2023-2024學(xué)年云南省迪慶州高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省迪慶州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，且，所以故選：D3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，由，結(jié)合雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，在雙曲線中，，可得，，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.5.明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由，，和求各項(xiàng)的問(wèn)題，如九兒?jiǎn)柤赘瑁骸耙粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七.借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”意思是一位老人有九個(gè)兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排列都差3歲，所有兒子的年齡加起來(lái)是207.只要算出長(zhǎng)子是多少歲，其他每個(gè)兒子的歲數(shù)就可以推算出來(lái)，則該問(wèn)題中老人長(zhǎng)子的歲數(shù)為（）A.27 B.31 C.35 D.39【答案】C【解析】依題意，九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長(zhǎng)子的歲數(shù)為，則，解得，所以該問(wèn)題中老人長(zhǎng)子的歲數(shù)為35.故選：C6.2023年11月26日麗江至香格里拉鐵路（麗香鐵路）正式開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪慶藏族自治州結(jié)束不通鐵路的歷史，正式邁入“動(dòng)車(chē)時(shí)代”.若甲、乙、丙三位同學(xué)在寒假期間從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩的概率分別為，，，假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)恰好有1人從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記事件“甲從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，“乙從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，“丙從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，事件“恰好有1人從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，則由題意可知，事件相互獨(dú)立，，且事件兩兩互斥，其中，則有，故由互斥事件的和事件概率公式與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可得.故這段時(shí)間內(nèi)恰好有1人回老家過(guò)節(jié)的概率為.故選：A7.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的為（）A.若l//m，α//β，，則B.若，α//β，則l//βC.若，，則D.若，，，，則【答案】A【解析】l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，對(duì)于A，若，，，則由線面垂直的性質(zhì)得，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則α與γ平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，，則m與α平行、相交或，故D錯(cuò)誤．故選：A．8.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，，所?故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（）A.圓心的坐標(biāo)為 B.圓的半徑為C.圓心到直線的距離為2 D.【答案】ACD【解析】對(duì)于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10.ChatGPT是由OpenAI公司開(kāi)發(fā)的一個(gè)問(wèn)答類(lèi)人工智能應(yīng)用．高科技發(fā)展在吸引年輕人的喜愛(ài)和關(guān)注的同時(shí)，也影響高考志愿填報(bào)方向的選擇．如圖是2021年和2022年我國(guó)某省高中生志愿填報(bào)方向的人數(shù)占比餅狀圖，已知2022年該省高中生志愿填報(bào)總?cè)藬?shù)約為100萬(wàn)人，比2021年總?cè)藬?shù)增加了10萬(wàn)人，則2022年該省高中生志愿填報(bào)人數(shù)與2021年志愿填報(bào)人數(shù)相比，下列說(shuō)法正確的是（）A.人工智能專業(yè)占比變化最大B.電氣自動(dòng)化專業(yè)占比下降第二大C.人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和變大了D.電氣自動(dòng)化專業(yè)填報(bào)人數(shù)變少了【答案】ABC【解析】對(duì)于A中，2020年人工智能的占比為，2021年人工智能的占比為，占比變化為，在各個(gè)志愿填報(bào)中變化最大，所以A正確；對(duì)于B中，電氣自動(dòng)化專業(yè)占比變化為，機(jī)械工程專業(yè)占比變化為，醫(yī)學(xué)專業(yè)占比變化為，其他轉(zhuǎn)化占比變化為，所以電氣自動(dòng)化占比下降第二大，所以B正確；對(duì)于C中，2020年和2021年人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和分別為和，可得，所以C正確；對(duì)于D中，2020年電氣自動(dòng)化的填報(bào)人數(shù)為萬(wàn)人，2021年電氣自動(dòng)化的填報(bào)人數(shù)為萬(wàn)人，可得，所以D不正確.故選：ABC.11.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.準(zhǔn)線l的方程是 B.的最大值為2C.的最小值為7 D.以線段為直徑的圓與y軸相切【答案】AD【解析】由題意得，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線l的方程是，故A正確；，當(dāng)點(diǎn)M在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖所示，過(guò)點(diǎn)M，E分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為5，故C不正確；設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為D，則，∴以線段為直徑的圓與y軸相切，D正確.故選：AD12.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.的解析式為C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.的單調(diào)遞減區(qū)間是，【答案】ABD【解析】依題意，由圖象可知，，則，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，則，即，又，則，所以，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到的圖象，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，，則________.【答案】2【解析】由向量，，得，所以.故答案為：214.已知，，且滿足，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】4【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：415.若函數(shù)，且對(duì)于，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】假設(shè)，由得：，所以可得是單調(diào)減函數(shù)；由在上單調(diào)遞減，可得：，即；由于是單調(diào)減函數(shù)，還需要滿足，即；綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是；故答案為：.16.