2023-2024學(xué)年福建省寧德市高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省寧德市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原式.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】已知命題，，其否定為存在量詞命題：，.故選：C.3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：，所以扇形的周長為：.故選：C.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以a，b，c三者的大小關(guān)系為.故選：A.5.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：則下列結(jié)論正確的是（）1234561082A.在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn) B.在內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)C.在內(nèi)最多有3個(gè)零點(diǎn) D.在內(nèi)不可能有4個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】依題意，，根據(jù)根的存在性定理可知，在區(qū)間和及內(nèi)至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè).故選：B．6.已知且，函數(shù)與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對函數(shù)得，故函數(shù)的圖象應(yīng)該在軸的左側(cè)，排除BC選項(xiàng)；對D：由的圖象看，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，但從的圖象看：，所以有矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；對A：當(dāng)時(shí)，與的圖象都吻合，故A正確.故選：A.7.是函數(shù)在上單調(diào)遞增的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，該函數(shù)在區(qū)間恒大于0且單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；故當(dāng)是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充分必要條件.故選：C.8.函數(shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，均有，則（）A.335 B.345 C.356 D.357【答案】B【解析】由函數(shù)偶函數(shù)，可得，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又由為奇函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由，均有，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，可得，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，，可得，所以，因?yàn)椋?lián)立方程組，可得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分.9.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，由函?shù)為R上的增函數(shù)，可得，A正確；由函數(shù)為上的減函數(shù)，可得，B錯(cuò)誤；由函數(shù)為上的增函數(shù)，可得，C正確；由函數(shù)為R上的減函數(shù)，可得，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列函數(shù)中，在上有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】令，得，不合題意，A錯(cuò)誤；令，得，且，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，B正確；對于在上為減函數(shù)，不合題意，C錯(cuò)誤；令，得，且由增函數(shù)+增函數(shù)為增函數(shù)，所以在上有零點(diǎn)且單調(diào)遞增，D正確.故選：BD.11.若將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的定義域?yàn)镃.圖象的一個(gè)單調(diào)區(qū)間為D.圖象的一條對稱軸方程為【答案】ABD【解析】依題意得，，的最小正周期為，故A項(xiàng)正確；由，得，得的定義域?yàn)?，故B項(xiàng)正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，則圖象的一條對稱軸方程為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則（）A.的范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)與交于4個(gè)交點(diǎn)，則，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，則，由于，則，所以，則，且，，令，得，或，所以，又，則，所以，且，所以，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，由，得，，由函數(shù)在為增函數(shù)，可知，則，所以，選項(xiàng)C正確；，設(shè)，則，，且為增函數(shù)，所以，即，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13.函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】由函數(shù)（且），令，得，所以，所以函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.，函數(shù)同時(shí)滿足：①，②，寫出函數(shù)的一個(gè)解析式_________.【答案】（答案不唯一）.【解析】因?yàn)?，函?shù)同時(shí)滿足：①由，此時(shí)函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)型或常值函數(shù)；②由，可得函數(shù)的圖象為“凸”型函數(shù)或常值函數(shù)，所以函數(shù)的一個(gè)解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.16.關(guān)于的方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】1【解析】關(guān)于的方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)函數(shù)，，問題轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，且兩個(gè)函數(shù)由公共的對稱軸：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值：，且，由或，若，則，，如圖，根據(jù)函數(shù)圖象，兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)不唯一，故不合題意，當(dāng)時(shí)，，有最小值；，有最大值，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），而，所以兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，于是，故.（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）由得函數(shù)對稱軸：，由.（2）由，當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，可得：，綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：.19.在單位圓中，已知銳角終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交單位圓于點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，則.（2）將角的終邊按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)，可知點(diǎn)位于第二象限，所以，所以則.20.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)只能同時(shí)滿足下列的兩個(gè)條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②；③.（1）請寫出這兩個(gè)條件的序號，并求的解析式；（2）判斷在區(qū)間的單調(diào)性，并用定義證明.解：（1）若選①②，因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)，所以，又，則不滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，故舍去；若選②③，因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)，所以，而，不滿足，故舍去；故只能選①③，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且易驗(yàn)證符合題意，結(jié)合題意：，解得，所以，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，滿足為奇函數(shù)，故.（2）結(jié)合（1）問可知，在區(qū)間的單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以在區(qū)間的單調(diào)遞減.21.如圖為某市擬建的一塊運(yùn)動場地的平面圖，其中有一條運(yùn)動賽道由三部分構(gòu)成：賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)在的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為）；賽道的中間部分為長度是的水平跑道；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.（1）求，和值；（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)矩形草坪，如圖所示，記，求矩形草坪面積的最大值及此時(shí)的值.解：（1）由題意可得，則，故，將點(diǎn)代入，得，所以，又，所以，從而可得曲線段的解析式為，令，可得，所以，所以，則，.（2）由（1），可知，又易知當(dāng)矩形草坪的面積最大時(shí)，點(diǎn)在弧上，故，由，則，，，所以矩形草坪的面積為，又，所以，故當(dāng)，即時(shí)，，矩形草坪面積取得最大值．