2023-2024學(xué)年貴州省黔東南州高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔東南州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.1.已知等比數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為1，－2，則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A.4 B.－4 C.8 D.－8【答案】D【解析】依題意可得該等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為1，所以該數(shù)列的第4項(xiàng)為．故選：D2.橢圓的焦距為（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量是平面的一個(gè)法向量，且，則直線與平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線與平面所成角的正弦值等于.故選：B4.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，可得，則；令，可得，則.故選：D.5.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】，所以，故．故選：C.7.已知，C是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：B8.已知雙曲線的離心率為，當(dāng)時(shí)，在數(shù)列中，滿足為有理數(shù)的的最大值為（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】雙曲線的離心率．因，所以當(dāng)時(shí)，為有理數(shù)，且，所以滿足條件的的最大值為959．故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)的斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因?yàn)?，所以因?yàn)榍遥?故選：BD.10.已知是空間的一個(gè)單位正交基底，則（）A. B.構(gòu)成空間的一個(gè)基底C. D.構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ACD【解析】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以均為單位向量且兩兩垂直，所以，A正確．因?yàn)?，所以不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．，C正確．因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D正確．故選：ACD11.已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.D.當(dāng)，且取得最小值時(shí)，只能等于6【答案】ABC【解析】由題意，，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，A項(xiàng)，，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，可得，B正確；C項(xiàng)，，C正確．D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則的最小值為或，D錯(cuò)誤．故選：ABC.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消元得，結(jié)合示意圖，所以，又，分別是的中點(diǎn)，所以，又，所以，有，即，則，所以，即，則，即，有，由，解得，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.雙曲線的虛軸長為______．【答案】6【解析】因?yàn)?，所以，所以該雙曲線的虛軸長為6．故答案為：614.拋物線的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故答案為：15.某階梯大教室座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多3個(gè)，已知第一排有5個(gè)座位，且該階梯大教室共有258個(gè)座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為____________．【答案】38【解析】該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5，公差為3，所以，設(shè)該階梯大教室共有排，則，整理得，因?yàn)?，所以，所以該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為．故答案為：38.16.已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________，直線的方程為__________.【答案】；【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，由題意可知，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求．解：（1）設(shè)圓的方程為，則．因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，圓心為,半徑為4，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以．18.在數(shù)列中，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由，即，可知數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為5，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直線上．解：（1）因?yàn)椋愿鶕?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，由，得，所以的方程為．（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則兩式相減并整理得，，設(shè)，依題意可得所以，即，所以，即，所以點(diǎn)在直線上．20.如圖，在直四棱柱中，．（1）證明：.（2）若，四邊形的面積為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以≌，所以，又，所以≌，所以，又，所以，即．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所?（2）由題意知，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可知，四邊形的面積為，解得，所以，由題意知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，則，取，得，則，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為定值．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，且為定值，所以．?dāng)時(shí)，，又，所以，即，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由（1）知，，則，所以，所以，即，故．22.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)且與相切的直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）證明：是的中點(diǎn)．（2）過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)，且，求的斜率．解：（1）設(shè)直線的方程為，則．與聯(lián)立，可得．由，化簡(jiǎn)得，所以．解方程，可得，所以．因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)．（2）結(jié)合（1），設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，與聯(lián)立，可得．設(shè)，則，，，由，得．因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，且，所以，即的斜率為1．貴州省黔東南州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)第四章.1.已知等比數(shù)列的前兩項(xiàng)分別為1，－2，則該數(shù)列的第4項(xiàng)為（）A.4 B.－4 C.8 D.－8【答案】D【解析】依題意可得該等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為1，所以該數(shù)列的第4項(xiàng)為．故選：D2.橢圓的焦距為（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．故選：B3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量是平面的一個(gè)法向量，且，則直線與平面所成角的正弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線與平面所成角的正弦值等于.故選：B4.若數(shù)列滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，令，可得，則；令，可得，則.故選：D.5.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】，所以，故．故選：C.7.已知，C是拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，，點(diǎn)C到x軸的距離為d，則的最小值為（）A.10 B. C.11 D.【答案】B【解析】因?yàn)镸的準(zhǔn)線方程為，所以由拋物線焦半徑公式得，故，所以,當(dāng)且僅當(dāng)C，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線且C在線段DF上時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．故選：B8.已知雙曲線的離心率為，當(dāng)時(shí)，在數(shù)列中，滿足為有理數(shù)的的最大值為（）A.959 B.960 C.961 D.963【答案】A【解析】雙曲線的離心率．因，所以當(dāng)時(shí)，為有理數(shù)，且，所以滿足條件的的最大值為959．故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若直線，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設(shè)的斜率分別為，結(jié)合題意易得：，因?yàn)?，所以因?yàn)榍?，所?故選：BD.10.已知是空間的一個(gè)單位正交基底，則（）A. B.構(gòu)成空間的一個(gè)基底C. D.構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】ACD【解析】因?yàn)槭强臻g的一個(gè)單位正交基底，所以均為單位向量且兩兩垂直，所以，A正確．因?yàn)?，所以不能?gòu)成空間的一個(gè)基底，B錯(cuò)誤．，C正確．因?yàn)椴淮嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，D正確．故選：ACD11.已知公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.D.當(dāng)，且取得最小值時(shí)，只能等于6【答案】ABC【解析】由題意，，在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，A項(xiàng)，，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，可得，B正確；C項(xiàng)，，C正確．D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則的最小值為或，D錯(cuò)誤．故選：ABC.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，若，則的離心率可能為（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由，消元得，結(jié)合示意圖，所以，又，分別是的中點(diǎn)，所以，又，所以，有，即，則，所以，即，則，即，有，由，解得，即橢圓離心率的取值范圍為.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.雙曲線的虛軸長為______．【答案】6【解析】因?yàn)?，所以，所以該雙曲線的虛軸長為6．故答案為：614.拋物線的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故答案為：15.某階梯大教室座位數(shù)從第二排開始，每排的座位比前一排多3個(gè)，已知第一排有5個(gè)座位，且該階梯大教室共有258個(gè)座位，則該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為____________．【答案】38【解析】該階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5，公差為3，所以，設(shè)該階梯大教室共有排，則，整理得，因?yàn)?，所以，所以該階梯大教室最后一排的座位數(shù)為．故答案為：38.16.已知，直線為上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為________，直線的方程為__________.【答案】；【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心為，半徑為2.如圖，由題意可知，則，所以當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)與直線垂直，所以直線的方程為，即.聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，.在Rt中，，同理.以為圓心，為半徑作圓，如圖，則線段為與的公共弦，的方程為，即，兩圓方程相減得，即直線的方程為.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，求．解：（1）設(shè)圓的方程為，則．因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以，所以，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，圓心為,半徑為4，因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以．18.在數(shù)列中，且成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由，即，可知數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，解得，所以，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），則所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.19.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率為5，線段的中點(diǎn)為，證明：點(diǎn)在直