高考數學總復習《直線、平面垂直的判定及性質》專項測試卷帶答案

第第頁高考數學總復習《直線、平面垂直的判定及性質》專項測試卷帶答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單項選擇題1．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n；②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；③如果α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n；④如果α∩β＝m，m⊥n，n?α，那么n⊥β.其中正確命題的個數有()A．4個B．3個C．2個D．1個2．(2021·浙江卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則()A．直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB．直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C．直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD．直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B13．如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部4．(2024·湘贛皖十五校聯考)棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體表面上的一個動點，且總有PC⊥BD1，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為()A.eq\r(3)B．3eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D．15．如圖，正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△ADE繞直線DE翻折過程中的一個圖形，現給出下列命題：①恒有直線BC∥平面A′DE；②恒有直線DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中真命題的個數為()A．0B．1C．2D．36．圖1是建筑工地上的塔吊，圖2是根據圖1繪制的塔吊簡易直觀圖，點A，B，C在同一水平面內．塔身PO⊥平面ABC，直線AO與BC的交點E是BC的中點，起重小車掛在線段AO上的D點，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面積為10m2，根據圖中標注的數據，忽略△ABC自重對塔吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下(0.5OD＝1.5OE)可得點A，P之間的距離為()A．2eq\r(17)m B．6eq\r(2)mC．8m D．9m二、多項選擇題7．已知α，β是空間兩個不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是()A．若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥βB．若m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β8．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，AC與EF交于點G，現沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么在這個空間圖形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面9．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則()A．A，M，N，B四點共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直線BN與B1M所成的角為60°D．BN∥平面ADM三、填空題與解答題10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________.11．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)．12．如圖所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB于E，AF⊥DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為________．13．(2024·江西五市九校第一次聯考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)求點B到平面CEF的距離．14．(2024·山東濟南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，點E為AB的中點．將△ADE沿DE折起，使點A到達點P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P-EBCD，點M為棱PB的中點．圖1圖2(1)求證：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱錐M-BCE的體積．15．(2024·廣東梅州模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，M為A1B1的中點．(1)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出eq\f(B1Q,QB)的值；若不存在，請說明理由．(2)求點C到平面BC1M的距離．高分推薦題16．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，BC＝t，若在線段AB上存在點E，使得EC1⊥ED，則實數t的取值范圍是________．解析版一、單項選擇題1．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n；②如果m∥n，n⊥α，那么m⊥α；③如果α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n；④如果α∩β＝m，m⊥n，n?α，那么n⊥β.其中正確命題的個數有()A．4個B．3個C．2個D．1個解析：對于①，如果m?α，n?α，m∥β，n∥β，那么m∥n或m與n相交，故①錯誤；對于②，如果m∥n，n⊥α，由線面垂直的性質可知m⊥α，故②正確；對于③，如果α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n或m∥n或m與n相交(不垂直)或m與n異面(不垂直)，故③錯誤；對于④，如果α∩β＝m，m⊥n，n?α，那么n⊥β或n與β相交(不垂直)，當α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，n?α時，n⊥β，故④錯誤．故選D.答案：D2．(2021·浙江卷)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點，則()A．直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB．直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C．直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD．直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1解析：方法一：連接AD1(圖略)，則易知點M在AD1上，且AD1⊥A1D.