高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《一元二次不等式的解法》專項(xiàng)測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《一元二次不等式的解法》專項(xiàng)測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.2.會解一元二次不等式和分式不等式.3.了解較簡單的不等式恒成立問題的解法．一一元二次不等式的解法1．將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．2．計算相應(yīng)的判別式．3．當(dāng)Δ≥0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根．4．利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．二三個二次之間的關(guān)系三個二次間的關(guān)系，最終轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來理解二次方程的根，二次不等式的解集．判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??三分式不等式與整式不等式eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.四簡單的絕對值不等式|x|>a(a>0)的解集為{x＜－a或x＞a}；|x|<a(a>0)的解集為{x|－a＜x＜a}．常/用/結(jié)/論1．a(chǎn)x2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．a(chǎn)x2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件a<0且b2－4ac<0(x∈R)．判別式的符號，可判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù)，從數(shù)形結(jié)合的角度理解恒成立問題．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．()(2)不等式eq\f(x－1,x＋3)≥2等價于x－1≥2x＋6.()(3)不等式x2－a≤0的解集是[－eq\r(a)，eq\r(a)]．()(4)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，關(guān)于x的不等式f(x)＜0的解集為(－1,3)，則f(4)＞f(0)＞f(1)．(√)2．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集為{x|－2＜x＜1}，則a＋b＝()A．－2 B．0C．1 D．2解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－2＋1，,－\f(2,a)＝－2×1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))所以a＋b＝2.答案：D3．若關(guān)于x的一元二次不等式2x2－kx＋eq\f(3,8)＞0對于一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．{k|k＜－eq\r(3)}B．{k|k＞eq\r(3)}C．{k|－eq\r(3)＜k＜eq\r(3)}D．{k|k＜－eq\r(3)或k＞eq\r(3)}解析：由題意，知Δ＝(－k)2－4×2×eq\f(3,8)＜0，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).故選C．答案：C4．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集為()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪[1，＋∞)解析：原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－12x＋1≤0，,2x＋1≠0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤1，,x≠－\f(1,2)，))即－eq\f(1,2)<x≤1.故原不等式的解集為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).故選A．答案：A題型一元二次不等式解法的多維研討維度1一元二次不等式的解法典例1解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)0＜x2－x－2≤4.兩題角度不同呢！(1)題先轉(zhuǎn)變二次項(xiàng)系數(shù)為正．(2)題轉(zhuǎn)化為不等式組．解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤eq\f(4,3)，所以原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(4,3))))).(2)原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－2≤4))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2x＋1＞0，,x－3x＋2≤0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3.))借助于數(shù)軸，如圖所示，數(shù)形結(jié)合此時固然很好，但是更應(yīng)加強(qiáng)心算能力．原不等式的解集為{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．解一元二次不等式的一般方法和步驟(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)判：計算對應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根(無實(shí)根時，不等式的解集為R或?)．(3)求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根．(4)寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．對點(diǎn)練1解關(guān)于x的不等式．(1)－3x2＋6x≤2；(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)＞0.解：(1)原不等式等價于3x2－6x＋2≥0.∵Δ＝12＞0，∴方程3x2－6x＋2＝0有兩個實(shí)數(shù)根，解得x1＝eq\f(3－\r(3),3)，x2＝eq\f(3＋\r(3),3)，畫出函數(shù)y＝3x2－6x＋2的圖象，如圖所示，由圖可得原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).(2)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，∴x2－x－1＞0.由求根公式知方程x2－x－1＝0的兩根為x1＝eq\f(1－\r(5),2)，x2＝eq\f(1＋\r(5),2).∴x2－x－1＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1－\r(5),2)或x＞\f(1＋\r(5),2))))).∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1－\r(5),2)或x＞\f(1＋\r(5),2))))).維度2分式不等式的解題技法典例2解不等式eq\f(1－2x,x＋1)≥0.解：原不等式可化為(1－2x)(x＋1)≥0且x＋1≠0，解得－1＜x≤eq\f(1,2)，故所求不等式轉(zhuǎn)化為乘積式后，注明分母不為零．的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜x≤\f(1,2))))).1．分式不等式的轉(zhuǎn)化途徑解分式不等式的實(shí)質(zhì)是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．(1)eq\f(fx,gx)>0?f(x)g(x)>0.(2)eq\f(fx,gx)<0?f(x)g(x)<0.(3)eq\f(fx,gx)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(4)eq\f(fx,gx)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≤0，,gx≠0.))2．“穿針引線法”解一元高次不等式如果分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般使用穿針引線法(亦稱數(shù)軸標(biāo)根法)求解．畫出符號波浪線，特點(diǎn)是：(1)最右端的區(qū)間符號為正．(2)從右至左符號正負(fù)交替，并關(guān)注因子的指數(shù)奇偶的變化，從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)，注意應(yīng)遵循“奇穿偶切”原則．如(x－1)2(x－2)(x－3)≥0在數(shù)軸上標(biāo)根穿線時，點(diǎn)1處的線過而不穿．對點(diǎn)練2解不等式eq\f(3x2－14x＋14,x2－6x＋8)≥1.解：原不等式可化為eq\f(3x2－14x＋14,x2－6x＋8)－1≥0，整理得eq\f(x－1x－3,x－4x－2)≥0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1x－2x－3x－4≥0，,x－4≠0，,x－2≠0.))在數(shù)軸上標(biāo)出根的位置，可得不等式的解集為{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4}．