高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)公式建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程.3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法以及其簡單應(yīng)用.4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用．一變量的相關(guān)關(guān)系1．對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析．其基本步驟是：(1)畫散點(diǎn)圖；(2)求回歸直線方程；(3)用回歸直線方程作預(yù)報(bào)．2．常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系．與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．3．從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．二樣本相關(guān)系數(shù)1．r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).2．當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．3．|r|≤1.當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．三一元線性回歸模型1．我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))2．殘差：觀測值減去預(yù)測值，稱為殘差．四列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)1．關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：YXY＝0Y＝1合計(jì)X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d2.計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn).α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828常/用/結(jié)/論1．經(jīng)驗(yàn)回歸直線過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．2．求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，常用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).3．回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)都是基于成對(duì)樣本觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或推斷，得出的結(jié)論都可能犯錯(cuò)誤．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平呈正相關(guān)．(√)(2)經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)．()(3)樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．(√)(4)殘差平方和越大，線性回歸模型的擬合效果越好．()2．如圖，有5個(gè)(x，y)數(shù)據(jù)，去掉D(3,10)后，下列說法錯(cuò)誤的是()A．樣本相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C．決定系數(shù)R2變大D．解釋變量x與響應(yīng)變量y的相關(guān)程度變強(qiáng)解析：去掉一個(gè)極端值，根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)、殘差平方和的定義、決定系數(shù)R2的含義可知，A，C，D正確．故選B．答案：B3．(2020·全國Ⅰ卷，理)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx解析：由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象的附近，因此最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型是y＝a＋blnx．故選D．答案：D4．在下列兩個(gè)分類變量X，Y的樣本頻數(shù)列聯(lián)表中，可以判斷X，Y之間有無關(guān)系的是()y1y2合計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋dA．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(b,c＋d))) B．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a＋b)－\f(d,c＋d)))C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a＋b)－\f(c,c＋d))) D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))解析：∵χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，∴分類變量X和Y有關(guān)系時(shí)，ad與bc差距會(huì)比較大，由eq\f(a,a＋b)－eq\f(c,c＋d)＝eq\f(ac＋ad－ac－bc,a＋bc＋d)＝eq\f(ad－bc,a＋bc＋d)，故eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的值相差應(yīng)該大，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,a＋b)－\f(c,c＋d)))的大小可以判斷X，Y之間有無關(guān)系．答案：D題型變量的相關(guān)關(guān)系典例1(1)(2023·天津卷)調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r＝0.8245，下列說法正確的是正相關(guān)，且相關(guān)程度較強(qiáng)．()A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B．花瓣長度和花萼長度呈負(fù)相關(guān)C．