的定值問題通常是證明斜率之和或斜率之積為定值問題,此類問題通常是把斜率之和或斜率之積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示,再通過化簡使結(jié)果為定值,此外證明垂直問題可轉(zhuǎn)化為斜率之積為,證明兩直線關(guān)于直線或?qū)ΨQ,可轉(zhuǎn)化為證明斜率之和為0.【例3】（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為,,,面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)P作的兩條切線和,若,的斜率分別為,,求證：為定值.【解析】（1）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)正方形的一個頂點(diǎn)為,由,得,所以,整理得.①又,②由①②解得,,故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得,設(shè)點(diǎn),則.設(shè)過點(diǎn)P與相切的直線l的方程為,與聯(lián)立消去y整理可得,令,整理可得,③根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實(shí)根,所以,即為定值.【例4】（2023屆天津市第四十七中學(xué)高三上學(xué)期測試）已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線上.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),.直線和直線的斜率分別為和,求證：為定值.【解析】（1）對于直線,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線上,所以,所以,所以橢圓方程為,（2）因?yàn)樵跈E圓外,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),所以直線的斜率一定存在,所以設(shè)直線方程為,設(shè),由,得,,得,,因?yàn)?,所以(三)證明與線段長度有關(guān)的等式證明與線段長度有關(guān)的等式問題,一般是利用距離公式或弦長公式寫出長度表達(dá)式,再借助根與系數(shù)之間的關(guān)系或斜率、截距等證明等式兩邊相等.【例5】（2023屆江蘇省高三上學(xué)期起航調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線．,為C上兩點(diǎn),且,分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于,與y負(fù)半軸交于．(1)若,求橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)記的重心為G,直線,的斜率分別為,,且．若,證明：λ為定值．【解析】（1）設(shè),∵,∴,即,∴,直線的方程為：,整理可得,,令,則,即橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）的重心為,,∴,又,且,∴,化簡得,,∵,∴,.即,所以λ為定值．【例6】已知雙曲線的離心率是,點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn),且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ),證明：.【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設(shè),其漸近線方程為,因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以,因?yàn)殡p曲線的離心率是,所以,,解得所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在,設(shè),直線.聯(lián)立整理得,所以,.故.設(shè)直線的斜率為,同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ),所以,所以,則,即,所以.(四)證明代數(shù)式的值為定值或證明與代數(shù)式有關(guān)的恒等式證明此類問題一般是把代數(shù)式用點(diǎn)的坐標(biāo)表示后化簡，或構(gòu)造方程求解【例7】（2023屆甘肅省張掖市重點(diǎn)校高三上學(xué)期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,已知,橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點(diǎn),則聯(lián)立可得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個交點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,,,,,得,,,,．【例8】（2023屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期8月調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)．(1)求的重心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心,求證：．【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）設(shè),則有又,所以,即的重心的軌跡方程為；（2）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,利用等面積法有：結(jié)合橢圓定義：有,解得由?兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線的方程為根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有∴,∴∴,又化簡得,即∴,即由已知得,,則所以,即．三、跟蹤檢測1．（2023屆湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期11月聯(lián)考）設(shè)橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為,.,是該橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),且,若該橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線：交橢圓于,兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)下方）,過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn),求證：為定值.2．（2023屆河南省焦作市高三上學(xué)期期中）已知橢圓：的離心率為,點(diǎn),,橢圓的右頂點(diǎn)滿足.(1)求橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),證明：當(dāng)直線的傾斜角任意變化時,總存在實(shí)數(shù),使得.3．已知橢圓的長軸長為,,為的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在上運(yùn)動,且的最小值為.連接,并延長分別交橢圓于,兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)證明：為定值.4．（2022屆湖北省十堰市丹江口市高三下學(xué)期模擬）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為,點(diǎn)P為C上一動點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）,直線和直線與直線分別交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)垂直于x軸時,的面積為2．(1)求C的方程；(2)求證：為定值,并求出該定值．