（寒假）新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講+鞏固訓(xùn)練+隨堂檢測07 空間向量（教師版）

第頁第07講空間向量的概念及其運(yùn)算空間向量法和幾何法求空間角和空間距離知識講解1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個(gè)平面的向量共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及推論定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＋z＝12．?dāng)?shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或共線，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．空間位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R；線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0；面面平行：α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R.(2)線線垂直：l⊥m?a⊥b?a·b＝0；線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R；面面垂直：α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ的范圍為(0，eq\f(π,2)]，公式為cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．空間兩點(diǎn)間的距離公式若，，則=.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.考點(diǎn)一、空間向量的基本概念及其運(yùn)算【例1】設(shè)向量，，當(dāng)數(shù)與滿足下列哪種關(guān)系時(shí)，向量與軸垂直（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量垂直滿足的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，，∴，取x軸的方向向量為，若向量與x軸垂直，則，解得：，故選：A．【變式1】（多選）設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，向量不能作除法，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.【變式2】（多選）《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，，則（

）．A．B．C．向量在向量上的投影向量為D．向量在向量上的投影向量為【答案】BD【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可判定A、B選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判定C、D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋蔄不正確，B正確．如圖所示，故D作DU垂直BC，過U作VU垂直AB，UW垂直AC，故向量在向量上的投影向量為,向量在向量上的投影向量為，由題意易得故，C不正確．，D正確．故選：BD考點(diǎn)二、空間中的距離求解【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由直線的方程可得直線的方向向量和所過的定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合空間點(diǎn)到直線距離的計(jì)算公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，，，則，故在上的射影為：，故點(diǎn)到直線的距離為：.故選：D.【變式3】如圖，平行六面體中，，，，，則線段的長為.

【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題可得,，,所以,且,因?yàn)?所以，所以，故答案為:1.【變式4】如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，其中，，，，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面AEC1F的法向量，利用點(diǎn)到面距離的向量公式即得解【詳解】以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，∴，.設(shè)為平面的法向量，，由，得，令z=1，∴，所以.又，∴點(diǎn)C到平面AEC1F的距離d=.故選：C.考點(diǎn)三、異面直線所成角【例3】“曲池”是《九章算術(shù)》記載的一種幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，面ABCD，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度是長度的2倍，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求解即可.【詳解】由底面扇環(huán)所對的圓心角為，的長度是長度的2倍，，所以可知,設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，則，，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的正弦值為．故選：C【變式5】已知正四棱錐的側(cè)棱長為2，底面邊長為，點(diǎn)E在射線PD上，F(xiàn)，G分別是BC，PC的中點(diǎn)，則異面直線AE與FG所成角的余弦值的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由F，G分別是BC，PC的中點(diǎn)，可得，則AE與FG所成的角即是AE與PB所成的角，設(shè)AE與PB所成的角為θ.以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式求解即可.【詳解】如圖，連接AC、BD交于O，連接PO.因?yàn)镕，G分別是BC，PC的中點(diǎn)，所以，則AE與FG所成的角即是AE與PB所成的角，設(shè)AE與PB所成的角為θ.由題意知，OA，OB，OP兩兩互相垂直，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由得，所以，，所以.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)也取得最大值.故選：C.

【變式6】如圖所示，正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出異面直線與所成角的余弦值的最大值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，，，，，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，在側(cè)面內(nèi)取一點(diǎn)，使得，則易知三角形為直角三角形，則設(shè)，對稱軸為，則即故選：C考點(diǎn)四、線面角【例4】在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.【變式7】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且.

(1)求證：直線平面；(2)求證：平面平面；(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，易知底面，，所以，又是底面圓的內(nèi)接正三角形，由，可得，.又，，所以，即，又，所以，所以，即，又平面，直線平面，平面，所以直線平面..

（2）因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以平面平面；?）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值4，即當(dāng)時(shí)，的最大值為1，此時(shí)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.【變式8】如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.【變式9】圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，直線與平面所成角的正弦值為【分析】（1）由二面角平面角定義可知是二面角的平面角，利用勾股定理可說明，由此可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由點(diǎn)到平面距離的向量求法可構(gòu)造方程求得，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）在圖①中，連接，交于，四邊形是邊長為的菱形，，，；在圖②中，相交直線均與垂直，是二面角的平面角，，，，，平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖②所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，解得：，，；點(diǎn)到平面的距離，解得：或（舍），，，，直線與平面所成角的正弦值為.

考點(diǎn)五、二面角【例5】已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋云矫妫忠驗(yàn)槠矫?，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵酌?，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋O(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．【變式10】如圖，在圓臺中，分別為上、下底面直徑，且，，為異于的一條母線．(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）如圖根據(jù)題意和圓臺的結(jié)構(gòu)可知平面平面，有面面平行的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得為中點(diǎn)，則，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面、平面的法向量，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義和同角的三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算即可求解.【詳解】（1）如圖，連接．因?yàn)樵趫A臺中，上、下底面直徑分別為，且，所以為圓臺母線且交于一點(diǎn)P，所以四點(diǎn)共面.在圓臺中，平面平面，由平面平面，平面平面，得.又，所以，所以，即為中點(diǎn)．在中，又M為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過O且垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋裕畡t．因?yàn)?，所以．所以，所以．設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，所以，所以，令，則，所以，所以．設(shè)二面角的大小為，則，所以．所以二面角的正弦值為..【基礎(chǔ)過關(guān)】.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，．(1)證明：．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可證明;(2)建系,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由題可知，，,平面且,所以平面,又因?yàn)槠矫?所以.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建系如圖，由，，可得，則有設(shè)平面的一個(gè)方向量為,所以即令則，所以因?yàn)槠矫?所以為平面的一個(gè)法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.2.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明，再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）由（1）中信息，以點(diǎn)A作原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在四邊形中，，取中點(diǎn)，連接，由，得，則四邊形是平行四邊形，又，因此是矩形，即有，有，，從而，即，而平面，平面，則，又平面，于是平面，而平面，所以.

（2）由（1）知兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，因此，顯然二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.課后訓(xùn)練1.在四面體中，，，，，則的值為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】B【分析】根據(jù)空間數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，即，即，所以，所?

故選：B2.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都是a，且，，E為的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】在平行六面體中，不妨設(shè)，，．,，，，所以，，，所以E到直線的距離為，故選：A3.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)椋?，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．隨堂檢測1.已知向量，若與垂直，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算以及模長公式即可求解.【詳解】由于與垂直，所以，所以，故，故選：D2.如圖，已知是側(cè)棱長和底面