花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)數(shù)一定是0.8245相關(guān)性可能變強(qiáng)，也可能變?nèi)酰?2)(2024·貴州貴陽摸底)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()①相關(guān)系數(shù)為r1②相關(guān)系數(shù)為r2③相關(guān)系數(shù)為r3④相關(guān)系數(shù)為r4A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3解析：(1)根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈正相關(guān)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；由于r＝0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．(2)易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是①比③擬合程度高，故r1＞r3＞0.負(fù)相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點(diǎn)集中分布在一②比④擬合程度高，由于r2，r4均小于0，故r2＜r4＜0.條直線附近，則r2<r4<0<r3<r1.故選A．判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法(1)散點(diǎn)圖法：如果所有的樣本點(diǎn)都落在某條曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，|r|越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．對(duì)點(diǎn)練1已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，若用y＝b1ln(k1x)與y＝k2x＋b2擬合時(shí)的相關(guān)系數(shù)分別為r1，r2，則比較r1，r2的大小結(jié)果為()A．r1>r2 B．r1＝r2C．r1<r2 D．不確定解析：由散點(diǎn)圖可知，用y＝b1ln(k1x)擬合比用y＝k2x＋b2擬合的程度高，故|r1|>|r2|.又因?yàn)樽兞縳，y呈負(fù)相關(guān)，所以－r1>－r2，即r1<r2.答案：C題型一元線性回歸模型典例2人類社會(huì)正進(jìn)入數(shù)字時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)成為了生活中必不可少的工具，智能手機(jī)也給我們的生活帶來了許多方便．但是這些方便又時(shí)尚的手機(jī)，卻也讓我們的眼睛離健康越來越遠(yuǎn)．為了解手機(jī)對(duì)視力的影響程度，某研究小組在經(jīng)常使用手機(jī)的大學(xué)生中進(jìn)行了隨機(jī)調(diào)查，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了換算，統(tǒng)計(jì)了大學(xué)生一個(gè)月中平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x(單位：h)和視力損傷指數(shù)y的數(shù)據(jù)如下表：平均每天使用手機(jī)的時(shí)間x(h)1234567視力損傷指數(shù)y25812151923(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)該小組研究得知：視力的下降值t與視力損傷指數(shù)y滿足函數(shù)關(guān)系式t＝eq\f(1,20)·eq\r(,y＋2.5)＋0.05，如果小明在一個(gè)月中平均每天使用9個(gè)小時(shí)手機(jī)，根據(jù)(1)中所建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)小明視力的下降值(結(jié)果保留一位小數(shù))．參考公式及數(shù)據(jù)：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，eq\r(,2)≈1.414.解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋5＋8＋12＋15＋19＋23,7)＝12，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)2)也可用eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2).＝eq\f(30＋14＋4＋0＋3＋14＋33,9＋4＋1＋0＋1＋4＋9)＝eq\f(98,28)＝3.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝12－3.5×4＝－2，所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.5x－2.(2)如果小明在一個(gè)月中平均每天使用9個(gè)小時(shí)手機(jī)，那么小明的視力損傷指數(shù)為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.5×9－2＝29.5，所以t＝eq\f(1,20)×eq\r(,29.5＋2.5)＋0.05＝eq\f(\r(,2),5)＋0.05≈0.3，估計(jì)小明視力的下降值為0.3.注意是用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來估計(jì)的．求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟對(duì)點(diǎn)練2(2024·安徽蚌埠模擬)某商業(yè)銀行對(duì)存款利率與日均存款總額的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)存款利率每上升一定的百分點(diǎn)，日均存款總額就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到下表：利率上升百分點(diǎn)x0.10.20.30.40.5日均存款總額y(億元)0.20.350.50.650.8(1)在給出的坐標(biāo)系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)已知現(xiàn)行利率下的日均存款總額為0.625億元，試根據(jù)(2)中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測日均存款總額為現(xiàn)行利率下的2倍時(shí)，利率需上升多少個(gè)百分點(diǎn)？參考公式及數(shù)據(jù)：①eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，②eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝0.9，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝0.55.解：(1)如圖所示．(2)由表格數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(0.9－5×0.3×0.5,0.55－5×0.3×0.3)＝1.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋0.05.