奧數(shù)提高篇資料

1

—+——+——+——-L+-L+」+??????+

64256721x55x99x1333x37

_L+_L+_L+_L+_L1998+1998+1998+1998,1998

428701302081x22x33x44x55x6

7911

6X—--X6+—X69.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

122030

(1+------+-------+-------)X(--------+-------+-------+-------)-(1+-------+-------+-------------)X

19992000200119992000200120021999200020012002

(/---1---+----1---+----1---)、

199920002001

第一講比較大小

【知識(shí)梳理】

我們已經(jīng)掌握了基本的比較整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)大小的方法。本講將進(jìn)一步研究如何比較一些較復(fù)

雜的數(shù)或式子的值的大小。

解答這種類型的題目，需要將原題進(jìn)行各種形式的轉(zhuǎn)化，再利用一些不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷。

]]a

如：a>b>0,那么a的平方>1）的平方；如果a>b>0,那么一〈二；如果1>1,b>0,那么a>b

abb

等等。

比較大小時(shí)，如果要比較的分?jǐn)?shù)都接近1時(shí)，可先用1減去原分?jǐn)?shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等（都是1）,

減數(shù)越小，差越大的道理判斷原分?jǐn)?shù)的大小。

如果兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個(gè)數(shù)。再根據(jù)被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大

的道理判斷原數(shù)的大小。

除了將比較大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式的特點(diǎn)將它作適當(dāng)?shù)淖冃魏笤龠M(jìn)

行判斷。

【典例剖析】

工一4777773工888884-,

例1：比較777778和888889的大小。

這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母各不相同，不能直接比較大小，使用通分的方法又太麻煩。由于這里的

兩個(gè)分?jǐn)?shù)都接近1,所以我們可先用1分別減去以上分?jǐn)?shù)，再比較所得差的大小，然后再判斷原來(lái)分

數(shù)的大小。

77777358888845

因?yàn)?―777778—777778'-888889~888889

55

777778〉888889

777773888884

所以777778<8888890

練習(xí)1：

出98765987698798,丁-Ag…別句??

L將五7AA'QQ77'訴,77按從小到大11的順序排列出來(lái)。

98766987798899

235861工652971.一,

2.比較;和652974的大小。

235862

例2：比較需和（*哪個(gè)分?jǐn)?shù)大?

可以先用1分別除以這兩個(gè)分?jǐn)?shù)，再比較所得商的大小，最后判斷原分?jǐn)?shù)的大小。

「.illmi

因1A為L(zhǎng)ihTHT

111=10TTT

111111111

1二-------------=1

,111111111

11

107TT>10TTTT

1111111

所以

TTTT〈iiiii

練習(xí)2：

,,^111111110/444444443”,,

L比牧222222221和888888887的大小。

,,一8888887工9999991,

2,比牧8888889和9999994的大小。

12345v12346心,

例3：比較;和98765的大L小。

98761

兩個(gè)分?jǐn)?shù)中的分子與分子、分母與分母都較為接近，可以根據(jù)通分的原理，用交叉相乘法比較分

數(shù)的大小。

因?yàn)?2345X98765

=12345X98761+12345X4

=12345X98761+49380

12346X98761

=12345X98761+98760

而98761>49380

所以12346X98761>12345X98765

L,1234512346

“則-9-8-7-61-<--9-8-7-6-5

練習(xí)3：

2222144443

1?如果八=詔,B=^,那么A與B中較大的數(shù)是

2試比較9876543與98765431的大小。

123473

例4：已知AX15X1就=BX-4--X15=CX15.24-r=DX14.8X—。A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大

9934574

的是.

123473

求A、B、C、D四個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，就要找15X1記，-X15,15.24--,14.8X合中最小

yy340/4

的。

1

15X1—>15

4

15">15

231

WX15=13可

0A。

14.8X—=14.6

93

答：因?yàn)楸?--義15的積最小，所以B最大。

OA

練習(xí)4：

5

1.有八個(gè)數(shù)，0.燈，￡,

9-°?成，石，亦是其中的六個(gè)數(shù)，如果從小到大排列時(shí)，第四個(gè)數(shù)是

0.5111-,那么從大到小排列時(shí)，第四個(gè)數(shù)是哪個(gè)?

2.在下面四個(gè)算式中,最大的得數(shù)是幾?

⑴*+得）⑵*1、

X20+—)X30

⑶■+37)⑷懵+/)X50

X40

例5：圖24—1中有兩個(gè)紅色的正方形，兩個(gè)藍(lán)色的正方形，它們的面積已在圖中標(biāo)出（單位：平方

厘米)。問(wèn)：紅色的兩個(gè)正方形面積大還是藍(lán)色的兩個(gè)正方形面積大?

