【八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】專題07 易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解得問(wèn)題(解析版)

第第頁(yè)專題07易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解得問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)一求長(zhǎng)度時(shí)忽略三邊關(guān)系易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)腰和底不明求角度時(shí)沒(méi)有分類討論易錯(cuò)點(diǎn)三三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論?易錯(cuò)點(diǎn)一求長(zhǎng)度時(shí)忽略三邊關(guān)系例題：已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是3cm和7cm，則它的周長(zhǎng)為（）A．13cm B．17cm C．13或17cm D．10cm【答案】B【解析】【詳解】由題意得：三角形的三邊可能為3、3、7或3、7、7，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知只能是3、7、7，∴周長(zhǎng)為3+7+7=17cm.故選B.【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4厘米和9厘米，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(

)A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或22厘米【答案】A【解析】【詳解】解：若4厘米為腰長(zhǎng)，9厘米為底邊長(zhǎng)，由于4+4＜9，則三角形不存在；若9厘米為腰長(zhǎng)，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊，所以這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為9+9+4=22（厘米）．故選A．2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對(duì)【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分5是腰長(zhǎng)與底邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：，，x?5=0，y?10=0，解得x=5，y=10，當(dāng)5是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為5、5、10，∵5+5=10，∴不能組成三角形；當(dāng)5是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為5、10、10，能組成三角形，周長(zhǎng)=5+10+10=25，所以，三角形的周長(zhǎng)為25，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，絕對(duì)值非負(fù)數(shù)，平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個(gè)算式都等于0，求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．3．（2022·河北·石家莊石門實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期末）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，則它的周長(zhǎng)等于______．【答案】20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長(zhǎng)為4或是腰長(zhǎng)為8兩種情況．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和8，當(dāng)腰長(zhǎng)是4時(shí)，則三角形的三邊是4，4，8，4+4=8不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長(zhǎng)是8時(shí)，三角形的三邊是8，8，4，三角形的周長(zhǎng)是20．故答案為∶20．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南·富源縣第七中學(xué)八年級(jí)期中）若等腰三角形的周長(zhǎng)為26cm，一邊為8cm，則腰長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】或##9cm或8cm【分析】分8cm的邊是腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①8cm是腰長(zhǎng)時(shí)，底邊為：26﹣8×2＝10cm，三角形的三邊長(zhǎng)分別為8cm、8cm、10cm，∵8+8＝16＞10，∴能組成三角形，②8cm是底邊長(zhǎng)時(shí)，腰長(zhǎng)為：cm，三角形的三邊長(zhǎng)分別8cm、9cm、9cm，能組成三角形，綜上所述，該等腰三角形的腰長(zhǎng)是8cm或者9cm．故答案為：8cm或者9cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判定是否能組成三角形．5．（2022·河南·駐馬店市第十中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和5，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】16或17【分析】分邊長(zhǎng)6是等腰三角形的腰和底兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：①6是腰長(zhǎng)時(shí)，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長(zhǎng)＝6+6+5＝17，②6是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長(zhǎng)＝6+5+5＝16，綜上所述，三角形的周長(zhǎng)為16或17．故答案為：16或17．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答本題時(shí)注意分情況討論，避免出現(xiàn)錯(cuò)漏．6．（2022·黑龍江·肇東市第十中學(xué)八年級(jí)期末）已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm，2cm，則該等腰三角形的周長(zhǎng)是________．【答案】12cm##12厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長(zhǎng)為2cm或是腰長(zhǎng)為5cm兩種情況．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm和5cm，當(dāng)腰長(zhǎng)是5cm時(shí)，則三角形的三邊是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，三角形的周長(zhǎng)是5+5+2=12(cm)；當(dāng)腰長(zhǎng)是2cm時(shí)，三角形的三邊是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不滿足三角形的三邊關(guān)系．故答案為：12cm．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（1）等腰三角形一腰上的中線把周長(zhǎng)分為和兩部分，求該三角形各邊的長(zhǎng)．（2）已知一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)分別為，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．【答案】（1）或者；（2）周長(zhǎng)為或者10【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，列出方程求解，注意分類討論．（2）分三種情況，進(jìn)行討論，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得出答案．【詳解】設(shè)腰長(zhǎng)為2x,底為y，根據(jù)題意得：①解得：三邊為10,10,7②解得：三邊為8,8,11故本題答案為：或者①當(dāng)時(shí)，解，此時(shí)，能構(gòu)成三角形．此時(shí)周長(zhǎng)為10②當(dāng)時(shí)，解，此時(shí)不能構(gòu)成三角形．③當(dāng)，解得，此時(shí)，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為＝7綜上，三角形的周長(zhǎng)為7或者10．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)提高題．?易錯(cuò)點(diǎn)二當(dāng)腰和底不明求角度時(shí)沒(méi)有分類討論例題：若等腰三角形的一個(gè)角等于80°，則其頂角的度數(shù)為（）A．80° B．20° C．100° D．80°或20°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的一個(gè)角是80°，分兩種情況考慮這個(gè)角為頂角與底角解答即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)角是80°，分兩種情況考慮，當(dāng)80°的角為底角時(shí)，頂角為180°-160°=20°，當(dāng)80°的角為頂角時(shí)，頂角為80°，∴該等腰三角形的頂角是80°或20°．