【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題07 易錯易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解得問題(解析版)

第第頁專題07易錯易混淆集訓(xùn)：等腰三角形中易漏解或多解得問題易錯點一求長度時忽略三邊關(guān)系易錯點二當(dāng)腰和底不明求角度時沒有分類討論易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論?易錯點一求長度時忽略三邊關(guān)系例題：已知一個等腰三角形的兩邊長是3cm和7cm，則它的周長為（）A．13cm B．17cm C．13或17cm D．10cm【答案】B【解析】【詳解】由題意得：三角形的三邊可能為3、3、7或3、7、7，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知只能是3、7、7，∴周長為3+7+7=17cm.故選B.【變式訓(xùn)練】1．等腰三角形的兩邊長分別為4厘米和9厘米，則這個三角形的周長為(

)A．22厘米 B．17厘米 C．13厘米 D．17厘米或22厘米【答案】A【解析】【詳解】解：若4厘米為腰長，9厘米為底邊長，由于4+4＜9，則三角形不存在；若9厘米為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊，所以這個三角形的周長為9+9+4=22（厘米）．故選A．2．已知實數(shù)x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不對【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，再分5是腰長與底邊兩種情況討論求解即可．【詳解】解：，，x?5=0，y?10=0，解得x=5，y=10，當(dāng)5是腰長時，三角形的三邊分別為5、5、10，∵5+5=10，∴不能組成三角形；當(dāng)5是底邊時，三角形的三邊分別為5、10、10，能組成三角形，周長=5+10+10=25，所以，三角形的周長為25，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，絕對值非負(fù)數(shù)，平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0，則每一個算式都等于0，求出x、y的值是解題的關(guān)鍵，難點在于要分情況討論并且利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．3．（2022·河北·石家莊石門實驗學(xué)校八年級期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為4和8，則它的周長等于______．【答案】20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長為4或是腰長為8兩種情況．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為4和8，當(dāng)腰長是4時，則三角形的三邊是4，4，8，4+4=8不滿足三角形的三邊關(guān)系；當(dāng)腰長是8時，三角形的三邊是8，8，4，三角形的周長是20．故答案為∶20．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南·富源縣第七中學(xué)八年級期中）若等腰三角形的周長為26cm，一邊為8cm，則腰長為___．【答案】或##9cm或8cm【分析】分8cm的邊是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．【詳解】解：①8cm是腰長時，底邊為：26﹣8×2＝10cm，三角形的三邊長分別為8cm、8cm、10cm，∵8+8＝16＞10，∴能組成三角形，②8cm是底邊長時，腰長為：cm，三角形的三邊長分別8cm、9cm、9cm，能組成三角形，綜上所述，該等腰三角形的腰長是8cm或者9cm．故答案為：8cm或者9cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判定是否能組成三角形．5．（2022·河南·駐馬店市第十中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和5，則這個等腰三角形的周長為_____．【答案】16或17【分析】分邊長6是等腰三角形的腰和底兩種情況討論，即可求解．【詳解】解：①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、5，能組成三角形，周長＝6+6+5＝17，②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、5、5，能組成三角形，周長＝6+5+5＝16，綜上所述，三角形的周長為16或17．故答案為：16或17．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解答本題時注意分情況討論，避免出現(xiàn)錯漏．6．（2022·黑龍江·肇東市第十中學(xué)八年級期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為5cm，2cm，則該等腰三角形的周長是________．【答案】12cm##12厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，本題要分情況討論．當(dāng)腰長為2cm或是腰長為5cm兩種情況．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長分別為2cm和5cm，當(dāng)腰長是5cm時，則三角形的三邊是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，三角形的周長是5+5+2=12(cm)；當(dāng)腰長是2cm時，三角形的三邊是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不滿足三角形的三邊關(guān)系．故答案為：12cm．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，進(jìn)行分類討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．7．（1）等腰三角形一腰上的中線把周長分為和兩部分，求該三角形各邊的長．（2）已知一個等腰三角形的三邊長分別為，求這個等腰三角形的周長．【答案】（1）或者；（2）周長為或者10【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，列出方程求解，注意分類討論．（2）分三種情況，進(jìn)行討論，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得出答案．【詳解】設(shè)腰長為2x,底為y，根據(jù)題意得：①解得：三邊為10,10,7②解得：三邊為8,8,11故本題答案為：或者①當(dāng)時，解，此時，能構(gòu)成三角形．此時周長為10②當(dāng)時，解，此時不能構(gòu)成三角形．③當(dāng)，解得，此時，能構(gòu)成三角形，周長為＝7綜上，三角形的周長為7或者10．【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，以及三角形三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)提高題．?易錯點二當(dāng)腰和底不明求角度時沒有分類討論例題：若等腰三角形的一個角等于80°，則其頂角的度數(shù)為（）A．80° B．20° C．100° D．80°或20°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的一個角是80°，分兩種情況考慮這個角為頂角與底角解答即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個角是80°，分兩種情況考慮，當(dāng)80°的角為底角時，頂角為180°-160°=20°，當(dāng)80°的角為頂角時，頂角為80°，∴該等腰三角形的頂角是80°或20°．故答案選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練地掌握等腰三角形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．已知等腰三角形的一個內(nèi)角是72°，那么這個等腰三角形的頂角是______度．【答案】72或36【解析】【分析】本題應(yīng)分底角為72°、頂角為72°這兩種情況，分別計算每種情況下等腰三角形是否存在．【詳解】解∶①當(dāng)72°角是頂角時，頂角為72°，②當(dāng)72°角是底角時，頂角＝180°－72°×2＝36°，綜上頂角為72°或36°．故答案為：72或36．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，，樹立分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在計算等腰三角形有關(guān)邊、角的問題時，要注意利用分類討論的思想進(jìn)行全面討論是解題的關(guān)鍵．2．有一張三角形紙片ABC，∠A＝80°，點D是AC邊上一點，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩張紙片均為等腰三角形，則∠C的度數(shù)可以是__________．【答案】25°或40°或10°【解析】【詳解】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等列式計算即可得解．【詳解】由題意知△ABD與△DBC均為等腰三角形，對于△ABD可能有①AB=BD，此時∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此時∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此時，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，綜上所述，∠C度數(shù)可以為25°或40°或10°故答案為25°或40°或10°【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論．3．如圖，直線a，b交于點O，∠α=40°，點A是直線a上的一個定點，點B在直線b上運動，且始終位于直線a的上方，若以點O，A，B為頂點的三角形是等腰三角形，則∠OAB=_________°．【答案】40或70或100【解析】【分析】根據(jù)△OAB為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)OB=AB時，②當(dāng)OA=AB時，③當(dāng)OA=OB時，分別求得符合的點B，即可得解．【詳解】解：要使△OAB為等腰三角形分三種情況討論：

