2023-2024學年四川省德陽市高二上學期期末教學質量監(jiān)測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數學試題說明：1.本試卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，集合，則集合.故選：D.2.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數的定義域需滿足，即.所以函數的定義域是.故選：B3.已知空間向量，，若，則（）A.2 B.-2 C.0 D.4【答案】C【解析】因為，，則，由可得：，解得：，則.故選：C.4.等差數列滿足，，則（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】設等差數列公差為，由已知可得，解得，所以.故選：B.5.若直線：平分圓的周長，則的傾斜角為（）A.45° B.135° C.60° D.120°【答案】A【解析】直線：平分圓周長，所以直線過圓心，所以，所以，則的斜率為，則的傾斜角為.故選：A.6.一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示）的曲面是旋轉拋物面（拋物線圍繞其對稱軸旋轉而得的一種空間曲面，拋物線的對稱軸、焦點、頂點分別稱為旋轉拋物面的軸線、焦點、頂點），已知衛(wèi)星波束以平行于旋轉拋物面的軸線的方式射入該衛(wèi)星接收天線經反射后聚集到焦點處（如圖②所示），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為6m，深度為1m，則其頂點到焦點的距離等于（）A. B. C.1m D.【答案】A【解析】如圖所示，以接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在上，設拋物線的標準方程為，由已知得在拋物線上，所以，得，其頂點到焦點的距離等于.故選：A.7.設雙曲線的離心率為，則當取最小值時，（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】雙曲線的離心率為，，當且僅當即時取等，所以.故選：C.8.設、是橢圓：的兩個焦點，點P在C上，若為直角三角形，則的面積為（）A. B. C.或1 D.1或【答案】D【解析】由已知，若是直角三角形，則直角頂點可能是點P，;若是直角三角形，則直角頂點可能是焦點（或）為直角頂點，此時（或），.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，）9.已知為直線，、、為不同的平面，則下列結論中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】對于A：，，平行于同一個平面的兩個平面平行，正確；對于B：，，平行于同一條直線的兩個平面可能平行，可能相交，錯誤；對于C：，，垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，可能相交，錯誤；對于D：，，垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；故選：AD.10.已知函數的圖象為（）A.的最小值為0B.的最小正周期為C.將向右平移個單位所得圖象關于原點中心對稱D.函數在區(qū)間上單調遞增【答案】BC【解析】，對于A，的最小值為，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，將向右平移個單位可得：，為奇函數，關于原點對稱，故C正確；對于D，由于，所以，根據正弦函數的單調性可知，函數在區(qū)間上有增有減，故D錯誤.故選：BC.11.在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入決賽（比賽采用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結束）.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.某同學利用計算機產生1～5之間的隨機數，當出現1，2或3時，表示甲獲勝，當出現4或5時，表示乙獲勝，以每3個隨機數為一組進行冠軍模擬預測，如果產生如下20組隨機數：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354，根據頻率估計概率的思想，下列說法正確的有（）A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55D.乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15【答案】ACD【解析】對于A，表示甲獲得冠軍的數有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13組數，故估計該場比賽甲獲勝的概率為，故A正確；對于B，表示甲以2：0的比分獲得冠軍的數有：123，114，332，125，334，314，共6組數，故估計甲以2：0的比分獲得冠軍概率為，故B錯誤；對于C，表示比賽總共打滿三局的數有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354共11組數，故估計比賽總共打滿三局的概率為，故C正確；對于D，表示乙以2：0的比分獲得冠軍的數有：453，443，541共3組數，故估計乙以2：0的比分獲得冠軍的概率為，故D正確；故選：ACD.12.已知平面上兩點M、N之間的距離為6，動點P滿足，則（）A.動點P的軌跡長度為B.不存在滿足的點C.的取值范圍為D.當P、M、N不共線時，的最大面積為50【答案】AC【解析】以點為坐標原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，設，顯然，由，得，整理得，因此點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點的軌跡長度為，A正確；當時，，由得，顯然，于是直線與圓的交點滿足，B錯誤；顯然，而點到定點的距離，則，即的取值范圍為，C正確；顯然點到直線，即軸距離的最大值為，，D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案直接填在答題卡上）13.