5．（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,求最大時直線的傾斜角；(2)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,若平行的直線與交于,兩點(diǎn),且與相交于點(diǎn),證明：點(diǎn)在定直線上.6．在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,以線段為直徑的圓與軸相切．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)是上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),的平行線交于,兩點(diǎn),交曲線在處的切線于點(diǎn),求證：.7．已知雙曲線,雙曲線的右焦點(diǎn)為F,圓C的圓心在y軸正半軸上,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,圓C與雙曲線Γ的右支交于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求△OFA的面積；(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是,求直線AB的方程；(3)求證：直線AB與圓x2+y2＝2相切．8．（2023屆湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知直線：與橢圓：相切于點(diǎn),與直線：相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線交于點(diǎn),兩點(diǎn),證明：．9．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,橢圓的長半軸的長等于它的焦距,且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于）,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),證明：軸.10．已知拋物線C：,其焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為AB的中點(diǎn).(1)若,M的坐標(biāo)為,求直線l的方程.(2)若直線l過焦點(diǎn)F,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：為定值.11．（2023屆河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)高三月考）己知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,左頂點(diǎn)為,離心率為．(1)求的方程；(2)若直線與交于點(diǎn),線段的中點(diǎn)分別為．設(shè)過點(diǎn)且垂直于軸的直線為,若直線與直線交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),求證：為定值．12．已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上,,是的兩條切線,,是切點(diǎn),直線與交于點(diǎn),證明：存在定點(diǎn),使得．13．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的離心率為,且過點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)若直線與C交于P,Q兩點(diǎn),且的面積是,求證：．14．（2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考）在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn),點(diǎn)與兩點(diǎn)的距離之和為為一動點(diǎn),點(diǎn)滿足向量關(guān)系式：．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)(在的左側(cè)),點(diǎn)為上一動點(diǎn)(且不與重合)．設(shè)直線軸與直線分別交于點(diǎn),取,連接,證明：為的角平分線．15．（2023屆山東省濟(jì)寧市汶上縣高三上學(xué)期質(zhì)量聯(lián)合檢測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,,動點(diǎn)在上且位于第一象限,.當(dāng)時,直線的斜率為.(1)求的方程；(2)設(shè),,證明：.

專題14圓錐曲線中的證明問題一、考情分析圓錐曲線中的證明問題在高考時有出現(xiàn),主要有兩大類：一是證明點(diǎn)線位置關(guān)系,如直線或曲線過某個點(diǎn)、直線平行與垂直、直線對稱等問題,二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系,如相等與不相等.二、解題秘籍(一)證明直線或圓過定點(diǎn)證明直線過定點(diǎn),通常是設(shè)出直線方程,由已知條件確定的關(guān)系.若,則,則直線過定點(diǎn),證明圓過定點(diǎn),常見題型是證明以AB為直徑的圓過定點(diǎn)P,只需證明.【例1】（2023屆重慶市南開中學(xué)校高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）已知橢圓C：的離心率為,橢圓的上頂點(diǎn)B到兩焦點(diǎn)的距離之和為4．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與橢圓C交于異于點(diǎn)B的兩點(diǎn)P,Q,直線BP,BQ與x軸相交于,,若,求證：直線過一定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）∵,,∴,,．故橢圓方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓可得,解得,于是有：,,．由題意BP：,BQ：,分別和聯(lián)立得,,,由,得,即整理得,整理得,解得或者．當(dāng)時,直線過點(diǎn)B,與題意矛盾,應(yīng)舍去.故直線的方程為：,過定點(diǎn)為．【例2】（2023屆福建省福州華僑中學(xué)高三上學(xué)期第二次考試）在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),直線,點(diǎn)M到l的距離為d,若點(diǎn)M滿足,記M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與C交于P,Q兩點(diǎn),設(shè),證明：以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A．【解析】（1）設(shè)點(diǎn),則,由,得,兩邊平方整理得,則所求曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,消去并整理得,因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn),故,此時,所以,而.又,所以所以,即以P,Q為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)A.(二)證明與斜率有關(guān)的定值問題證明與斜率有關(guān)的定值問題通常是證明斜率之和或斜率之積為定值問題,此類問題通常是把斜率之和或斜率之積用點(diǎn)的坐標(biāo)表示,再通過化簡使結(jié)果為定值,此外證明垂直問題可轉(zhuǎn)化為斜率之積為,證明兩直線關(guān)于直線或?qū)ΨQ,可轉(zhuǎn)化為證明斜率之和為0.【例3】（2023屆河南省安陽市高三上學(xué)期10月月考）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為,,,面積為的正方形ABCD的頂點(diǎn)都在上.