2024-2025學(xué)年廣東省東莞市五校高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】因?yàn)?，可知的終邊與的終邊相同，而為第二象限角，所以是第二象限角.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，若，則，即“”不是“”充分條件；當(dāng)時(shí)，，即“”是“”必要條件，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以，即，因此.故選：C.4.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，均在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，故零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，又，所?故選：A.6.已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，要想對(duì)于恒成立，只需，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，只需滿足.故選：C.8.某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】D【解析】設(shè)第年該政府全年投入的資金翻兩番，依題意得：，因此該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是2032年.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法，正確的是（）A.B.若角與角的終邊在同一條直線上，則C.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則D.若扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榻桥c角的終邊在同一條直線上，所以角與角的終邊可能重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以且，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，又扇形的弧長為2，圓心角為，所以，解得，所以該扇形的面積為，故D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由于導(dǎo)致，故不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，解得，所以的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以是偶函數(shù).而，所以是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，1又，所以是偶函數(shù).而，所以存在零點(diǎn)x=0.所以是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由，解得，所以的定義域?yàn)?所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，，下列說法正確的是（）A.若，則的最小值為5B.若，則的最大值為1C.若，則的最小值為8D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】A：當(dāng)時(shí)，顯然滿足，而，所以本選項(xiàng)不正確；B：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確；D：由，得，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值是_____.【答案】【解析】由題意可知，解之得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意.所以實(shí)數(shù)的值是.13.已知函數(shù)（為常數(shù)），且，則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以有，于是?4.已知函數(shù)（其中，且）.（1）若，則實(shí)數(shù)的值是_________；（2）若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】（1）由解析式可得：，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，顯然不符合函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，若函?shù)的值域?yàn)?，則需滿足，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞減，值域?yàn)椋海@然不符合函數(shù)值域?yàn)?；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（1）計(jì)算.（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因?yàn)?，所?16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，所以或.（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以或，解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍或.17.已知二次函數(shù)滿足，且，為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式，在給定的坐標(biāo)系中畫出的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)二次函數(shù)，則，因?yàn)?，故，所以，解得，則，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，為上的奇函數(shù)，故，，故，綜上，，畫出函數(shù)圖象如下：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由圖可知，，，方程，即，當(dāng)，即時(shí)，或當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程有三個(gè)根.18.東莞廣播電視臺(tái)旗下的電商平臺(tái)—“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)優(yōu)勢(shì)，主要銷售東莞制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及東莞對(duì)口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對(duì)接渠道.近一個(gè)月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等農(nóng)特產(chǎn)品在東莞熱銷.通過對(duì)過去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每千克的銷售價(jià)格（單位：元/千克）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（，且為常數(shù)），日銷售量（單位：千克）關(guān)于第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：9141822295459635952已知第9的日銷售收入為552元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數(shù)模型：①；②；③；④.請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型（簡要說明理由）來描述日銷售量關(guān)于第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（3）設(shè)該工藝品的日銷售收入為函數(shù)（單位：元）；求函數(shù)的最小值.解：（1）因?yàn)榈?的日銷售收入為552元，所以有.（2）由函數(shù)、、的解析式可知：這三個(gè)函數(shù)的單調(diào)性要么在定義域內(nèi)遞增，要么遞減，要么是常值函數(shù)，不會(huì)出現(xiàn)在定義域內(nèi)，即有單調(diào)遞減又有遞增的情況，而函數(shù)在時(shí)，在時(shí)是單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由列表可知：的單調(diào)性是先增后減，因此合適，把代入，得，顯然也滿足函數(shù)的解析式.（3）由題意可知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)，綜上所述：函數(shù)的最小值元.