已知O是邊長(zhǎng)為3正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】∵O是正三角形ABC的中心，則，∴，取的中點(diǎn)，連接，則，即二面角的平面角為，由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，則，三棱錐為正三棱錐，則三棱錐的外接球的球心在直線上，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，∵，則，解得，∴三棱錐外接球的表面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.解：（1）在銳角中，由及正弦定理，得.而，則，又為銳角，所以.（2）由（1）及余弦定理得，，即整理得，而，解得，所以的面積.18.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線：上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求該切線方程.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)和點(diǎn)，且圓心在直線上，所以，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)圓心到直線的距離為5，等于半徑，故滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則點(diǎn)到直線距離為圓的半徑，即，解得，此時(shí).綜上，直線l的方程為或.19.為了提高學(xué)生安全意識(shí)，迪慶州某校利用自習(xí)課時(shí)間開(kāi)展“防溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的安全教育，通過(guò)知識(shí)競(jìng)賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對(duì)“防溺水”知識(shí)認(rèn)知的不足之處，還教會(huì)了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險(xiǎn)能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績(jī)記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學(xué)的成績(jī)，將成績(jī)分成五組，并畫(huà)出了其頻率分布直方圖．（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲組20名同學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)乙組20名同學(xué)成績(jī)的眾數(shù)；（2）現(xiàn)從甲乙兩組同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意取出2個(gè)人的成績(jī)，求取出的2個(gè)人的成績(jī)不在同一組的概率．解：（1）∵，∴甲組20名同學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)為，眾數(shù)為；（2）甲組20名同學(xué)的成績(jī)不低于140分的有2個(gè)，乙組20名同學(xué)的成績(jī)不低于140分的有個(gè)，記事件A為“取出的2個(gè)成績(jī)不是同一組”，任意選出2個(gè)成績(jī)的所有樣本點(diǎn)共個(gè)，其中兩個(gè)成績(jī)不是同一組的樣本點(diǎn)共個(gè)，∴．20.如圖形中，底面是菱形，，與交于點(diǎn)，底面，為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖所示，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且與交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，可得，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）以所在的直線分別為軸，以過(guò)點(diǎn)作的垂線所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以，又由，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍解：（1）依題意，，所以的最小正周期；由，得，所以的對(duì)稱軸方程.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，則，，由函數(shù)有零點(diǎn)，得，解得.所以的取值范圍是.22.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過(guò)的直線與軸垂直，與橢圓交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).解：（1）由題意，橢圓上的點(diǎn)到的最大距離為，所以，所以橢圓方程為；（2）顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，則，由，可得，，，所以直線的方程為，令，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn).云南省迪慶州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，且，所以故選：D3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.4.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，由，結(jié)合雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線右支，在雙曲線中，，可得，，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A.5.明代數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中已經(jīng)給出由，，和求各項(xiàng)的問(wèn)題，如九兒?jiǎn)柤赘瑁骸耙粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七.借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.”意思是一位老人有九個(gè)兒子，不知道他們的出生年月，他們的年齡從大到小排列都差3歲，所有兒子的年齡加起來(lái)是207.只要算出長(zhǎng)子是多少歲，其他每個(gè)兒子的歲數(shù)就可以推算出來(lái)，則該問(wèn)題中老人長(zhǎng)子的歲數(shù)為（）A.27 B.31 C.35 D.39【答案】C【解析】依題意，九個(gè)兒子的歲數(shù)從大到小構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，設(shè)長(zhǎng)子的歲數(shù)為，則，解得，所以該問(wèn)題中老人長(zhǎng)子的歲數(shù)為35.故選：C6.2023年11月26日麗江至香格里拉鐵路（麗香鐵路）正式開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，至此，平均海拔高度3380米的云南省迪慶藏族自治州結(jié)束不通鐵路的歷史，正式邁入“動(dòng)車(chē)時(shí)代”.若甲、乙、丙三位同學(xué)在寒假期間從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩的概率分別為，，，假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)恰好有1人從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記事件“甲從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，“乙從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，“丙從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，事件“恰好有1人從香格里拉坐動(dòng)車(chē)到麗江游玩”，則由題意可知，事件相互獨(dú)立，，且事件兩兩互斥，其中，則有，故由互斥事件的和事件概率公式與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可得.