設為虛數單位，則復數的虛部為____________.【答案】3【解析】，其虛部為.故答案為：.14.已知定義在上的奇函數，則__________.【答案】【解析】由題意知為在上的奇函數，所以.故答案為：.15.等比數列滿足，類比“”，我們記，則__________.【答案】32【解析】利用等比數列的性質可得.所以.故答案為：.16.已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當時，的最小值是___________.【答案】【解析】設，且點在平面內，取中點，則，顯然，當在面上的投影與共線時，會比不共線的小，當在面上的投影與共線時，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，又，且與平面所成的角為，設，則，，，得到，，所以，其可表示為點與，的距離之和，作關于軸的對稱點，顯然，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟，）17.在一次拋擲硬幣的試驗中規(guī)定：若正面向上（用數字1表示），質點向東移動1個單位；若正面向下（用數字0表示），質點向北移動1個單位.甲同學將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了3次，則質點在水平面中從點經過3次移動后到達點，記事件“”.（1）寫出甲同學進行該試驗的樣本空間，并求；（2）如果乙同學按照甲同學完全相同的方式獨立的進行試驗，記事件“”，求A與B至少有一個發(fā)生的概率.解：（1）由題意，事件，從而.（2）由（1）知，事件A與B至少有一個發(fā)生可以表示為“”由獨立事件同時發(fā)生的概率公式及概率的性質得.18.已知圓經過三點.（1）求圓的方程；（2）求過點且與圓相切的直線的方程.解：（1）設圓C的方程為，則有，得，即圓C的方程為.（2）由（1）知圓心，半徑.當直線的斜率存在時，設其方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑，得，解得，則直線的方程為；當直線的斜率不存在時，直線方程為，符合題意，從而所求直線的方程為或.19.已知首項為1的正項等比數列滿足.（1）求.（2）令，是數列的前項和，求數列的前項和.解：（1）設公比為，由得解得或（舍去）所以.（2）由（1）知所以，從而所以.20.如圖，梭長為的正方體中，點M、N分別在線段和上運動，且.（1）用含有的代數式表示；（2）當最小時，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題意以點A為坐標原點建立如圖空間直角坐標系,,因為，，，，則，，所以（2）由（1）知，所以當時，取得最小值1.此時，，，設平面的法向量，則，即，取，則，，即，顯然可取平面的法向量.設平面與平面的夾角為，則.21.的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知B為A與C的等差中項，且.（1）求的值；（2）記的面積為，若，求的周長.解：（1）由得由得即所以.（2）由（1）知，，，在中由正弦定理令，所以，，，所以由得所以周長為.22.橢圓：的離心率，短軸的兩個端點分別為、（位于上方），焦點為、，四邊形的內切圓半徑為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交于M、N兩點(M位于P與N之間)，記、的面積分別為、，令，，求的取值范圍.解：（1）由題意得，解得，所以橢圓C的方程為.（2）當的斜率不存在時，與重合，與重合，不符合題意；當的斜率存在時，其方程為，設，，由得：，所以，解得，則，由于，，則，，所以，，由知，從而，亦即，將代入，得，代入，得，所以，又，所以，則，即，解得，從而的取值范圍為.四川省德陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質量監(jiān)測數學試題說明：1.本試卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4頁.考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效.考試結束后，將答題卡交回.2.本試卷滿分150分，120分鐘完卷.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，集合，則集合.故選：D.2.函數的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數的定義域需滿足，即.所以函數的定義域是.故選：B3.已知空間向量，，若，則（）A.2 B.-2 C.0 D.4【答案】C【解析】因為，，則，由可得：，解得：，則.故選：C.4.等差數列滿足，，則（）A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】設等差數列公差為，由已知可得，解得，所以.故選：B.5.若直線：平分圓的周長，則的傾斜角為（）A.45° B.135° C.60° D.120°【答案】A【解析】直線：平分圓周長，所以直線過圓心，所以，所以，則的斜率為，則的傾斜角為.故選：A.6.一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示）的曲面是旋轉拋物面（拋物線圍繞其對稱軸旋轉而得的一種空間曲面，拋物線的對稱軸、焦點、頂點分別稱為旋轉拋物面的軸線、焦點、頂點），已知衛(wèi)星波束以平行于旋轉拋物面的軸線的方式射入該衛(wèi)星接收天線經反射后聚集到焦點處（如圖②所示），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑（直徑）為6m，深度為1m，則其頂點到焦點的距離等于（）A. B. C.1m D.