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）解不等式；（3）已知函數(shù)hx與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)函數(shù)，若對(duì)，總，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)镽且函數(shù)為奇函數(shù)，所以，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，符合題意，故成立；，該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，理由如下：設(shè)是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則有，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù).（2）因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)又是奇函數(shù)，所以由，所以不等式的解集為.（3）因?yàn)楹瘮?shù)hx與的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，顯然，所以有，，令，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以，于當(dāng)時(shí)，，對(duì)，總，使得成立，所以有，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.廣東省東莞市五校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】因?yàn)?，可知的終邊與的終邊相同，而為第二象限角，所以是第二象限角.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，若，則，即“”不是“”充分條件；當(dāng)時(shí)，，即“”是“”必要條件，綜上所述，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以，即，因此.故選：C.4.已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，均在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，故零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以.故選：C.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所以，所以，又，所?故選：A.6.已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”為真命題，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，要想對(duì)于恒成立，只需，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，且開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，且恒成立，只需滿足.故選：C.8.某市政府為了增加農(nóng)民收入，決定對(duì)該市特色農(nóng)副產(chǎn)品的科研創(chuàng)新和廣開銷售渠道加大投入，計(jì)劃逐年加大研發(fā)和宣傳資金投入.若該政府2024年全年投入資金120萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】D【解析】設(shè)第年該政府全年投入的資金翻兩番，依題意得：，因此該政府全年投入的資金翻兩番（即為2024年的四倍）的年份是2032年.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法，正確的是（）A.B.若角與角的終邊在同一條直線上，則C.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則D.若扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榻桥c角的終邊在同一條直線上，所以角與角的終邊可能重合，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以且，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)扇形的半徑為，又扇形的弧長為2，圓心角為，所以，解得，所以該扇形的面積為，故D正確.故選：ACD.10.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由于導(dǎo)致，故不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，解得，所以的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又，所以是偶函數(shù).而，所以是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1，1又，所以是偶函數(shù).而，所以存在零點(diǎn)x=0.所以是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，由，解得，所以的定義域?yàn)?所以定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知，，下列說法正確的是（）A.若，則的最小值為5B.若，則的最大值為1C.若，則的最小值為8D.若，則的最小值為【答案】BCD【解析】A：當(dāng)時(shí)，顯然滿足，而，所以本選項(xiàng)不正確；B：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確；D：由，得，且，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值是_____.【答案】【解析】由題意可知，解之得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足題意.所以實(shí)數(shù)的值是.13.已知函數(shù)（為常數(shù)），且，則_____.【答案】【解析】因?yàn)?，所以有，于是?4.已知函數(shù)（其中，且）.（1）若，則實(shí)數(shù)的值是_________；（2）若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】（1）由解析式可得：，所以，所以，（2）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋海@然不符合函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞增，值域?yàn)椋海艉瘮?shù)的值域?yàn)?，則需滿足，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，，函?shù)在單調(diào)遞減，值域?yàn)椋海@然不符合函數(shù)值域?yàn)?；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.（1）計(jì)算.（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因?yàn)?，所?16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以或，所以或.（2）由（1）可得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以或，解得或，所以?shí)數(shù)的取值范圍或.17.已知二次函數(shù)滿足，且，為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)在上的解析式，在給定的坐標(biāo)系中畫出的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)二次函數(shù)，則，因?yàn)?，故，所以，解得，則，所以；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，為上的奇函數(shù)，故，，故，綜上，，畫出函數(shù)圖象如下：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）由圖可知，，，方程，即，當(dāng)，即時(shí)，或當(dāng)，即時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，方程有三個(gè)根.18.東莞廣播電視臺(tái)旗下的電商平臺(tái)—“家鄉(xiāng)好物商城”依托廣播、電視與互聯(lián)網(wǎng)平臺(tái)優(yōu)勢(shì)，主要銷售東莞制造的優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品及東莞對(duì)口支援、幫扶地區(qū)的農(nóng)特產(chǎn)品，打通新疆、廣西、云南、貴州等地區(qū)農(nóng)特產(chǎn)品的產(chǎn)銷對(duì)接渠道.近一個(gè)月來，“貴州黃牛肉”、“廣西小砂糖橘”、“云南野蘋果”等農(nóng)特產(chǎn)品在東莞熱銷.通過對(duì)過去的一個(gè)月（以30天計(jì)）的“廣西小砂糖橘”的銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每千克的銷售價(jià)格（單位：元/千克）關(guān)于第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足（，且為常數(shù)），日銷售量（單位