因為AB⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，所以AB⊥A1D，AD1∩AB＝A，AD1，AB?平面ABD1，所以A1D⊥平面ABD1，所以A1D與BD1異面且垂直．在△ABD1中，由中位線定理可得MN∥AB，又MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.易知直線AB與平面BDD1B1成45°角，所以MN與平面BDD1B1不垂直．所以選項A正確．故選A.方法二：以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)．設AB＝2，則A1(2,0,2)，D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，所以M(1，0,1)，N(1,1,1)，所以eq\o(A1D,\s\up16(→))＝(－2,0，－2)，eq\o(D1B,\s\up16(→))＝(2,2，－2)，eq\o(MN,\s\up16(→))＝(0,1,0)，所以eq\o(A1D,\s\up16(→))·eq\o(D1B,\s\up16(→))＝－4＋0＋4＝0，所以A1D⊥D1B.又由圖易知直線A1D與BD1是異面直線，所以A1D與BD1異面且垂直．因為平面ABCD的一個法向量為n＝(0,0,1)，所以eq\o(MN,\s\up16(→))·n＝0，又MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.設直線MN與平面BDD1B1所成的角為θ，易得平面BDD1B1的一個法向量為a＝(－1,1,0)，所以sinθ＝|cos〈eq\o(MN,\s\up16(→))，a〉|＝eq\f(|\o(MN,\s\up16(→))·a|,|\o(MN,\s\up16(→))||a|)＝eq\f(1,\r(,2))＝eq\f(\r(,2),2)，所以直線MN與平面BDD1B1不垂直．故選A.答案：A3．如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部解析：由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，AB，BD?平面ABD，得AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，則平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC內的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上．故選A.答案：A4．(2024·湘贛皖十五校聯考)棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為正方體表面上的一個動點，且總有PC⊥BD1，則動點P的軌跡所圍成的圖形的面積為()A.eq\r(3)B．3eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2)D．1解析：如圖，連接BD.易證BD1⊥平面ACB1，得動點P的軌跡所圍成圖形為△AB1C，△AB1C是邊長為eq\r(2)的正三角形，其面積S＝eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝eq\f(\r(3),2).答案：C5．如圖，正三角形ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△ADE繞直線DE翻折過程中的一個圖形，現給出下列命題：①恒有直線BC∥平面A′DE；②恒有直線DE⊥平面A′FG；③恒有平面A′FG⊥平面A′DE.其中真命題的個數為()A．0B．1C．2D．3解析：對于①，∵DE為△ABC的中位線，∴DE∥BC，又知DE?平面A′DE，BC?平面A′DE，∴BC∥平面A′DE，故①正確；對于②，∵△ABC為等邊三角形，AF為BC邊上的中線，∴BC⊥AF，又知DE∥BC，∴DE⊥AF，∴DE⊥FG，根據翻折的性質可知，DE⊥A′G，又A′G∩FG＝G，∴DE⊥平面A′FG，故②正確；對于③，由②知DE⊥平面A′FG，又知DE?平面A′DE，∴平面A′FG⊥平面A′DE，故③正確．綜上，真命題為①②③.答案：D6．圖1是建筑工地上的塔吊，圖2是根據圖1繪制的塔吊簡易直觀圖，點A，B，C在同一水平面內．塔身PO⊥平面ABC，直線AO與BC的交點E是BC的中點，起重小車掛在線段AO上的D點，AB＝AC，DO＝6m．若PO＝2m，PB＝3m，△ABC的面積為10m2，根據圖中標注的數據，忽略△ABC自重對塔吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下(0.5OD＝1.5OE)可得點A，P之間的距離為()A．2eq\r(17)m B．6eq\r(2)mC．8m D．9m解析：根據條件得，OE＝eq\f(0.5×DO,1.5)＝eq\f(0.5×6,1.5)＝2(m)．∵PO⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴PO⊥AE，又AB＝AC，且E是BC的中點，∴AE⊥BC，PE⊥BC.∵PO＝2m，∴PE＝2eq\r(2)m，∵PB＝3m，∴BE＝1m．由于△ABC的面積為10m2，∴eq\f(1,2)BC·AE＝10，解得AE＝10m，則AO＝8m，易得AP＝2eq\r(17)m．故選A.答案：A二、多項選擇題7．已知α，β是空間兩個不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則給出的下列說法中正確的是()A．若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥βB．若m∥α，n∥β，且m⊥n，則α⊥βC．若m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β解析：A選項，若m∥α，n∥β，且m∥n，則α，β可能相交或平行，故A錯誤；B選項，若m∥α，n∥β，且m⊥n，則α，β可能相交，也可能平行，故B錯誤；C選項，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又n⊥β，則α∥β，故C正確；D選項，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，又n⊥β，根據面面垂直的判定定理可得α⊥β，故D正確．故選CD.答案：CD8．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，AC與EF交于點G，現沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，那么在這個空間圖形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．EF⊥△AGH所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析：根據折疊前、后得到AH⊥HE，AH⊥HF不變，根據線面垂直的判定定理，可得AH⊥平面EFH，所以B正確；過A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；易知AG⊥EF，EF⊥AH，由線面垂直的判定定理，可得EF⊥平面AGH，所以C正確；易知HG與AG不垂直，所以HG與平面AEF不垂直，所以D不正確．故選BC.答案：BC9．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，則()A．A，M，N，B四點共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直線BN與B1M所成的角為60°D．BN∥平面ADM解析：如圖所示，對于A中，直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點不共面，故A錯誤；對于B中，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正確；對于C中，取CD的中點O，連接BO，ON，則B1M∥BO，所以直線BN與B1M所成的角為∠NBO(或其補角)．