紅藍(lán)

通過(guò)計(jì)算結(jié)果再比較大小自然是可以，但比較麻煩。我們可以采取間接比較的方法。

19972—19972=(1997+1966)X(1997-1996)

=3993

19932—19922=(1993+1992)X(1993-1992)

=3985

因?yàn)?9972-19972>19932-19922

所以19972+1997?>19932+19922

練習(xí)5：

1.如圖所示，正方形被一條曲線分成了A、B兩部分，如果x>y,是比較A、B兩部分周長(zhǎng)的大小。

I-------------------------------------1X

A

yB

1357

2問(wèn)-X-X1X-99

2468X-X—與正相比，哪個(gè)更大？為什么?

家庭作業(yè)

校區(qū)：___________________姓名?

作業(yè)等級(jí);

科目：數(shù)學(xué)第次課

77777756666661

1.比較7777777和6666663的大小。

33333

2?比較人=贏和8=贏的大小。

,,—176?177…,

3?比較南和府的大小。

241

4.已知AXlg=BX90%=C4-75%=DX-=E4-1T。把A、B、C、D、E這5個(gè)數(shù)從小到大排列，第

二個(gè)數(shù)是.

5.如圖所示，有兩個(gè)紅色的圓和兩個(gè)藍(lán)色的圓。紅色的兩圓的直徑分別是1992厘米和1949厘米，藍(lán)

色的兩圓的直徑分別是1990厘米和1951厘米。問(wèn)：紅色的兩圓面積之和大，還是藍(lán)色的兩圓面積之

和大？

第一講抓“不變量”解題

【知識(shí)梳理】

一些分?jǐn)?shù)的分子與分母被施行了加減變化，解答時(shí)關(guān)鍵要分析哪些量變了，哪些量沒(méi)有變。抓住

分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不變量進(jìn)行分析后，再轉(zhuǎn)化并解答。

【典例剖析】

437

例L將行的分子與分母同時(shí)加上某數(shù)后得d，求所加的這個(gè)數(shù)。

619

解法一：因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的分子與分母加上了一個(gè)數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的分子與分母的差不變，仍是18,所以，

7

原題轉(zhuǎn)化成了一各簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)問(wèn)題：”一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子比分母少18,切分子是分母的⑹，由此可求出

新分?jǐn)?shù)的分子和分母?！?/p>

77

分母：(61-43)4-(1--)=81；分子：81X-=63；81-61=20或63-43=20

4377

解法二：臺(tái)的分母比分子多18,-的分母比分子多2,因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的與分母的差不變，所以將G的

6199

分子、分母同時(shí)擴(kuò)大（18+2=）9倍。

可的分子、分母應(yīng)擴(kuò)大：（61-43）+（9-7）=9（倍）

②約分后所得的:在約分前是：：=言=辭

yyyAyoi

③所加的數(shù)是81-61=20

練習(xí)1：i.歷的分子、分母加上同一個(gè)數(shù)并約分后得7,那么加上的數(shù)是多少？

582

2.將指這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是可，那么減去的數(shù)是多少？

I47O

例2：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2得（，如果將它的分母加上1,則得|,求這個(gè)分?jǐn)?shù)。

4

解法一：因?yàn)閮纱味际歉淖兎謹(jǐn)?shù)的分母，所以分?jǐn)?shù)的分子沒(méi)有變化，由“它的分母減去2得三”可知,

□

523

分母比分子的I倍還多20由“分母加1得鼻”可知，分母比分子的w倍少1，從而將原題轉(zhuǎn)化成一

個(gè)盈虧問(wèn)題。

353

分子：（2+1）4-（---）=12分母：12X5-1=17

/4Li

解法二：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。

2412412

①將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，且使分母相差3。5=工，三=不

3618515

②原分?jǐn)?shù)的分母是：18-1=17或15+2=17

34

練習(xí)2：1.將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上5得,，分母加上4得原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？

2.將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去9得|,分母減去6得5。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？

5

例3：在一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于7o如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這

個(gè)分?jǐn)?shù)就等于:，求原來(lái)的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)是多少。

乙

解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分母相同。將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母相同的分?jǐn)?shù)，即3=。

?JL4乙14

根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)分子的差應(yīng)為2的倍數(shù)，所以分別想平和友的分子和分母再乘以2。所以,

10201714

=14=28'2=14=28

解法二：根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的和等于原分?jǐn)?shù)的2倍。所以

,51、17

（一+-）—2—

7228

練習(xí)3：1.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于?。如果在它的分子上減去同一

個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于1，求這個(gè)分?jǐn)?shù)。

7

2.一個(gè)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于go如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這個(gè)分

