第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念講解材料

第五章數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第二節(jié)常用統(tǒng)計分布第三節(jié)抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計對隨機現(xiàn)象進行觀測、試驗，以取得有代表性的觀測值,并對已取得的數(shù)據(jù)進行歸納整理、畫出統(tǒng)計圖表，來反映研究對象的數(shù)據(jù)分布特征.對已取得的觀測值進行整理、分析,作出推斷、決策,從而找出所研究的對象的規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計的分類描述統(tǒng)計學推斷統(tǒng)計學

客觀上,

只允許我們對隨機現(xiàn)象進行次數(shù)不多的觀察試驗,

我們只能獲得局部觀察資料.

在數(shù)理統(tǒng)計中,不是對所研究的對象全體

(稱為總體)進行觀察,而是抽取其中的部分(稱為樣本)進行觀察獲得數(shù)據(jù)(抽樣),并通過這些數(shù)據(jù)對總體進行推斷.數(shù)理統(tǒng)計方法具有“部分推斷整體”的特征.數(shù)理統(tǒng)計學是一門應(yīng)用性很強的學科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù),以便對所考察的問題作出推斷和預測.第一節(jié)數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體和樣本簡單隨機抽樣樣本函數(shù)統(tǒng)計量1.總體——研究對象全體元素組成的集合.一、總體和樣本所研究的對象的某個(或某些)數(shù)量指標的全體,它是一個隨機變量(或多維隨機變量),記為X.總體有三層含義:研究對象的全體;全部數(shù)據(jù);

分布.2.個體——組成總體的每一個元素.即某個數(shù)量指標的全體中的一個,可看作隨機變量X

的某個取值,用Xi

表示.

總體中所包含的個體的個數(shù)稱為總體的容量.總體有限總體無限總體例1:研究某批燈泡的壽命時,關(guān)心的數(shù)量指標就是壽命,

那么,此總體就可以用隨機變量X表示,

或用其分布函數(shù)F(x)表示.某批燈泡的壽命總體壽命X可用概率(指數(shù))分布來刻劃常用隨機變量或用其分布函數(shù)表示總體,比如說總體X或總體F(x).統(tǒng)計中,總體這個概念的要旨是:總體就是一個概率分布.類似地,在研究某地區(qū)中學生的營養(yǎng)狀況時,若關(guān)心的數(shù)量指標是身高和體重,我們用X

和Y

分別表示身高和體重,那么此總體就可用二維隨機變量(X,Y)或其聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)來表示.從總體中抽取容量為n的樣本,就是對代表總體的隨機變量隨機地、獨立地進行n次試驗(觀測),每次試驗的結(jié)果可以看作是一個隨機變量,n次試驗的結(jié)果就是n個隨機變量X1,

X2,…,Xn.這些隨機變量相互獨立,并且與總體服從相同的分布.設(shè)得到的樣本觀測值分別是x1,

x2,…,xn,則可以認為抽樣的結(jié)果是發(fā)生了n個相互獨立的事件:

{X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn}.樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量.3.樣本——從總體中抽取的部分個體.例2:檢驗一批燈泡的壽命,從中選擇100只,則:總體:

這批燈泡(有限總體)個體:

這批燈泡中的每一只樣本:

抽取的100只燈泡樣本容量:

100樣本值:

x1,x2,…,x1001.若從總體X中抽取樣本X1,

X2,…,Xn，滿足:1)代表性:總體中每一個個體都有同等機會被選入,

即樣本

Xi

與總體X

有相同的分布;2)獨立性:樣本中每一樣品的取值不影響其它樣品的取值,

即X1,

X2,…,Xn

相互獨立;二、簡單隨機抽樣這種隨機的、獨立的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣。簡單隨機樣本是應(yīng)用中最常見的情形，今后，若不特別說明，就指簡單隨機樣本.由簡單隨機抽樣得到的樣本稱為簡單隨機樣本。設(shè)總體X的分布為F(x)，則簡單隨機樣本的聯(lián)合分布為:(1)當總體X是離散型時,其分布律為:樣本的聯(lián)合分布律為:(2)當總體X是連續(xù)型時,

X~f(x),則樣本的聯(lián)合概率密度為:簡單隨機樣本

X1,

X2,…,Xn可以看成是n個獨立同分布(iid

)的隨機變量,其共同分布即為總體分布.2.簡單隨機樣本的聯(lián)合分布函數(shù)(independent,identicallydistributed)例3:設(shè)(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，求(X1,X2,…,Xn)的密度。解:

(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，故:例4:某商場每天客流量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，

求其樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律。解:例5:設(shè)某批產(chǎn)品共有N個,其中的次品數(shù)為M,

其次品率為:p=M/N,

若

p是未知的,則可用抽樣方法來估計它.X

服從參數(shù)為p的0-1分布,可用如下表示方法:從這批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品,用隨機變量X來描述它是否是次品:設(shè)有放回地抽取一個容量為n的樣本:

(X1,X2,…,Xn)(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律為:其樣本值為:

(x1,

x2,…,xn)樣本空間為:若抽樣是無放回的,則前次抽取結(jié)果會影響后面抽取結(jié)果,例如:所以,當樣本容量n

與總體中個體數(shù)目N

相比很小時,可將無放回抽樣近似地看作放回抽樣.總體（理論分布）？樣本

樣本值統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本值,去推斷總體的情況——總體分布F(x)的性質(zhì).總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本值的規(guī)律,因而可以由樣本值去推斷總體.樣本是聯(lián)系二者的橋梁3.總體、樣本、樣本值的關(guān)系為了通過對樣本觀測值的整理、分析、研究,對總體X的某些概率特征作出推斷,往往需要考慮各種適用的樣本函數(shù)

g(X1,

X2,…,Xn).因為一組樣本X1,

X2,…,Xn可以看作是

一個n維隨機變量

(X1,

X2,…,

Xn),所以樣本函數(shù)

g(X1,

X2,…,Xn)是n維隨機變量的函數(shù),顯然也是隨機變量.根據(jù)樣本X1,

X2,…,Xn的觀測值x1,

x2,…,xn計算得到的函數(shù)值g(x1,

x2,…,xn)就是樣本函數(shù)g(X1,

X2,…,Xn)的觀測值.三、樣本函數(shù)(samplefunction)四、統(tǒng)計量(statistic)2.幾個常見統(tǒng)計量:樣本均值:它反映了總體均值的信息樣本方差:它反映了總體方差的信息樣本標準差: