時(shí)域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真

時(shí)域有限差分法（FDTD算法）時(shí)域有限差分法是1966年K.S.Yee發(fā)表在AP上的一篇論文建立起來的，后被稱為Yee網(wǎng)格空間離散方式。這種方法通過將Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為有限差分式而直接在時(shí)域求解,通過建立時(shí)間離散的遞進(jìn)序列,在相互交織的網(wǎng)格空間中交替計(jì)算電場(chǎng)和磁場(chǎng)。FDTD算法的基本思想是把帶時(shí)間變量的Maxwell旋度方程轉(zhuǎn)化為差分形式，模擬出電子脈沖和理想導(dǎo)體作用的時(shí)域響應(yīng)。需要考慮的三點(diǎn)是差分格式、解的穩(wěn)定性、吸收邊界條件。有限差分通常采用的步驟是：采用一定的網(wǎng)格劃分方式離散化場(chǎng)域；對(duì)場(chǎng)內(nèi)的偏微分方程及各種邊界條件進(jìn)行差分離散化處理，建立差分格式，得到差分方程組；結(jié)合選定的代數(shù)方程組的解法，編制程序，求邊值問題的數(shù)值解。FDTD的基本原理FDTD方法由Maxwell旋度方程的微分形式出發(fā)，利用二階精度的中心差分近似，直接將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為差分運(yùn)算，這樣達(dá)到了在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)數(shù)據(jù)的抽樣壓縮。Maxwell方程的旋度方程組為：（1）在直角坐標(biāo)系中，（1）式可化為如下六個(gè)標(biāo)量方程：，（2）上面的六個(gè)偏微分方程是FDTD算法的基礎(chǔ)。Yee首先在空間上建立矩形差分網(wǎng)格，在時(shí)刻時(shí)刻，F(xiàn)(x,y,z)可以寫成（3）用中心差分取二階精度：對(duì)空間離散：對(duì)時(shí)間離散：（4）Yee把空間任一網(wǎng)格上的E和H的六個(gè)分量，如下圖放置:圖1Yee氏網(wǎng)格及其電磁場(chǎng)分量分布在FDTD中，空間上連續(xù)分布的電磁場(chǎng)物理量離散的空間排布如圖所示。由圖可見，電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間交叉放置，各分量的空間相對(duì)位置也適合于Maxwell方程的差分計(jì)算，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌?chǎng)的傳播特性。同時(shí)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)在時(shí)間上交替抽樣，抽樣時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步，使Maxwell旋度方程離散以后構(gòu)成顯式差分方程，從而可以在時(shí)間上迭代求解，而不需要進(jìn)行矩陣求逆運(yùn)算。因此，由給定相應(yīng)電磁問題的初始條件，F(xiàn)DTD就可以逐步推進(jìn)地求得以后各個(gè)時(shí)刻空間電磁場(chǎng)的分布。根據(jù)這一原則可以寫出六個(gè)差分方程:（5）（5）其余的也如法可以寫出，每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的個(gè)場(chǎng)分兩的新值依賴于該點(diǎn)在前一時(shí)間步長時(shí)刻的值機(jī)該點(diǎn)周圍的臨近點(diǎn)上另一場(chǎng)量在早半個(gè)時(shí)間步長時(shí)的值。因此任一時(shí)刻可一次算出一個(gè)點(diǎn)，并行算法可計(jì)算出多個(gè)點(diǎn)。通過這些運(yùn)算可以交替算出電場(chǎng)磁場(chǎng)在各個(gè)時(shí)間步的值。已知0時(shí)刻空間各處的電磁場(chǎng)初始值根據(jù)上述已知0