2024-2025學(xué)年江蘇省連云港市贛榆區(qū)高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市贛榆區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將本人的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試號(hào)填在答題卡上.2.將每題的答案或解答寫在答題卡上，在試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束，只交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.）1.已知拋物線上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得.故選：A2.已知圓過(guò)三點(diǎn)，則的圓心和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中為圓心坐標(biāo)，為半徑.將，代入，得到，展開整理可得，.將，代入，得到，展開整理可得，.將，代入，得到，展開整理可得，.三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，.則所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：D.3.方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】由于方程表示橢圓，所以，解得或.故選：B4.已知雙曲線的離心率為4，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，解得，所以漸近線方程為.故選：D5.已知圓和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.兩圓相交 B.直線AB的方程為C.兩圓有兩條公切線 D.線段AB的長(zhǎng)為【答案】B【解析】圓的圓心是，半徑為，圓的圓心是，半徑為，圓心距為，所以兩圓相交，A選項(xiàng)正確，公切線有條，C選項(xiàng)正確.由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.到直線的距離為，所以，D選項(xiàng)正確.故選：B6.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，河岸線所在直線方程為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短路程為（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，，所以“將軍飲馬”的最短路程為.故選：B7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為3的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，由，解得，因，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：A8.已知A，B，C，D是橢圓上四個(gè)不同的點(diǎn)，且是線段的交點(diǎn)，且，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，而，因?yàn)?，故，即，所以，則，又Ax1,故①，且，即②，①②兩式相減并化簡(jiǎn)得：，即③，同理可得：④，④－③得：，所以，因?yàn)?，所以直線l的斜率為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知直線，則下列結(jié)論正確是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為C.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為0 D.當(dāng)時(shí)，直線與直線AB垂直【答案】AC【解析】直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.時(shí)，，斜率為，傾斜角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，直線的斜率為，C選項(xiàng)正確.時(shí)，，斜率為，直線的斜率為，，所以直線與直線不垂直，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.他發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的方程為B.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是C.曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為D.過(guò)點(diǎn)作曲線的一條切線，切點(diǎn)為F，則等于【答案】ABD【解析】設(shè)Px,y，由，得，而，所以，整理得，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，設(shè)直線的方程為，2,0到直線的距離，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得，所以直線的斜率范圍是，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，2,0到直線的距離為，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知雙曲線分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，焦距為2c，為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，雙曲線E的左、右頂點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為c，則雙曲線的離心率是B.若雙曲線的離心率為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積等于（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值等于C.設(shè)直線PA、PB的斜率分別為，則D.若在第一象限，內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，代入得，解得（負(fù)根舍去），所以，兩邊除以得，解得，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，雙曲線左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，所以，所以，由于雙曲線的離心率，所以，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，設(shè)，則，，，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓于相切于點(diǎn)，如圖所示，則，且，由于，所以，而，所以，所以，所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知直線，直線，若，則______.【答案】【解析】若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，不符合.當(dāng)時(shí)，直線，直線，，符合.故答案為：13.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.過(guò)且垂直于的直線與交于D，E兩點(diǎn)，，則橢圓的方程是______，的周長(zhǎng)是______.【答案】；8【解析】橢圓的離心率為，不妨可設(shè)橢圓，，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為等邊三角形，過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，設(shè)直線方程為，，，，，將其與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，，由韋達(dá)定理可得，，，解得，所以，，橢圓方程為。的周長(zhǎng)等價(jià)于.故橢圓的方程是；的周長(zhǎng)是。故答案為：；8.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）14.平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為為的中點(diǎn).（1）求直線的方程和邊上的高所在的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是？解：（1）依題意，，所以直線的方程為，整理得.直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程是.（2）直線的斜率為，直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是.15.平面直角坐標(biāo)系中，圓心C在第一象限，經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn),且______（在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.）①圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上；②圓心，半徑為；（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.解：（1）由,解得，所以圓過(guò)點(diǎn)2,0.若選①，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，設(shè)圓心為，，則，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為.若選②，圓心，半徑為，則，解得（負(fù)根舍去），所以圓心為，圓的方程為.（2）設(shè)切線方程為，到切線的距離為，解得，所以切線方程為，或，即或.16.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）求與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）若直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且、的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程.解：（1）橢圓，即，所以，所以，所以雙曲線的方程為.（2）雙曲線，對(duì)應(yīng)，所以漸近線方程為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，所以.（3）設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.由，消去并化簡(jiǎn)得，符合.所以直線的方程為.17.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于另外一點(diǎn)，求的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，求的最小值.解：（1）依題意，解得，所以橢圓方程為.（2），直線的方程為，由解得或，則.（3）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則，，，由于，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.18.