維度3含參一元二次不等式的解法典例3解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．含參一元二次不等式的解法，關(guān)鍵在于如何討論參數(shù)．(ⅰ)參數(shù)出現(xiàn)于二次項(xiàng)系數(shù)，則討論a和0的大小；(ⅱ)參數(shù)出現(xiàn)在根里面，則比較兩根eq\f(1,a)和1的大小，討論a和1的大小.從而要討論a和0,1的大小，一方面要看開口方向，另一方面兼顧兩根大小比較．解：原不等式可化為(ax－1)(x－1)＜0，當(dāng)a＞0時，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0，所以當(dāng)a＞1時，解得eq\f(1,a)＜x＜1；當(dāng)a＝1時，解集為?；當(dāng)0＜a＜1時，解得1＜x＜eq\f(1,a)；當(dāng)a＝0時，原不等式等價于－x＋1＜0，即x＞1;當(dāng)a＜0時，eq\f(1,a)＜1，原不等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＞1或x＜eq\f(1,a).綜上，當(dāng)0＜a＜1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時，不等式的解集為?；當(dāng)a＞1時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1))))；當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x＞1}；當(dāng)a＜0時，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1)))).解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的方法(1)當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時，應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)的一元二次方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.對點(diǎn)練3解關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≤0.解：由題意知，Δ＝a2－4.①當(dāng)a2－4＞0，即a＞2或a＜－2時，方程x2－ax＋1＝0的兩根為x＝eq\f(a±\r(a2－4),2)，∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))).②若Δ＝a2－4＝0，則a＝±2.當(dāng)a＝2時，原不等式可化為x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；當(dāng)a＝－2時，原不等式可化為x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.③當(dāng)Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2時，原不等式的解集為?.綜上，當(dāng)a＞2或a＜－2時，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2))))；當(dāng)a＝2時，原不等式的解集為{1}；當(dāng)a＝－2時，原不等式的解集為{－1}；當(dāng)－2＜a＜2時，原不等式的解集為?.題型三個二次的關(guān)系典例4若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，則不等式a(x2＋1)＋逆向思維，－1,2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根．b(x－1)＋c＞2ax的解集是()A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3}C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3}解析：由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0.①又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|－1＜x＜2}，所以a＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,\f(c,a)＝－2.))②eq\a\vs4\al(這里可知b＝－a，c＝－2a，代入原,不等式，不必過分強(qiáng)調(diào)技巧.)將①兩邊同除以a，得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－2))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)－\f(b,a)))＜0③.將②代入③，得x2－3x＜0，解得0＜x＜3.故選A．1．三個二次的關(guān)系體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的思想方法，應(yīng)用極廣，是高考的熱點(diǎn)之一．2．不等式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)等價方程的根．對點(diǎn)練4(多選)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，則()A．相應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象開口向下B．b＜0且c＞0C．a(chǎn)＋b＋c＞0D．不等式ax2－cx＋b＜0的解集為R解析：由題意知a＜0，所以A正確；由題意可得－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的兩個根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a，,c＝－2a，))得b＜0，c＞0，所以B正確；因?yàn)椋?是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－1代入方程，得a＋b＋c＝0，所以C不正確；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因?yàn)閍＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此時不等式的解集為{x|x≠－1}，所以D不正確．答案：AB題型不等式恒成立求參數(shù)問題典例5(2024·東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；在R內(nèi)恒成立求參，須轉(zhuǎn)化為對判別式Δ的討論．(2)若當(dāng)x∈[－2,2]時，f(x)≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；在區(qū)間內(nèi)恒成立求參，轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)最值的討論．(3)若當(dāng)a∈[4,6]時，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．題目中，給出哪個字母的范圍，我們就應(yīng)把該字母看作自變量.本小問中，應(yīng)把a(bǔ)作為自變量，從而函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的一次函數(shù)，x則作為參數(shù)處理．解：(1)(在實(shí)數(shù)集R上恒成立)因?yàn)楫?dāng)x∈R時，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6,2]．(2)(在給定區(qū)間上恒成立)由題意，原不等式可轉(zhuǎn)化為x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，則(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2])．下面是對二次函數(shù)最小值的討論，分三種情況，即對稱軸和區(qū)間的三種不同位置關(guān)系，進(jìn)行討論．令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，函數(shù)圖象的對稱軸方程為x＝－eq\f(a,2).當(dāng)－eq\f(a,2)＜－2，即a＞4時，g(x)min＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3)，舍去；當(dāng)－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4時，g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；當(dāng)－eq\f(a,2)＞2，即a＜－4時，g(x)min＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.綜上可得，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－7,2]．(3)(給定參數(shù)范圍的恒成立)令h(a)＝xa＋x2＋3，此方法常稱為“轉(zhuǎn)換主元法”，只需兩端點(diǎn)的值都大于或等于0.當(dāng)a∈[4,6]時，h(a)≥0恒成立．只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h4≥0，,h6≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋3≥0，,x2