故這段時(shí)間內(nèi)恰好有1人回老家過(guò)節(jié)的概率為.故選：A7.已知l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的為（）A.若l//m，α//β，，則B.若，α//β，則l//βC.若，，則D.若，，，，則【答案】A【解析】l，m，n是三條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，對(duì)于A，若，，，則由線面垂直的性質(zhì)得，故A正確；對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則α與γ平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，，，則m與α平行、相交或，故D錯(cuò)誤．故選：A．8.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，，所?故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（）A.圓心的坐標(biāo)為 B.圓的半徑為C.圓心到直線的距離為2 D.【答案】ACD【解析】對(duì)于AB，圓：的圓心，半徑，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)到直線：的距離，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：ACD10.ChatGPT是由OpenAI公司開(kāi)發(fā)的一個(gè)問(wèn)答類(lèi)人工智能應(yīng)用．高科技發(fā)展在吸引年輕人的喜愛(ài)和關(guān)注的同時(shí)，也影響高考志愿填報(bào)方向的選擇．如圖是2021年和2022年我國(guó)某省高中生志愿填報(bào)方向的人數(shù)占比餅狀圖，已知2022年該省高中生志愿填報(bào)總?cè)藬?shù)約為100萬(wàn)人，比2021年總?cè)藬?shù)增加了10萬(wàn)人，則2022年該省高中生志愿填報(bào)人數(shù)與2021年志愿填報(bào)人數(shù)相比，下列說(shuō)法正確的是（）A.人工智能專業(yè)占比變化最大B.電氣自動(dòng)化專業(yè)占比下降第二大C.人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和變大了D.電氣自動(dòng)化專業(yè)填報(bào)人數(shù)變少了【答案】ABC【解析】對(duì)于A中，2020年人工智能的占比為，2021年人工智能的占比為，占比變化為，在各個(gè)志愿填報(bào)中變化最大，所以A正確；對(duì)于B中，電氣自動(dòng)化專業(yè)占比變化為，機(jī)械工程專業(yè)占比變化為，醫(yī)學(xué)專業(yè)占比變化為，其他轉(zhuǎn)化占比變化為，所以電氣自動(dòng)化占比下降第二大，所以B正確；對(duì)于C中，2020年和2021年人工智能專業(yè)和其他專業(yè)占比之和分別為和，可得，所以C正確；對(duì)于D中，2020年電氣自動(dòng)化的填報(bào)人數(shù)為萬(wàn)人，2021年電氣自動(dòng)化的填報(bào)人數(shù)為萬(wàn)人，可得，所以D不正確.故選：ABC.11.設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)M為C上一動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.準(zhǔn)線l的方程是 B.的最大值為2C.的最小值為7 D.以線段為直徑的圓與y軸相切【答案】AD【解析】由題意得，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線l的方程是，故A正確；，當(dāng)點(diǎn)M在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，故B錯(cuò)誤；如圖所示，過(guò)點(diǎn)M，E分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，B，則，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為5，故C不正確；設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為D，則，∴以線段為直徑的圓與y軸相切，D正確.故選：AD12.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.的解析式為C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.的單調(diào)遞減區(qū)間是，【答案】ABD【解析】依題意，由圖象可知，，則，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，則，即，又，則，所以，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，得到的圖象，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到的圖象，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故B正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知平面向量，，則________.【答案】2【解析】由向量，，得，所以.故答案為：214.已知，，且滿足，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】4【解析】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.故答案為：415.若函數(shù)，且對(duì)于，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】假設(shè)，由得：，所以可得是單調(diào)減函數(shù)；由在上單調(diào)遞減，可得：，即；由于是單調(diào)減函數(shù)，還需要滿足，即；綜上可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是；故答案為：.16.已知O是邊長(zhǎng)為3正三角形ABC的中心，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，平面ABC，二面角的大小為60°，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】∵O是正三角形ABC的中心，則，∴，取的中點(diǎn)，連接，則，即二面角的平面角為，由正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，則，三棱錐為正三棱錐，則三棱錐的外接球的球心在直線上，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，∵，則，解得，∴三棱錐外接球的表面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.解：（1）在銳角中，由及正弦定理，得.而，則，又為銳角，所以.（2）由（1）及余弦定理得，，即整理得，而，解得，所以的面積.18.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線：上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求該切線方程.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)和點(diǎn)，且圓心在直線上，所以，解得：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)圓心到直線的距離為5，等于半徑，故滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即，則點(diǎn)到直線距離為圓的半徑，即，解得，此時(shí).綜上，直線l的方程為或.19.為了提高學(xué)生安全意識(shí)，迪慶州某校利用自習(xí)課時(shí)間開(kāi)展“防溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的安全教育，通過(guò)知識(shí)競(jìng)賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對(duì)“防溺水”知識(shí)認(rèn)知的不足之處，還教會(huì)了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險(xiǎn)能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績(jī)記錄如下：甲