已知曲線，點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，若直線過(guò)點(diǎn)且與曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，記曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率分別為，證明：為定值.（2）當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為1的直線與曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線PB與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線QB與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，其中G，H均不為曲線的頂點(diǎn)，證明：直線GH過(guò)定點(diǎn).解：（1）根據(jù)題意曲線的方程為.易知，.設(shè)Mx1,y1，Nx2,y由，消去x可得，，且又因?yàn)橹本€與的右支交于M，N兩點(diǎn)，所以所以，即為定值.（2）根據(jù)題意，曲線方程，由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，直線的方程為，將其代入得，，顯然，則，所以，將代入直線的方程，解得，所以，同理得，所以，得，即，整理得，所以，因此直線的方程為，令，即，則，所以直線過(guò)定點(diǎn).江蘇省連云港市贛榆區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將本人的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試號(hào)填在答題卡上.2.將每題的答案或解答寫在答題卡上，在試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束，只交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求.）1.已知拋物線上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程得，解得.故選：A2.已知圓過(guò)三點(diǎn)，則的圓心和半徑分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中為圓心坐標(biāo)，為半徑.將，代入，得到，展開整理可得，.將，代入，得到，展開整理可得，.將，代入，得到，展開整理可得，.三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，.則所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.故選：D.3.方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】由于方程表示橢圓，所以，解得或.故選：B4.已知雙曲線的離心率為4，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，解得，所以漸近線方程為.故選：D5.已知圓和圓相交于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.兩圓相交 B.直線AB的方程為C.兩圓有兩條公切線 D.線段AB的長(zhǎng)為【答案】B【解析】圓的圓心是，半徑為，圓的圓心是，半徑為，圓心距為，所以兩圓相交，A選項(xiàng)正確，公切線有條，C選項(xiàng)正確.由、兩式相減并化簡(jiǎn)得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.到直線的距離為，所以，D選項(xiàng)正確.故選：B6.唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，河岸線所在直線方程為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短路程為（）A. B. C.4 D.2【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，，所以“將軍飲馬”的最短路程為.故選：B7.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為是面積為3的直角三角形，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖：由題可知，點(diǎn)必落在第四象限，，設(shè)，，由，由，解得，因，所以，求得，即，由，解得，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：A8.已知A，B，C，D是橢圓上四個(gè)不同的點(diǎn)，且是線段的交點(diǎn)，且，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，而，因?yàn)?，故，即，所以，則，又Ax1,故①，且，即②，①②兩式相減并化簡(jiǎn)得：，即③，同理可得：④，④－③得：，所以，因?yàn)?，所以直線l的斜率為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知直線，則下列結(jié)論正確是（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為C.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為0 D.當(dāng)時(shí)，直線與直線AB垂直【答案】AC【解析】直線，當(dāng)時(shí)，，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，A選項(xiàng)正確.時(shí)，，斜率為，傾斜角為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，，直線的斜率為，C選項(xiàng)正確.時(shí)，，斜率為，直線的斜率為，，所以直線與直線不垂直，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262年至前190年）與歐幾里得、阿基米德齊名，著有《圓錐曲線論》八卷.他發(fā)現(xiàn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的方程為B.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是C.曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為D.過(guò)點(diǎn)作曲線的一條切線，切點(diǎn)為F，則等于【答案】ABD【解析】設(shè)Px,y，由，得，而，所以，整理得，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，設(shè)直線的方程為，2,0到直線的距離，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，解得，所以直線的斜率范圍是，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，2,0到直線的距離為，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.已知雙曲線分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，焦距為2c，為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，雙曲線E的左、右頂點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好為c，則雙曲線的離心率是B.若雙曲線的離心率為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積等于（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值等于C.設(shè)直線PA、PB的斜率分別為，則D.若在第一象限，內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，代入得，解得（負(fù)根舍去），所以，兩邊除以得，解得，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，雙曲線左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，所以，所以，由于雙曲線的離心率，所以，所以，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，設(shè)，則，，，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓于相切于點(diǎn)，如圖所示，則，且，由于，所以，而，所以，所以，所以內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知直線，直線，若，則______.【答案】【解析】若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線，直線，兩直線重合，不符合.當(dāng)時(shí)，直線，直線，，符合.故答案為：13.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.過(guò)且垂直于的直線與交于D，E兩點(diǎn)，，則橢圓的方程是______，的周長(zhǎng)是______.【答案】；8【解析】橢圓的離心率為，不妨可設(shè)橢圓，，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，為等邊三角形，過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，設(shè)直線方程為，，，，，將其與橢圓聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，，由韋達(dá)定理可得，，，解得，所以，，橢圓方程為。的周長(zhǎng)等價(jià)于.故橢圓的方程是；的周長(zhǎng)是。故答案為：；8.四、解答題：（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）14.平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為為的中點(diǎn).（1）求直線的方程和邊上的高所在的直線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是？解：（1）依題意，，所以直線的方程為，整理得.直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線方程是.（2）直線的斜率為，直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率范圍是.15.平面直角坐標(biāo)系中，圓心C在第一象限，經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn),且______（在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.）①圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上；②圓心，半徑為；（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.解：（1）由,解得，所以圓過(guò)點(diǎn)2,0.若選①，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，設(shè)圓心為，，則，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為.若選②，圓心，半徑為，則，解得（負(fù)根舍去），所