(3)設(shè)利率需上升x個(gè)百分點(diǎn)，由(2)得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以預(yù)測利率需上升0.8個(gè)百分點(diǎn)．題型一元非線性回歸模型典例32021年初，某公司研發(fā)一種新產(chǎn)品并投入市場，開始銷量較少，經(jīng)推廣，銷量逐月增加，下表為2021年1月份到7月份，銷量y(單位：百件)與月份x之間的關(guān)系.月份x1234567銷量y611213466101196(1)畫出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y＝ax＋b與y＝cdx(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適合作為銷量y與月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型(給出判斷即可，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測2021年8月份的銷量；(3)考慮銷量、產(chǎn)品更新及價(jià)格逐漸下降等因素，預(yù)測從2021年1月份到12月份(x的取值依次記作1到12)，每百件該產(chǎn)品的利潤為P＝10－0.05x2＋0.6x元，求2021年幾月份該產(chǎn)品的利潤Q最大．參考數(shù)據(jù)：eq\x\to(y)eq\x\to(v)eq\i\su(i＝1,7,x)iyieq\i\su(i＝1,7,x)ivi100.5462.141.54253550.123.47其中vi＝lgyi，eq\x\to(v)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,v)i.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解：(1)散點(diǎn)圖如下圖，由散點(diǎn)圖知用曲線型擬合．根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝cdx適合作為銷量y與月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型．(2)對(duì)y＝cdx兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得lgy＝lgc＋xlgd，目的：非線性轉(zhuǎn)線性．由lgy＝v，得eq\o(v,\s\up6(^))＝lgeq\o(c,\s\up6(^))＋xlgeq\o(d,\s\up6(^))，因?yàn)閑q\x\to(x)＝4，eq\x\to(v)＝1.54，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝140，eq\i\su(i＝1,7,x)ivi＝50.12，所以lgeq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)ivi－7\x\to(x)\x\to(v),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(50.12－7×4×1.54,140－7×42)＝0.25，再把(4,1.54)代入eq\o(v,\s\up6(^))＝lgeq\o(c,\s\up6(^))＋xlgeq\o(d,\s\up6(^))，得lgeq\o(c,\s\up6(^))＝0.54，所以eq\o(v,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x，即lgeq\o(y,\s\up6(^))＝0.54＋0.25x.所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.54＋0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x，把x＝8代入上式，得eq\o(y,\s\up6(^))＝3.47×102＝347，所以預(yù)測2021年8月份的銷量為347百件．注意答題的準(zhǔn)確性．(3)由題意得Q＝y(tǒng)P＝3.47×10－0.05x2＋0.85x(x∈N本質(zhì)是研究指數(shù)的最值．且1≤x≤12)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝－0.05x2＋0.85x(x∈N且1≤x≤12)，可直接求對(duì)稱軸x＝8.5?N*，則x＝8或9時(shí)，f(x)最大．得f′(x)＝－0.1x＋0.85，令f′(x)＝0，得x＝8.5.所以當(dāng)x＝8或9時(shí)，f(x)取最大值，即2021年8月份或9月份該產(chǎn)品的利潤Q最大．解決非線性回歸模型的應(yīng)用問題的關(guān)鍵是對(duì)非線性回歸函數(shù)模型作變換，一般思路是換元，化非線性為線性，進(jìn)而應(yīng)用線性回歸的方法進(jìn)行求解．如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(①若\o(y,\s\up6(^))＝\o(a,\s\up6(^))＋\o(b,\s\up6(^))\r(,x)，設(shè)t＝\r(,x)，則\o(y,\s\up6(^))＝\o(a,\s\up6(^))＋\o(b,\s\up6(^))t；,②若滿足對(duì)數(shù)式：\o(y,\s\up6(^))＝\o(a,\s\up6(^))＋\o(b,\s\up6(^))lnx，設(shè)t＝lnx，,則\o(y,\s\up6(^))＝\o(a,\s\up6(^))＋\o(b,\s\up6(^))t；,③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對(duì)數(shù)得,lny＝lnc1＋c2x，設(shè)z＝lny，\o(a,\s\up6(^))＝lnc1，\o(b,\s\up6(^)),＝c2，則\o(z,\s\up6(^))＝\o(a,\s\up6(^))＋\o(b,\s\up6(^))x.))eq\o(,\s\do4())對(duì)點(diǎn)練3數(shù)獨(dú)是一種運(yùn)用紙、筆進(jìn)行演算的數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個(gè)粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復(fù)．?dāng)?shù)獨(dú)愛好者小明打算報(bào)名參加“絲路杯”全國數(shù)獨(dú)大賽初級(jí)組的比賽，賽前小明在某數(shù)獨(dú)APP上進(jìn)行一段時(shí)間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度y(秒)與訓(xùn)練天數(shù)x(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到下表的數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒)990990450320300240210(1)現(xiàn)用y＝a＋eq\f(b,x)作為經(jīng)驗(yàn)回歸模型，請(qǐng)利用表中數(shù)據(jù)，求出該經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)請(qǐng)用第(1)題的結(jié)論，預(yù)測小明經(jīng)過100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數(shù)據(jù)：其中ti＝eq\f(1,xi)，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝1845，eq\x\to(t)≈0.37，eq\i\su(i＝1,7,t)eq\o\al(2,i)－7eq\x\to(t)2≈0.55.