故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練地掌握等腰三角形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角是72°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本題應(yīng)分底角為72°、頂角為72°這兩種情況，分別計(jì)算每種情況下等腰三角形是否存在．【詳解】解∶①當(dāng)72°角是頂角時(shí)，頂角為72°，②當(dāng)72°角是底角時(shí)，頂角＝180°－72°×2＝36°，綜上頂角為72°或36°．故答案為：72或36．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，，樹(shù)立分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問(wèn)題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在計(jì)算等腰三角形有關(guān)邊、角的問(wèn)題時(shí)，要注意利用分類討論的思想進(jìn)行全面討論是解題的關(guān)鍵．2．有一張三角形紙片ABC，∠A＝80°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開(kāi)三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【詳解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對(duì)于△ABD可能有①AB=BD，此時(shí)∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此時(shí)∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此時(shí)，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°故答案為25°或40°或10°【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分情況討論．3．如圖，直線a，b交于點(diǎn)O，∠α=40°，點(diǎn)A是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)B在直線b上運(yùn)動(dòng)，且始終位于直線a的上方，若以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則∠OAB=_________°．【答案】40或70或100【解析】【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時(shí)，②當(dāng)OA=AB時(shí)，③當(dāng)OA=OB時(shí)，分別求得符合的點(diǎn)B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時(shí)，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB2時(shí)，∠OAB=180°-2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB3時(shí)，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；故答案為：40或70或100．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）若等腰三角形中有一個(gè)角等于，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等，分別討論當(dāng)為頂角，和當(dāng)為底角兩種情況即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)為頂角時(shí)，這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為；當(dāng)為底角時(shí)，頂角度數(shù)為：；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是本題解題關(guān)鍵．5．（2022·江西吉安·七年級(jí)期末）在中，，點(diǎn)P是射線BA上的任意一點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】108°或72°或36°【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，推出，推出；當(dāng)時(shí)，推出；當(dāng)時(shí)，推出．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．綜上，∠BPC的度數(shù)為108°或72°或36°．故答案為：108°或72°或36°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的存在性，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的三個(gè)角都有可能是頂角，分類討論．6．（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）如圖，中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】30°或60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)，△ADE是等腰三角形，分情況討論：①AD＝AE時(shí)，②EA＝ED時(shí)，③DA＝DE時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠BAC＝100°，∵∠ADE＝40°，△ADE是等腰三角形，分情況討論：①AD＝AE時(shí)，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此時(shí)D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，不符合題意；②EA＝ED時(shí)，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；③DA＝DE時(shí)，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或30°，故答案為：60°或30°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．?易錯(cuò)點(diǎn)三三角形的形狀不明時(shí)與高線及其他線結(jié)合沒(méi)有分類討論例題：若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)不可能出現(xiàn)題中所說(shuō)情況，所以舍去不計(jì)，我們可以通過(guò)畫圖來(lái)討論剩余兩種情況．【詳解】（1）當(dāng)這個(gè)三角形是銳角三角形時(shí)，如圖所示：∵高與另一腰的夾角為50°，即，∴頂角，∵，；（2）當(dāng)這個(gè)三角形是鈍角三角形時(shí)，如圖所示：∵∠ABD=50°，BD⊥CD，∴∠BAD=90°-50°=40°，∵，，∴；綜上所述，這個(gè)等腰三角形的底角的度數(shù)為70°或20°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的高線，可能在三角形的內(nèi)部，邊上、外部幾種不同情況，因此遇到與等腰三角形的高有關(guān)的計(jì)算時(shí)應(yīng)分類討論．【變式訓(xùn)練】1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56°，則這個(gè)等腰三角形底角度數(shù)是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，先計(jì)算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出．【詳解】解：在等腰中，，為腰上的高，，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖1，為高，，，，；當(dāng)在外部時(shí)，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·交大附中分校七年級(jí)期末）已知中，，在AB邊上有一點(diǎn)D，若CD將分為兩個(gè)等腰三角形，則________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．【詳解】第一種請(qǐng)況：BD=CD時(shí)，如圖，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）當(dāng)DA=DC時(shí)，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）當(dāng)DA=AC時(shí)，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）當(dāng)CD=CA時(shí)，∠A=∠ADC=40°；第二種請(qǐng)況：BC=CD時(shí)，如圖，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三種情況：BC=BD時(shí)，如圖，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；綜上所述：∠A的度數(shù)為：70°，100°，40°，10°，故答案為：70°，100°，40°，10°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性