數(shù)就等于1,求這個(gè)分?jǐn)?shù)。

5

例4：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加3得:,分母加5得;。原分?jǐn)?shù)是多少？

321

721-

解法一：兩個(gè)新分?jǐn)?shù)在未約分時(shí)，分子相同。將兩個(gè)分?jǐn)?shù)化成分子相同的分?jǐn)?shù)，即§=藥4--28-

根據(jù)題意，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)的分母應(yīng)相差2,而現(xiàn)在只相差1,所以分別將方和蕨的分子和分母再同乘

Z(Zo

721423214242

以2。則d=77=-,7=員=森o所以，原分?jǐn)?shù)的分母是⑸一3=)51。原分?jǐn)?shù)是有。

?乙IDT：4ZJODO01

9

解法二：因?yàn)榉肿記](méi)有變，所以把分子看做單位“1”。分母加3后是分子的不,分母加5后是分子的

449

7，因此，原分?jǐn)?shù)的分子是(5-3)^(---)=42。

ooI

42

原分?jǐn)?shù)的分母是42+7X9-3=51,原分?jǐn)?shù)是一o

51

練習(xí)4：1.將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去3,約分后得苧；若將它的分母減去5,則得］o原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多

少？(用兩種方法做)

2.把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母減去2,約分后等于j。如果給原分?jǐn)?shù)的分母加上9,約分后等于不。求原分?jǐn)?shù)。

例5：有一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加1,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于J；如果分母加1,這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于:，這個(gè)分?jǐn)?shù)

乙O

是多少？

根據(jù)“分子加1，這個(gè)分?jǐn)?shù)等于J”可知，分母比分子的2倍多2；根據(jù)“分母加1這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于!”

4O

可知，分母比分子的3倍少1。所以，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是(1+2)+(3-2)=3,分母是3X2+2=8。所

以，這個(gè)分?jǐn)?shù)是§o

練習(xí)5：1.一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加5,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于;，如果分母減3,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于;，這個(gè)分?jǐn)?shù)

乙。

是多少？

2.一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子減1,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于:；如果分母加11,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于;，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

LtO

家庭作業(yè)

校區(qū)：姓名：

科目：數(shù)學(xué)第次課作業(yè)等級(jí)：

972

L分?jǐn)?shù)一的分子和分母都減去同一個(gè)數(shù)，新的分?jǐn)?shù)約分后是三，那么減去的數(shù)是多少？

1815

13

2.分?jǐn)?shù)文的分子、分母同加上一個(gè)數(shù)后得￡，那么同加的這個(gè)數(shù)是多少？

13b

3.將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得（，分母加上3得,o原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？

34

4.將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加上2得彳，分母加上2得鼻。原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？

45

5.一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，在它的分子上加一個(gè)數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就等于do如果在它的分子上減去同一個(gè)數(shù)，這

O

個(gè)分?jǐn)?shù)就等于3,求這個(gè)分?jǐn)?shù)。

6.一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分母加5得,，加8得（，原來(lái)的分?jǐn)?shù)是多少？（用兩種方法）

7.一個(gè)分?jǐn)?shù)，如果分子加3,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于;，如果分母加上1,這個(gè)分?jǐn)?shù)等于;，

這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？

第講面積計(jì)算

【知識(shí)梳理】

計(jì)算平面圖形的面積時(shí)，有些問(wèn)題乍一看，在已知條件與所求問(wèn)題之間找不到任何聯(lián)系，會(huì)使你

感到無(wú)從下手。這時(shí)，如果我們能認(rèn)真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以深化，再運(yùn)用我們已

有的基本幾何知識(shí)，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問(wèn)題的小“橋”，就會(huì)使你順利達(dá)

到目的。有些平面圖形的面積計(jì)算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運(yùn)用平移旋轉(zhuǎn)、剪

拼組合等方法，對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過(guò)分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。

在進(jìn)行組合圖形的面積計(jì)算時(shí)，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清組合圖形是由幾個(gè)基本單位組成的，

還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問(wèn)題間的關(guān)系。

對(duì)于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時(shí)直接分解有一定的困難，這時(shí)，可以通過(guò)把其中的部分圖形

進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問(wèn)題”的原理來(lái)解答。在圓的半徑r

用小學(xué)知識(shí)無(wú)法求出時(shí)，可以把“式”整體地代入面積公式求面積。

【典例剖析】九

例題1：已知圖中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE=ED,/k

2

BD-BC,求陰影部分