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v)),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解：(1)由題意得eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)×(990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，令t＝eq\f(1,x)，得y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))，則有eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,t)iyi－7\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,t)\o\al(2,i)－7\x\to(t)2)≈eq\f(1845－7×0.37×500,0.55)＝1000，eq\o(a,\s\up6(^))≈500－1000×0.37＝130，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝1000t＋130，又t＝eq\f(1,x)，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1000,x)＋130.(2)當(dāng)x＝100時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝140，所以經(jīng)過100天訓(xùn)練后，小明每天解題的平均速度約為140秒．題型獨(dú)立性檢驗(yàn)典例4(2023·全國甲卷，理)一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，測得40只小白鼠體重(單位：g)如下(已按從小到大排列)：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?7．318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?．46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0(1)設(shè)其中兩只小白鼠中對(duì)照組小白鼠數(shù)目為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；X服從超幾何分布．(2)①求40只小白鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2×2列聯(lián)表：<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組②根據(jù)2×2列聯(lián)表，能否有95%的把握在臨界值表中找0.05.認(rèn)為臭氧對(duì)小白鼠生長有抑制作用．參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.100.050.010k02.7063.8416.635解：(1)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(20,38),C\o\al(20,40))＝eq\f(19,78)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(19,38),C\o\al(20,40))＝eq\f(20,39)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(18,38),C\o\al(20,40))＝eq\f(19,78)，所以X的分布列為X012Peq\f(19,78)eq\f(20,39)eq\f(19,78)E(X)＝0×eq\f(19,78)＋1×eq\f(20,39)＋2×eq\f(19,78)＝1.(2)①依題意，可知這40只小白鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排列后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這是研究中位數(shù)的前提，也是易錯(cuò)點(diǎn)．由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組前10位數(shù)據(jù)與試驗(yàn)組后8位數(shù)據(jù)即可，可得第11位數(shù)據(jù)為14.4，后續(xù)依次為17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2，23.6，…，故第20位為23.2，第21位數(shù)據(jù)為23.6，所以m＝eq\f(23.2＋23.6,2)＝23.4，故列聯(lián)表為<m≥m合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040②由①可得，K2＝eq\f(40×6×6－14×142,20×20×20×20)＝6.400>3.841，K2與臨界值大小作比較，作統(tǒng)計(jì)判斷．所以能有95%的把握認(rèn)為臭氧對(duì)小白鼠生長有抑制作用．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟對(duì)點(diǎn)練4(2024·湖南永州模擬)為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某4S店對(duì)近期購車的男性與女性各100位進(jìn)行問卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下列聯(lián)表(m≤40，m∈N).購買新能源汽車(人數(shù))購買傳統(tǒng)燃油車(人數(shù))男性80－m20＋m女性60＋m40－m(1)當(dāng)m＝0時(shí)，將樣本中購買傳統(tǒng)燃油車的購車者按性別采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)定義χ2＝∑eq\f(Aij－Bij2,Bij)(2≤i≤3,2≤j≤3，i，j∈N)，其中Aij為列聯(lián)表中第i行第j列的實(shí)際數(shù)據(jù)，Bij為列聯(lián)表中第i行與第j列的總頻率之積再乘列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)．基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)H0(變量X，Y相互獨(dú)立)，然后計(jì)算χ2