易知△BON為等邊三角形，所以∠NBO＝60°，故C正確；對于D中，因為BN∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，故D錯誤．答案：BC三、填空題與解答題10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥DQ，則a＝________.解析：如圖，連接AQ，取AD的中點O，連接OQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DQ，又PQ⊥DQ，∴DQ⊥平面PAQ，∴DQ⊥AQ.∴點Q在以線段AD的中點O為圓心，AD為直徑的圓上，又∵在BC上有且僅有一個點Q滿足PQ⊥DQ，∴BC與圓O相切(相交時有兩點滿足垂直，相離時沒有點滿足垂直)，∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2，即a＝2.答案：211．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可)．解析：如圖，連接AC，則AC⊥BD，因為PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)12．如圖所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB于E，AF⊥DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為________．解析：因為DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF，又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB，又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D-AEF的高．因為AE為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以DE＝AE＝eq\r(,2)，設AF＝a，FE＝b，則a2＋b2＝2，△AEF的面積S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)·eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)，所以三棱錐D-AEF的體積V≤eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(,2)＝eq\f(\r(,2),6)(當且僅當a＝b＝1時等號成立)．答案：eq\f(\r(,2),6)13．(2024·江西五市九校第一次聯考)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，EA⊥平面ABCD，EA∥BF，AB＝AE＝2BF＝2.(1)證明：平面EAC⊥平面EFC；(2)求點B到平面CEF的距離．(1)證明：如圖，取EC的中點G，連接BD交AC于點N，連接GN，GF.因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且N是AC的中點，所以GN∥AE且GN＝eq\f(1,2)AE，又AE∥BF，AE＝2BF＝2，所以GN∥BF且GN＝BF，所以四邊形BNGF是平行四邊形，所以GF∥BN.又EA⊥平面ABCD，BN?平面ABCD，所以EA⊥BN，又因為AC∩EA＝A，AC，EA?平面EAC，所以BN⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC.又GF?平面EFC，所以平面EFC⊥平面EAC.(2)解：因為EA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以EA⊥AC.因為EA∥BF，所以BF⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，所以BF⊥BC.因為∠ABC＝60°，AB＝2，所以AC＝2，所以EC＝eq\r(,AC2＋AE2)＝2eq\r(,2)，CF＝eq\r(,BC2＋BF2)＝eq\r(,5)，EF＝eq\r(,22＋12)＝eq\r(,5)，所以FG⊥EC且FG＝eq\r(,CF2－CG2)＝eq\r(,3)，所以S△CEF＝eq\f(1,2)EC·FG＝eq\r(,6).取AB的中點M，連接CM，因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC為等邊三角形，所以CM⊥AB，且CM＝eq\r(,22－12)＝eq\r(,3)，又因為EA⊥平面ABCD，CM?平面ABCD，所以EA⊥CM，且AB∩EA＝A，AB，EA?平面ABFE，所以CM⊥平面ABFE.連接BE，VC-BEF＝eq\f(1,3)S△BEF·CM＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BF·AB·CM＝eq\f(\r(,3),3).設點B到平面CEF的距離為d，因為VB-CEF＝VC-BEF，即eq\f(1,3)S△CEF·d＝eq\f(\r(,3),3)，所以d＝eq\f(\r(,2),2)，故點B到平面CEF的距離為eq\f(\r(,2),2).14．(2024·山東濟南模擬)如圖1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，點E為AB的中點．將△ADE沿DE折起，使點A到達點P的位置，得到如圖2所示的四棱錐P-EBCD，點M為棱PB的中點．圖1圖2(1)求證：PD∥平面MCE；(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱錐M-BCE的體積．(1)證明：在題圖1中，因為BE＝eq\f(1,2)AB＝CD且BE∥CD，所以四邊形EBCD是平行四邊形．如圖，連接BD，交CE于點O，所以點O是BD的中點，連接OM，又點M為棱PB的中點，所以OM∥PD，因為PD?平面MCE，OM?平面MCE，所以PD∥平面MCE.(2)解：在題圖1中，因為四邊形EBCD是平行四邊形，所以DE＝BC，因為四邊形ABCD是等腰梯形，所以AD＝BC，所以AD＝DE，因為∠BAD＝45°，所以AD⊥DE.所以PD⊥DE，又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，在等腰直角三角形ADE中，因為AE＝2，所以AD＝DE＝eq\r(,2)，所以OM＝eq\f(1,2)PD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(,2),2)，S△BCE＝S△PDE＝1，所以V三棱錐M-BCE＝eq\f(1,3)S△BCE·OM＝eq\f(\r(,2),6).15．(2024·廣東梅州模擬)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\f(1,2)AA1＝2，M為A1B1的中點．(1)在棱BB1上是否存在點Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出eq\f(B1Q,QB)的值；若不存在，請說明理由．(2)求點C到平面BC1M的距離．解：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因為M為A1B1的中點，所以C1M⊥A1B1.又A1A⊥平面A1B1C1，C1M?平面A1B1C1，則有AA1⊥C1M，而AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1?平面AA1B1B，所以C1M⊥平面AA1B1B.又C1M?平面BC1M，所以平面BC1M⊥平面AA1B1B.在平面AA1B1B內過點A作AQ⊥BM交BB1于點Q.因為平面BC1M∩平面AA1B1B＝BM，因