中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專(zhuān)練專(zhuān)題02 利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題（原卷版）

專(zhuān)題02利用圓的性質(zhì)進(jìn)行求解的問(wèn)題圓在壓軸題中考查綜合性比較強(qiáng)，常與二次函數(shù)、全等三角形以及相似三角形結(jié)合進(jìn)行考查，本專(zhuān)題中重點(diǎn)側(cè)重壓軸題中對(duì)圓的性質(zhì)的考查部分，需要考生熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)。圓有關(guān)的性質(zhì)：1．圓的對(duì)稱(chēng)性：圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形有時(shí)中心對(duì)稱(chēng)圖形。2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。5．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。6．圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．7．圓周角定理的推論：推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角．8．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d．(1)d<r?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d=r?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．9．直線和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0個(gè)1個(gè)2個(gè)數(shù)量關(guān)系d>rd=rd<r10．切線的性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于圓的半徑；切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。11．切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。12．三角形的外接圓：經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。外心是三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。13．三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形；內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等。14．正多邊形的有關(guān)概念（1）正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心；（2）正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑；（3）正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形中心角；（4）正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。15．弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算：扇形的弧長(zhǎng)l=SKIPIF1<0；扇形的面積S=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0．16．圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖（1）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)。（2）若圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=SKIPIF1<0．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr·（l+r）． （2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，點(diǎn)A，點(diǎn)B是SKIPIF1<0上的兩個(gè)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是半徑SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)如圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．（1）根據(jù)SAS證明SKIPIF1<0即可得到結(jié)論；（2）證明SKIPIF1<0即可得出結(jié)論；（3）先證明SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上取點(diǎn)M，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0為等邊三角形，得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可求出SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0于點(diǎn)N，求出SKIPIF1<0，再證SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可得結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）如圖1．∵點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是半徑SKIPIF1<0的中點(diǎn)∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）如圖2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0由（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（3）如圖3．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0連接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上取點(diǎn)M，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等邊三角形∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)H作SKIPIF1<0于點(diǎn)NSKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2022·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，SKIPIF1<0為半圓O的直徑，C為SKIPIF1<0延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，SKIPIF1<0切半圓于點(diǎn)D，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知SKIPIF1<0．點(diǎn)P，Q分別在線段SKIPIF1<0上（不與端點(diǎn)重合），且滿(mǎn)足SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0．(1)求半圓O的半徑．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(3)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作SKIPIF1<0于點(diǎn)R，連結(jié)SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0為直角三角形時(shí)，求x的值．②作點(diǎn)F關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0上時(shí)，求SKIPIF1<0的值．（1）連接OD，設(shè)半徑為r，利用SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)CP=AP十AC，用含x的代數(shù)式表示AP的長(zhǎng)，再由（1）計(jì)算求AC的長(zhǎng)即可；（3）①顯然SKIPIF1<0，所以分兩種情形，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則四邊形RPQE是矩形，當(dāng)∠PQR＝90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE于點(diǎn)H，則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可得答案；②連接SKIPIF1<0，由對(duì)稱(chēng)可知SKIPIF1<0，利用三角函數(shù)表示出SKIPIF1<0和BF的長(zhǎng)度，從而解決問(wèn)題．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)①SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【詳解】（1）解：如圖1，連結(jié)SKIPIF1<0．設(shè)半圓O的半徑為r．∵SKIPIF1<0切半圓O于點(diǎn)D，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即半圓O的半徑是SKIPIF1<0．（2）由（1）得：SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）①顯然SKIPIF1<0，所以分兩種情況．?。┊?dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖2．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作SKIPIF1<0于點(diǎn)H，如圖3，則四邊形SKIPIF1<0是矩形，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上所述，x的值是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②如圖4，連結(jié)SKIPIF1<0，由對(duì)稱(chēng)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵BE⊥CE，PR⊥CE，∴PR∥BE，∴∠EQR=∠PRQ，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴EQ=3-x，∵PR∥BE，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：CR=x+1，∴ER=EC-CR=3-x，即：EQ=ER∴∠EQR=∠ERQ=45°，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0是半圓O的直徑，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)等知識(shí)，利用三角函數(shù)表示各線段的長(zhǎng)并運(yùn)用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖1．在正方形SKIPIF1<0中，點(diǎn)F，H分別在邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)E，已知SKIPIF1<0．(1)線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A，H，F(xiàn)的圓交SKIPIF1<0于點(diǎn)P，連結(jié)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)K．求證：SKIPIF1<0．(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)K是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，求SKIPIF1<0的值．（1）證明SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），得到SKIPIF1<0，進(jìn)一步得到SKIPIF1<0，由△CFH是等腰三角形，結(jié)論得證；（2）過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0于點(diǎn)G．先證△AKG∽△ACB，得SKIPIF1<0，證△KHG∽CHB可得SKIPIF1<0，結(jié)論得證；（3）過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0點(diǎn)G．求得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則KG＝AG＝GB＝3a，則SKIPIF1<0，勾股定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到答案．【答案】(1)SKIPIF1<0，見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：∵四邊形SKIPIF1<0是正方形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0∴△CFH是等腰三角形，∴SKIPIF1<0．（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0于點(diǎn)G．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)K作SKIPIF1<0點(diǎn)G．∵點(diǎn)K為SKIPIF1<0中點(diǎn)：由（2）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形全等的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，弦SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0重合），以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊構(gòu)造平行四邊形SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0．(2)當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．(3)①當(dāng)SKIPIF1<0中有一個(gè)角與SKIPIF1<0相等時(shí)，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．②若點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0的內(nèi)部（不包括SKIPIF1<0的邊界），求SKIPIF1<0的取值范圍（直接寫(xiě)出答案）．2．（2022·浙江寧波·校考一模）等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且內(nèi)接于圓SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上兩點(diǎn)（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間），分別延長(zhǎng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)（如圖SKIPIF1<0），記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的大小（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）；(2)連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（如圖SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)在（2）的條件下，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（如圖SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0，①求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②請(qǐng)直接寫(xiě)出SKIPIF1<0的值．3．（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D1，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為12cm，∠B＝60°，M，N分別在邊AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，沿折線MB﹣BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）；△APC的外接圓⊙O與CD相交于點(diǎn)E，連接PE交AC于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O與AD相切，①判斷⊙O與CD的位置關(guān)系；②求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求CF的最大值，并判斷此時(shí)PE與AC的位置關(guān)系；(4)若點(diǎn)N在⊙O的內(nèi)部，直接寫(xiě)出t的取值范圍．4．（2022·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知在扇形SKIPIF1<0中，點(diǎn)C、D是SK