題型13 6類解三角形公式定理解題技巧（海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式）-高考數(shù)學必考模型歸納

題型136類解三角形公式定理解題技巧（海倫、射影、角平分線、張角、倍角、恒等式）技法01技法01海倫公式的應用及解題技巧技法02射影定理的應用及解題技巧技法03角平分線定理的應用及解題技巧技法04張角定理的應用及解題技巧技法05倍角定理的應用及解題技巧技法0610類恒等式的應用及解題技巧技法01海倫公式的應用及解題技巧海倫-秦九韶公式能夠解決已知三邊的三角形的面積求解，是解三角形中必不可少的解題利器，也會作為材料題在高考及模考中出現(xiàn)，需加以練習海倫-秦九韶公式能夠解決已知三邊的三角形的面積求解，是解三角形中必不可少的解題利器，也會作為材料題在高考及?？贾谐霈F(xiàn)，需加以練習.知識遷移海倫-秦九韶公式三角形的三邊分別是a、b、c，則三角形的面積為其中，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學家海倫所發(fā)現(xiàn)并證明。我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:例1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積．【詳解】因為，所以．故答案為：.1．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）在古希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三邊長求三角形的面積．若三角形的三邊分別為a，b，c，則其面積，這里．已知在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則的面積最大值為（

）．A． B． C．10 D．122．（2023上·河北石家莊·高三?？茧A段練習）海倫公式是利用三角形的三條邊的邊長a，b，c直接求三角形面積S的公式，表達式為：（其中）；它的特點是形式漂亮，便于記憶．中國宋代的數(shù)學家秦九韶在1247年獨立提出了“三斜求積術”，但它與海倫公式完全等價，因此海倫公式又譯作海倫-秦九韶公式．現(xiàn)在有周長為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為（

）A． B． C． D．123．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預測）（多選）古希臘的數(shù)學家海倫在他的著作《測地術》中最早記錄了“海倫公式”：，其中，a，b，c分別為的三個內角A，B，C所對的邊，該公式具有輪換對稱的特點．已知在中，，且的面積為，則（

）A．角A，B，C構成等差數(shù)列 B．的周長為36C．的內切圓面積為 D．邊上的中線長度為技法02射影定理的應用及解題技巧三角形中隱藏著許多性質，比如三角形射影定理就能夠在解三角形中簡化計算過程，但是在考試中解答題不能直接使用，需要推導。不少高考原題用射影定理可以三角形中隱藏著許多性質，比如三角形射影定理就能夠在解三角形中簡化計算過程，但是在考試中解答題不能直接使用，需要推導。不少高考原題用射影定理可以快速化簡得出答案，在一些小題中，應用三角形射影定理能夠快速得到答案，需強化練習知識遷移射影定理，，例2．（全國·高考真題）的內角的對邊分別為，若，則．在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.1．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c，若，則．2．（全國·高考真題）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．4．（上海虹口·高三上外附中?？计谥校┰谥校?，則（

）A．，，依次成等差數(shù)列B．，，依次成等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列D．，，既成等差數(shù)列，也成等比數(shù)列5．（2023·全國·高三專題練習）在中，三個內角、、所對的邊分別為、、，若的面積，，，則.技法03角平分線定理的應用及解題技巧在解三角形中，應用角平分線定理及其變形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點，需重點學習在解三角形中，應用角平分線定理及其變形公式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點，需重點學習.知識遷移角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）例3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．由余弦定理可得，，因為，解得：，則計算即可，故答案為：．1．（2023·全國·高三專題練習）△中，邊內上有一點，證明：是的角平分線的充要條件是．2．（2023春·寧夏銀川·高三校考階段練習）在中，角A的角平分線交于點D，且，則等于（

）A． B．C． D．3．（2023春·湖北·高一赤壁一中校聯(lián)考階段練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，，則角A的角平分線.

4．（2023春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角A的大??；(2)若，，AD是△ABC的角平分線，求AD的長.技法04張角定理的應用及解題技巧在解三角形中，應用張角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點，需重點學習在解三角形中，應用張角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的高頻考點，需重點學習.知識遷移張角定理例4-1．（內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，已知是中的角平分線，交邊于點.（1）用正弦定理證明：；（2）若，，，求的長.先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為．例4-2．在中,角所對的邊分別為,已知點在邊上,,則__________解：如圖由張角定理得:即在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c2.在中,角所對的邊分別為是的角平分線,若,則的最小值為_______3．（2023上·河南信陽·高二河南宋基信陽實驗中學?？计谀┲?，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，，交AC于點D，且，的最小值為（

）A． B． C．8 D．技法05倍角定理的應用及解題技巧在解三角形中，應用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習在解三角形中，應用倍角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習.知識遷移倍角定理在中,三個內角的對邊分別為,(1)如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:倍角定理的逆運用在中,三個內角A、B、C的對邊分別為,如果,則有:，(2)如果,則有:，(3)如果,則有:。例5．在△ABC中,角A、?B、C所對的邊分別為a、b、c,若B=∵B=2A即1.在△ABC中,角A、?B、C所對的邊分別為a、b、c,已知8?b=2.在△ABC中,角A、?B、C所對的邊分別為a、b、c,若A=3.△ABC中,角A、?B、C所對的邊分別為a、?b、c,若a2?b2=bc,且4.（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足．(1)證明：；(2)求的取值范圍．技法0610類恒等式的應用及解題技巧在解三角形中，應用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習在解三角形中，應用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命題的重要考點，需重點學習.知識遷移三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；