【答案】A【解析】如圖所示，以接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合，焦點在上，設拋物線的標準方程為，由已知得在拋物線上，所以，得，其頂點到焦點的距離等于.故選：A.7.設雙曲線的離心率為，則當取最小值時，（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】雙曲線的離心率為，，當且僅當即時取等，所以.故選：C.8.設、是橢圓：的兩個焦點，點P在C上，若為直角三角形，則的面積為（）A. B. C.或1 D.1或【答案】D【解析】由已知，若是直角三角形，則直角頂點可能是點P，;若是直角三角形，則直角頂點可能是焦點（或）為直角頂點，此時（或），.故選：D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，）9.已知為直線，、、為不同的平面，則下列結論中正確的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】對于A：，，平行于同一個平面的兩個平面平行，正確；對于B：，，平行于同一條直線的兩個平面可能平行，可能相交，錯誤；對于C：，，垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，可能相交，錯誤；對于D：，，垂直于同一條直線的兩個平面平行，正確；故選：AD.10.已知函數的圖象為（）A.的最小值為0B.的最小正周期為C.將向右平移個單位所得圖象關于原點中心對稱D.函數在區(qū)間上單調遞增【答案】BC【解析】，對于A，的最小值為，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，故B正確；對于C，將向右平移個單位可得：，為奇函數，關于原點對稱，故C正確；對于D，由于，所以，根據正弦函數的單調性可知，函數在區(qū)間上有增有減，故D錯誤.故選：BC.11.在一次奧運會男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入決賽（比賽采用三局兩勝制，即率先獲得兩局勝利者贏得比賽，隨即比賽結束）.假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4.某同學利用計算機產生1～5之間的隨機數，當出現1，2或3時，表示甲獲勝，當出現4或5時，表示乙獲勝，以每3個隨機數為一組進行冠軍模擬預測，如果產生如下20組隨機數：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354，根據頻率估計概率的思想，下列說法正確的有（）A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65B.甲以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55D.乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15【答案】ACD【解析】對于A，表示甲獲得冠軍的數有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314共13組數，故估計該場比賽甲獲勝的概率為，故A正確；對于B，表示甲以2：0的比分獲得冠軍的數有：123，114，332，125，334，314，共6組數，故估計甲以2：0的比分獲得冠軍概率為，故B錯誤；對于C，表示比賽總共打滿三局的數有：423，423，344，525，152，342，534，512，432，151，354共11組數，故估計比賽總共打滿三局的概率為，故C正確；對于D，表示乙以2：0的比分獲得冠軍的數有：453，443，541共3組數，故估計乙以2：0的比分獲得冠軍的概率為，故D正確；故選：ACD.12.已知平面上兩點M、N之間的距離為6，動點P滿足，則（）A.動點P的軌跡長度為B.不存在滿足的點C.的取值范圍為D.當P、M、N不共線時，的最大面積為50【答案】AC【解析】以點為坐標原點，直線為軸建立平面直角坐標系，如圖，設，顯然，由，得，整理得，因此點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，點的軌跡長度為，A正確；當時，，由得，顯然，于是直線與圓的交點滿足，B錯誤；顯然，而點到定點的距離，則，即的取值范圍為，C正確；顯然點到直線，即軸距離的最大值為，，D錯誤.故選：AC第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案直接填在答題卡上）13.設為虛數單位，則復數的虛部為____________.【答案】3【解析】，其虛部為.故答案為：.14.已知定義在上的奇函數，則__________.【答案】【解析】由題意知為在上的奇函數，所以.故答案為：.15.等比數列滿足，類比“”，我們記，則__________.【答案】32【解析】利用等比數列的性質可得.所以.故答案為：.16.已知四面體中，，且與平面所成的角為，則當時，的最小值是___________.【答案】【解析】設，且點在平面內，取中點，則，顯然，當在面上的投影與共線時，會比不共線的小，當在面上的投影與共線時，以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，又，且與平面所成的角為，設，則，，，得到，，所以，其可表示為點與，的距離之和，作關于軸的對稱點，顯然，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或推演步驟，）17.在一次拋擲硬幣的試驗中規(guī)定：若正面向上（用數字1表示），質點向東移動1個單位；若正面向下（用數字0表示），質點向北移動1個單位.甲同學將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了3次，則質點在水平面中從點經過3次移動后到達點，記事件“”.（1）寫出甲同學進行該試驗的樣本空間，并求；（2）如果乙同學按照甲同學完全相同的方式獨立的進行試驗，記事件“”，求A與B至少有一個發(fā)生的概率.解：（1）由題意，事件，從而.（2）由（1）知，事件A與B至少有一個發(fā)生可以表