(1)求的方程；(2)已知P為橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)P作的兩條切線和,若,的斜率分別為,,求證：為定值.【解析】（1）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)正方形的一個頂點(diǎn)為,由,得,所以,整理得.①又,②由①②解得,,故所求橢圓方程為.（2）由已知及（1）可得,設(shè)點(diǎn),則.設(shè)過點(diǎn)P與相切的直線l的方程為,與聯(lián)立消去y整理可得,令,整理可得,③根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實(shí)根,所以,即為定值.【例4】（2023屆天津市第四十七中學(xué)高三上學(xué)期測試）已知橢圓：的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線上.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),.直線和直線的斜率分別為和,求證：為定值.【解析】（1）對于直線,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)均在直線上,所以,所以,所以橢圓方程為,（2）因?yàn)樵跈E圓外,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),所以直線的斜率一定存在,所以設(shè)直線方程為,設(shè),由,得,,得,,因?yàn)?,所以(三)證明與線段長度有關(guān)的等式證明與線段長度有關(guān)的等式問題,一般是利用距離公式或弦長公式寫出長度表達(dá)式,再借助根與系數(shù)之間的關(guān)系或斜率、截距等證明等式兩邊相等.【例5】（2023屆江蘇省高三上學(xué)期起航調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線．,為C上兩點(diǎn),且,分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于,與y負(fù)半軸交于．(1)若,求橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)記的重心為G,直線,的斜率分別為,,且．若,證明：λ為定值．【解析】（1）設(shè),∵,∴,即,∴,直線的方程為：,整理可得,,令,則,即橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）的重心為,,∴,又,且,∴,化簡得,,∵,∴,.即,所以λ為定值．【例6】已知雙曲線的離心率是,點(diǎn)是雙曲線的一個焦點(diǎn),且點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)點(diǎn)在直線上,過點(diǎn)作兩條直線,直線與雙曲線交于兩點(diǎn),直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若直線與直線的傾斜角互補(bǔ),證明：.【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性,不妨設(shè),其漸近線方程為,因?yàn)榻裹c(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離是2.所以,因?yàn)殡p曲線的離心率是,所以,,解得所以,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意可知直線的斜率存在,設(shè),直線.聯(lián)立整理得,所以,.故.設(shè)直線的斜率為,同理可得.因?yàn)橹本€與直線的傾斜角互補(bǔ),所以,所以,則,即,所以.(四)證明代數(shù)式的值為定值或證明與代數(shù)式有關(guān)的恒等式證明此類問題一般是把代數(shù)式用點(diǎn)的坐標(biāo)表示后化簡或構(gòu)造方程求解【例7】（2023屆甘肅省張掖市重點(diǎn)校高三上學(xué)期檢測）橢圓的方程為,過橢圓左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點(diǎn),橢圓的右焦點(diǎn)為,已知,橢圓過點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,求證：為定值．【解析】（1）依題可知：,,所以,即,解得又∵橢圓過點(diǎn),則聯(lián)立可得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)、,,由題意可知,直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,可得,由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,直線與橢圓必有兩個交點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,,,,,得,,,,．【例8】（2023屆廣東省揭陽市高三上學(xué)期8月調(diào)研）已知?是橢圓：的左?右焦點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)．(1)求的重心的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心,求證：．【解析】（1）連接,由三角形重心性質(zhì)知在的三等分點(diǎn)處（靠近原點(diǎn)）設(shè),則有又,所以,即的重心的軌跡方程為；（2）根據(jù)對稱性,不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi),易知圓的半徑為等于,利用等面積法有：結(jié)合橢圓定義：有,解得由?兩點(diǎn)的坐標(biāo)可知直線的方程為根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,有∴,∴∴,又化簡得,即∴,即由已知得,,則所以,即．三、跟蹤檢測1．（2023屆湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期11月聯(lián)考）設(shè)橢圓：的左?右焦點(diǎn)分別為,.,是該橢圓的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),且,若該橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線：交橢圓于,兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)下方）,過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn),交直線于點(diǎn),求證：為定值.【解析】（1）由題可得,,所以,因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,結(jié)合橢圓中可知,,.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意作如圖：設(shè),,直線的方程為,將點(diǎn)代入得：,∴直線：.由于橢圓：,∴,,聯(lián)立方程得,由,得,,,直線的方程為：,直線的方程為：,,,運(yùn)用,能證得：②,下面證明②：,運(yùn)用①中的韋達(dá)定理：,即②成立,∴,即點(diǎn)和的縱坐標(biāo)之和等于點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍,∴點(diǎn)是線段的中點(diǎn),即,綜上,,故為定值.2．（2023屆河南省焦作市高三上學(xué)期期中）已知橢圓：的離心率為,點(diǎn),,橢圓的右頂點(diǎn)滿足.(1)求橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離；(2)若經(jīng)過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),證明：當(dāng)直線的傾斜角任意變化時,總存在實(shí)數(shù),使得.【解析】（1）解：,因?yàn)?