①當(dāng)OB1=AB1時，∠OAB=∠α=40°；②當(dāng)OA=AB2時，∠OAB=180°-2×40°=100°；③當(dāng)OA=OB3時，∠OAB=∠OBA=（180°-40°）=70°；故答案為：40或70或100．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東煙臺·七年級期末）若等腰三角形中有一個角等于，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為________．【答案】或【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等，分別討論當(dāng)為頂角，和當(dāng)為底角兩種情況即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)為頂角時，這個等腰三角形頂角的度數(shù)為；當(dāng)為底角時，頂角度數(shù)為：；故答案為：或．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形兩底角相等是本題解題關(guān)鍵．5．（2022·江西吉安·七年級期末）在中，，點P是射線BA上的任意一點，當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)為______．【答案】108°或72°或36°【分析】分三種情況討論：當(dāng)時，推出，推出；當(dāng)時，推出；當(dāng)時，推出．【詳解】解：當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，當(dāng)時，．綜上，∠BPC的度數(shù)為108°或72°或36°．故答案為：108°或72°或36°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的存在性，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對等角的性質(zhì)，三角形的三個角都有可能是頂角，分類討論．6．（2022·江西贛州·八年級期末）如圖，中，，，點在線段上運動（點不與點，重合），連接，作，交線段于點．當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)為______．【答案】30°或60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC的度數(shù)，△ADE是等腰三角形，分情況討論：①AD＝AE時，②EA＝ED時，③DA＝DE時，分別求解即可．【詳解】解：∵AB＝AC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，∴∠BAC＝100°，∵∠ADE＝40°，△ADE是等腰三角形，分情況討論：①AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此時D點與B點重合，不符合題意；②EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°；③DA＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，綜上，∠BAD的度數(shù)為60°或30°，故答案為：60°或30°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．?易錯點三三角形的形狀不明時與高線及其他線結(jié)合沒有分類討論例題：若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況，所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況．【詳解】（1）當(dāng)這個三角形是銳角三角形時，如圖所示：∵高與另一腰的夾角為50°，即，∴頂角，∵，；（2）當(dāng)這個三角形是鈍角三角形時，如圖所示：∵∠ABD=50°，BD⊥CD，∴∠BAD=90°-50°=40°，∵，，∴；綜上所述，這個等腰三角形的底角的度數(shù)為70°或20°．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的高線，可能在三角形的內(nèi)部，邊上、外部幾種不同情況，因此遇到與等腰三角形的高有關(guān)的計算時應(yīng)分類討論．【變式訓(xùn)練】1．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為56°，則這個等腰三角形底角度數(shù)是_______．【答案】或【解析】【分析】在等腰中，，為腰上的高，，討論：當(dāng)在內(nèi)部時，如圖1，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計算出；當(dāng)在外部時，如圖2，先計算出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出．【詳解】解：在等腰中，，為腰上的高，，當(dāng)在內(nèi)部時，如圖1，為高，，，，；當(dāng)在外部時，如圖2，為高，，，，，而，，綜上所述，這個等腰三角形底角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·陜西·交大附中分校七年級期末）已知中，，在AB邊上有一點D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三種情況討論即可求解．【詳解】第一種請況：BD=CD時，如圖，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）當(dāng)DA=DC時，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠ADC=40°，∴∠A=∠ACD=70°；（2）當(dāng)DA=AC時，即有∠ADC=∠ACD=40°，∴∠A=180°-∠ADC-∠ACD=100°；（3）當(dāng)CD=CA時，∠A=∠ADC=40°；第二種請況：BC=CD時，如圖，∵∠B=20°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=20°，∴∠ADC=180°-∠BDC=160°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=10°；第三種情況：BC=BD時，如圖，∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD，∵∠B=20°，∠B+∠BCD+∠BDC=180°，∴∠BCD=∠BDC=80°，∴∠ADC=180°-∠BDC=100°，∵△ADC是等腰三角形，∴有∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∴∠A=40°；綜上所述：∠A的度數(shù)為：70°，100°，40°，10°，故答案為：70°，100°，40°，10°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性