22.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).（1）類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；（2），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解：（1）.（2）依題意，，不等式，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，于是，，因此，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），，依題意，，，當(dāng)時(shí)，，，即，于是，而，因此，當(dāng)時(shí)，，則，，即，而，因此，于是，，所以.福建省寧德市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原式.故選：D.2.已知命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】已知命題，，其否定為存在量詞命題：，.故選：C.3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：，所以扇形的周長為：.故選：C.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，所以a，b，c三者的大小關(guān)系為.故選：A.5.已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對應(yīng)值表：則下列結(jié)論正確的是（）1234561082A.在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn) B.在內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)C.在內(nèi)最多有3個(gè)零點(diǎn) D.在內(nèi)不可能有4個(gè)零點(diǎn)【答案】B【解析】依題意，，根據(jù)根的存在性定理可知，在區(qū)間和及內(nèi)至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有3個(gè).故選：B．6.已知且，函數(shù)與的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對函數(shù)得，故函數(shù)的圖象應(yīng)該在軸的左側(cè)，排除BC選項(xiàng)；對D：由的圖象看，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，但從的圖象看：，所以有矛盾，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；對A：當(dāng)時(shí)，與的圖象都吻合，故A正確.故選：A.7.是函數(shù)在上單調(diào)遞增的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】令，該函數(shù)在區(qū)間恒大于0且單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減；則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增；故當(dāng)是函數(shù)在上單調(diào)遞增的充分必要條件.故選：C.8.函數(shù)和的定義域均為，且為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，均有，則（）A.335 B.345 C.356 D.357【答案】B【解析】由函數(shù)偶函數(shù)，可得，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又由為奇函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，由，均有，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，可得，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于對稱，，可得，所以，因?yàn)?，?lián)立方程組，可得，所以.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分.9.已知，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因?yàn)?，由函?shù)為R上的增函數(shù)，可得，A正確；由函數(shù)為上的減函數(shù)，可得，B錯(cuò)誤；由函數(shù)為上的增函數(shù)，可得，C正確；由函數(shù)為R上的減函數(shù)，可得，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.下列函數(shù)中，在上有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】令，得，不合題意，A錯(cuò)誤；令，得，且，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，B正確；對于在上為減函數(shù)，不合題意，C錯(cuò)誤；令，得，且由增函數(shù)+增函數(shù)為增函數(shù)，所以在上有零點(diǎn)且單調(diào)遞增，D正確.故選：BD.11.若將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長度，再將所得的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為B.的定義域?yàn)镃.圖象的一個(gè)單調(diào)區(qū)間為D.圖象的一條對稱軸方程為【答案】ABD【解析】依題意得，，的最小正周期為，故A項(xiàng)正確；由，得，得的定義域?yàn)?，故B項(xiàng)正確；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由，當(dāng)時(shí)，，則圖象的一條對稱軸方程為，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，使得，則（）A.的范圍為 B.的取值范圍為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)與交于4個(gè)交點(diǎn)，則，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，則，由于，則，所以，則，且，，令，得，或，所以，又，則，所以，且，所以，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，由，得，，由函數(shù)在為增函數(shù)，可知，則，所以，選項(xiàng)C正確；，設(shè)，則，，且為增函數(shù)，所以，即，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡的相應(yīng)位置13.函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】由函數(shù)（且），令，得，所以，所以函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.14.，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.，函數(shù)同時(shí)滿足：①，②，寫出函數(shù)的一個(gè)解析式_________.【答案】（答案不唯一）.【解析】因?yàn)?，函?shù)同時(shí)滿足：①由，此時(shí)函數(shù)可以是指數(shù)函數(shù)型或常值函數(shù)；②由，可得函數(shù)的圖象為“凸”型函數(shù)或常值函數(shù)，所以函數(shù)的一個(gè)解析式可以為.故答案為：（答案不唯一）.16.關(guān)于的方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】1【解析】關(guān)于的方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)函數(shù)，，問題轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)函數(shù)的圖象有且只有1個(gè)公共點(diǎn)，且兩個(gè)函數(shù)由公共的對稱軸：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值：，且，由或，若，則，，如圖，根據(jù)函數(shù)圖象，兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)不唯一，故不合題意，當(dāng)時(shí)，，有最小值；，有最大值，且（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），而，所以兩函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知集合，，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，于是，故.（2）由，可得，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得：，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集.解：（1）由得函數(shù)對稱軸：，由.（2）由，當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，可得：；當(dāng)時(shí)，可得：，綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為：.19.在單位圓中，已知銳角終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)交單位圓于點(diǎn).（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，所以，則.（2）將角的終邊按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)，可知點(diǎn)位于第二象限，所以，所以則.20.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)只能同時(shí)滿足下列的兩個(gè)條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②；③.（1）請寫出這兩個(gè)條件的序號，并求的解析式；（2）判斷在區(qū)間的單調(diào)性，并用定義證明.解：（1）若選①②，因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)，所以，又，則不滿足在區(qū)間上單調(diào)遞增，故舍去；若選②③，因?yàn)樵谑瞧婧瘮?shù)，所以，而，不滿足，故舍去；故只能選①③，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，且易驗(yàn)證符合題意，結(jié)合題意：，解得，所以