所以,即,所以,解得,離心率,所以,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,設(shè),則,當(dāng)時,,所以橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為1；（2）證明：當(dāng)直線的傾斜角為時,直線與軸重合,不妨取,則,由,得,所以此時存在實(shí)數(shù),使得,當(dāng)直線的傾斜角不為時,設(shè)直線方程為,則,聯(lián)立,消得,則,.所以直線的傾斜角互補(bǔ),則平分,所以當(dāng)直線的傾斜角任意變化時,總存在實(shí)數(shù),使得,綜上所述,當(dāng)直線的傾斜角任意變化時,總存在實(shí)數(shù),使得.3．已知橢圓的長軸長為,,為的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在上運(yùn)動,且的最小值為.連接,并延長分別交橢圓于,兩點(diǎn).(1)求的方程；(2)證明：為定值.【解析】（1）由題意得,設(shè),的長分別為,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,從而,得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）得,,設(shè),,設(shè)直線的方程為,直線的方程為,由,得,則,,同理可得,所以.所以為定值.4．（2022屆湖北省十堰市丹江口市高三下學(xué)期模擬）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為,右焦點(diǎn)為,點(diǎn)P為C上一動點(diǎn)（異于兩點(diǎn)）,直線和直線與直線分別交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)垂直于x軸時,的面積為2．(1)求C的方程；(2)求證：為定值,并求出該定值．【解析】（1）由題意知,則．當(dāng)軸時,,故的面積,解得,故C的方程為．（2）由（1）得,設(shè),則直線,令,得；直線,令得．故,因?yàn)?故,又,則．因此,故,即．5．（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、為焦點(diǎn)的拋物線為,過點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,求最大時直線的傾斜角；(2)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r,若平行的直線與交于,兩點(diǎn),且與相交于點(diǎn),證明：點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）設(shè)直線的方程為,,記,,則,則由題設(shè)得拋物線方程為聯(lián)立消去得∴,∴令則∴由單調(diào)性得當(dāng)時,最大為,此時,直線的傾斜角為90°（2）設(shè),則由得∴∴又∵∴同理∴又∵∴∴∴點(diǎn)在定直線上.6．在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,以線段為直徑的圓與軸相切．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)是上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),的平行線交于,兩點(diǎn),交曲線在處的切線于點(diǎn),求證：.【解析】（1）設(shè)點(diǎn),因?yàn)?所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切,所以,即,故,化簡得,所以的軌跡的方程為.（2）因?yàn)槭巧蠙M坐標(biāo)為2的點(diǎn),所以由(1)得,所以直線的斜率為1,因?yàn)?所以可設(shè)直線的方程為,由,得,得,則曲線在處的切線的斜率為,所以曲線在處的切線方程為,聯(lián)立,得,所以,所以,聯(lián)立,化簡得,有,解得,設(shè),,則,,因?yàn)?,在上,所以,,所以,因?yàn)?所以.7．已知雙曲線,雙曲線的右焦點(diǎn)為F,圓C的圓心在y軸正半軸上,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,圓C與雙曲線Γ的右支交于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求△OFA的面積；(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是,求直線AB的方程；(3)求證：直線AB與圓x2+y2＝2相切．【解析】（1）由題意△OFA是以F為直角頂點(diǎn)的直角三角形,,所以點(diǎn)A在直線處,設(shè)A,代入,解得,取則,所以△OFA的面積；（2）設(shè)圓C圓心坐標(biāo)為,因其過原點(diǎn),則.故圓C方程為：.代入點(diǎn)A,得,解得.將圓C方程與聯(lián)立得,消去得：解得.又B點(diǎn)在雙曲線右支,故B.則AB方程為：.化簡為即.（3）證明：由題直線AB斜率必存在,故設(shè)直線AB的方程為,A（x1,y1）,B（x2,y2）,圓C的方程為,由,消去y得:由題意,得：,且,由,消去x化簡得：,所以.所以,即得原點(diǎn)O到直線AB的距離,所以直線AB與圓相切．8．（2023屆湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知直線：與橢圓：相切于點(diǎn),與直線：相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線交于點(diǎn),兩點(diǎn),證明：．【解析】（1）,消得：,解得：,故；（2）聯(lián)立,解之得：聯(lián)立,消得：,由題可得：,∴,．,,,,∴,又,∴．9．（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期月考）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為,橢圓的長半軸的長等于它的焦距,且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于）,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),證明：軸.【解析】（1）由題意,即,故橢圓,代入點(diǎn),可得,解得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意右焦點(diǎn),,,若直線斜率不存在,直線方程為：,代入橢圓方程可得,解得,即,故直線,,,,聯(lián)立,可得；聯(lián)立,可得,,故軸；若直線斜率存在,直線方程為：,與橢圓聯(lián)立,即,恒成立,不妨設(shè),故,故直線,,,,聯(lián)立,可得；聯(lián)立,可得,,故軸；綜上：軸.10．已知拋物線C：,其焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A,B,M為AB的中點(diǎn).(1)若,M的坐標(biāo)為,求直線l的方程.(2)若直線l過焦點(diǎn)F,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：為定值.【解析】（1）由題意知直線l的斜率存在且不為0,故設(shè)直線l的方程為即,設(shè),.由得y2－4ty－4＋4t＝0,∴,,∴,即.∴直線l的方程為.（2）證明如下：∵拋物線C：,∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為.由題意知直線l的斜率存在且不為0,∵直線l過焦點(diǎn)F,故設(shè)直線l的方程為,設(shè),.由,得,∴,.∴,∴M.∴MN的方程為.令,解得,N,∴,,∴,為定值.11．（2023屆河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)高三月考）己知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,左頂點(diǎn)為,離心率為．(1)求的方程；(2)