中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題13 函數(shù)中的三角形、四邊形存在性問題（原卷版）

專題13函數(shù)中的三角形、四邊形存在性問題函數(shù)中三角形、四邊形的存在性問題是中考中的常考點，考查內(nèi)容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、特殊的平行四邊形以及三角形全等和相似的存在性。在解決此類問題時，首先要用坐標(biāo)把三角形或四邊形的邊長表示出來（可以根據(jù)勾股定理），在設(shè)坐標(biāo)時，通常只設(shè)一個未知數(shù)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)，另一個坐標(biāo)一般根據(jù)函數(shù)解析式進行表示，其次根據(jù)等腰三角形、直角三角形、平行四邊形等的判定定理列出方程，并求出未知數(shù)。 （2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），過點A作ACSKIPIF1<0x軸交拋物線于點C，∠AOB的平分線交線段AC于點E，點P是拋物線上的一個動點．(1)求拋物線的關(guān)系式；(2)若動點P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時，求出P點坐標(biāo)；(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；(4)如圖②，F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點，在拋物線上是否存在點P，使△POF成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）過P作PGSKIPIF1<0y軸，交OE于點G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標(biāo)，表示PG的長，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)以及對稱軸與OE的交點坐標(biāo)、與AE的交點坐標(biāo)，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線的頂點坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點P的坐標(biāo)．【答案】(1)拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3(2)P點坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）(3)h的取值范圍為3≤h≤4(4)存在，點P的坐標(biāo)是（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【詳解】（1）解：∵拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（0，3），B（1，0），∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖1，過P作PGSKIPIF1<0y軸，交OE于點G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），設(shè)直線OE的解析式為y＝kx，把點（3，3）代入得，3＝3k，解得k＝1，∴直線OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPGSKIPIF1<0PG?AESKIPIF1<03×（﹣m2+5m﹣3）SKIPIF1<0（m2﹣5m+3）SKIPIF1<0（mSKIPIF1<0）2SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<00，∴當(dāng)mSKIPIF1<0時，△OPE面積最大，此時m2﹣4m+3＝SKIPIF1<0，∴P點坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線l的對稱軸為直線x＝2，頂點為（2，﹣1），拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F（2，﹣1+h）．設(shè)直線x＝2交OE于點M，交AE于點N，則N（2，3），如圖2，∵直線OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設(shè)P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當(dāng)P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖3，過P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：mSKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∵mSKIPIF1<0＞2，不合題意，舍去，∴mSKIPIF1<0，此時m2﹣4m+3＝SKIPIF1<0，∴P的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；②當(dāng)P在對稱軸的左邊，且在x軸上方時，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1SKIPIF1<0或m2SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＞2，不合題意，舍去，∴m＝SKIPIF1<0，此時m2﹣4m+3＝SKIPIF1<0，∴P的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；③當(dāng)P在對稱軸的右邊，且在x軸下方時，如圖4，過P作MN⊥x軸于N，過F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1SKIPIF1<0或m2SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0＜2，不合題意，舍去，∴m＝SKIPIF1<0，此時m2﹣4m+3＝SKIPIF1<0，P的坐標(biāo)為（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；④當(dāng)P在對稱軸的右邊，且在x軸上方時，如圖5，

同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：mSKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），P的坐標(biāo)為：（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；綜上所述，點P的坐標(biāo)是：（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）或（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及圖形的平移，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，運用分類討論思想和方程的思想是解決問題的關(guān)鍵．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y＝SKIPIF1<0x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標(biāo)；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）先求得A，C，B三點的坐標(biāo)，將拋物線設(shè)為交點式，進一步求得結(jié)果；（2）作DF⊥AB于F，交AC于E，根據(jù)點D和點E坐標(biāo)可表示出DE的長，進而表示出三角形ADC的面積，進而表示出S的函數(shù)關(guān)系式，進一步求得結(jié)果；（3）根據(jù)菱形性質(zhì)可得PA＝PC，進而求得點P的坐標(biāo)，根據(jù)菱形性質(zhì)，進一步求得點Q坐標(biāo)．【答案】(1)y＝﹣SKIPIF1<0x2﹣SKIPIF1<0x+4(2)S最大＝SKIPIF1<0，D（﹣SKIPIF1<0，5）(3)存在，Q（﹣2，SKIPIF1<0）【詳解】（1）解：當(dāng)x＝0時，y＝4，∴C（0，4），當(dāng)y＝0時，SKIPIF1<0x+4＝0，∴x＝﹣3，∴A（﹣3，0），∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B（1，0），∴設(shè)拋物線的表達式：y＝a（x﹣1）?（x+3），∴4＝﹣3a，∴a＝﹣SKIPIF1<0，∴拋物線的表達式為：y＝﹣SKIPIF1<0（x﹣1）?（x+3）＝﹣SKIPIF1<0x2﹣SKIPIF1<0x+4；（2）如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D（m，﹣SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0m+4），E（m，SKIPIF1<0m+4），∴DE＝﹣SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0m+4﹣（SKIPIF1<0m+4）＝﹣SKIPIF1<0m2﹣4m，∴S△ADC＝SKIPIF1<0OA＝SKIPIF1<0?（﹣SKIPIF1<0m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+SKIPIF1<0）2+SKIPIF1<0，∴當(dāng)m＝﹣SKIPIF1<0時，S最大＝SKIPIF1<0，當(dāng)m＝﹣SKIPIF1<0時，y＝﹣SKIPIF1<0＝5，∴D（﹣SKIPIF1<0，5）；（3）設(shè)P（﹣1，n），∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴（﹣1+3）2+n2＝1+（n﹣4）2，∴n＝SKIPIF1<0，∴P（﹣1，SKIPIF1<0），∵xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝y(tǒng)A+yC∴xQ＝﹣3﹣（﹣1）＝﹣2，yQ＝4﹣SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴Q（﹣2，SKIPIF1<0）．本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，勾股定理，菱形性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)二次函數(shù)和菱形性質(zhì)（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線SKIPIF1<0與x軸相交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點O的直線MN．點D是直線MN上任意一點．①當(dāng)點D在拋物線的對稱軸l上時，連接CD，關(guān)x軸相交于點E，水線段OE的長；②如圖2，在拋物線的對稱軸l上是否存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點F與點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(1)把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可得出拋物線的表達式；（2）①求出直線BC解析式：SKIPIF1<0，再由直線MN：SKIPIF1<0及拋物線的對稱軸：SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．進而得出直線CD的解析式為：SKIPIF1<0，即可得出答案；②分以BC為邊時，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以及分以BC為對角線時，進行討論即可得出答案．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點F的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時，點D的坐標(biāo)：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)點F的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時，點D的坐標(biāo)：SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴拋物線的表達式為SKIPIF1<0．（2）①由（1）可知：SKIPIF1<0，設(shè)直線BC：SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直線BC：SKIPIF1<0，則直線MN：SKIPIF1<0．∵拋物線的對稱軸：SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)直線CD：SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直線CD：SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項點的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時，由SKIPIF1<0可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點F是直線MN與對稱軸l的交點，即SKIPIF1<0．由點D在直線MN上，設(shè)SKIPIF1<0．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則SKIPIF1<0．過點D作y軸的垂線交對稱軸l于點G，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0軸，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則SKIPIF1<0．同理可證：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0（II）若平行四邊形以BC為對角線時，由于點D在BC的上方，則點F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可證：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述，存在點F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點F的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時，點D的坐標(biāo)：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當(dāng)點F的坐標(biāo)為SKIPIF1<0時，點D的坐標(biāo)：SKIPIF1<0．本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識，正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵.1．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校校考模擬）已知如圖，直線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸分別交于點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點是點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，且與SKIPIF1<0軸相交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的平行線交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，再以SKIPIF1<0為邊向右邊作正方形SKIPIF1<0．(1)①求SKIPIF1<0的值；②判斷SKIPIF1<0的形狀，并說明理由；(2)連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0的周長最短時，求點SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，在SKIPIF1<0軸上是否存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0是等腰三角形，若存在，請直接寫出點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．2．（2022·山東日照·?？家荒＃┤鐖D，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0軸下方的拋物線上一點，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0面積的3倍，求點SKIPIF1<0的坐標(biāo)(3)如圖3，連接SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，在拋物線上是否存在點SKIPIF1<0（不與點SKIPIF1<0重合），使得SKIPIF1<0？若存在求出點SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)，若不存在說明理由3．（2022·四川德陽·模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸分別交于點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式及點SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)如圖，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個動點（點SKIPIF1<0不與點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合），過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的平行線交拋物線于點SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0長度的最大值．(3)動點SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0個單位長度的速度在線段SKIPIF1<0上由點SKIPIF1<0向點SKIPIF1<0運動，同時動點SKIPIF1<0以每秒SKIPIF1<0個單位長度的速度在線段SKIPIF1<0上由點SKIPIF1<0向點SKIPIF1<0運動，在平面內(nèi)是否存在點SKIPIF1<0，使得以點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2022·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0與y軸交于點C，與x軸交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點．(1)求拋物線的解析式；(2)點M從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設(shè)SKIPIF1<0的面積為S，點M運動時間為t秒，試求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值；(3)在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使SKIPIF1<0為直角三角形﹖若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．5．（2021·貴州遵義·校考模擬）如圖，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸分別交于B、C兩點，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點B、C的，與SKIPIF1<0軸另一交點為A，頂點為D．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線對稱軸是否存在一點E，使得SKIPIF1<0是等腰三角形，若存在，求出E的點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得SKIPIF1<0？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．6．（2022·四川瀘州·?？寄M）如圖1，已知拋物線過三點SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0過線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在圓的圓心．(1)求拋物線的解析式；(2)求SKIPIF1<0的度數(shù)；(3)求圓心點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，并判斷點SKIPIF1<0是否在這條拋物線上；(4)若弧SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，是否在SKIPIF1<0軸上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似？若存在，請求出點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，若不存在說明理由．7．（2022·山東日照·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，點M為拋物線的頂點，點B在y軸上，直線SKIPIF1<0與拋物線在第一象限交于點SKIPIF1<0．(1)求拋物線的解析式；(2)連接SKIPIF1<0，若過點O的直線交線段SKIPIF1<0于點P，將三角形SKIPIF1<0的面積分成SKIPIF1<0的兩部分，請求出點P的坐標(biāo)；(3)若Q是直線SKIPIF1<0上方拋物線上一個動點（不與點A、C重合），當(dāng)SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0的面積時，求出Q點的坐標(biāo)；(4)在拋物線的對稱軸上有一動點H，在拋物線上是否存在一點N，使以點A、H、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．8．（2022·重慶·重慶八中?？寄M）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標(biāo)；(2)如圖1，連接SKIPIF1<0，點P是線段SKIPIF1<0上方拋物線上的一個動點，過點P作PZSKIPIF1<0x軸交SKIPIF1<0于點Z，過點P作PQSKIPIF1<0CB交直線SKIPIF1<0于點Q，求SKI