高等數(shù)學Achap11對弧長的曲線積分教學教案

1arclength第一節(jié)對弧長的曲線積分第十一章曲線積分與曲面積分實例勻質之質量分割求和取極限取近似曲線形構件的質量近似值精確值一、問題的提出2二、對弧長的曲線積分的概念1.定義設L為xOy面內一條光滑曲線弧,在L上有界.作乘積并作和在L上任意插入一點列把L分成n個小段.設第i個小段的第i個小段上任意取定的①②③長度為一點,121,,,-nMMML如果當各小弧段的長度的最大值④這和的極限存在,則稱此極限為在曲線弧L對弧長的曲線積分或第一類曲線積分.3曲線形構件的質量即

積分和式被積函數(shù)

弧元素積分弧段記作2.存在條件對弧長的曲線積分連續(xù),3.推廣對弧長的曲線積分為5

在一條光滑(或分段光滑)的是L上關于x的奇函數(shù)

是L上關于x的偶函數(shù)

L1是曲線L落在y軸一側的部分.在分析問題和算題時常用的L關于y軸對稱,補充對稱性質曲線L上連續(xù),則當(或y)(或y)當(或x軸)(或x)6例其中L是圓周解因積分曲線L關于被積函數(shù)x是L上被積函數(shù)因積分曲線L關于對稱性,計算得是L上y軸對稱,關于x的奇函數(shù)x軸對稱,關于y的奇函數(shù)7三、對弧長曲線積分的計算定理其中則有定義且連續(xù),具有一階連續(xù)導數(shù),解法化為參變量的定積分計算tttd)()(22yj￠+￠8注意對弧長的曲線積分要求定積分的下限一定要小于上限!特殊情形(1)(2)tttd)()(22yj￠+￠9(3)推廣或此時需把它化為參數(shù)方程再按上述方法計算.?為參數(shù)),是兩個曲面的交線如果積分路徑L10例解對x積分?例解11練習在第一象限中所圍圖形的邊界.⌒提示解⌒⌒故12幾何意義四、幾何意義與物理意義弧長解設下半圓周的參數(shù)方程則13例解由于有的方程中的x,y,z的地位完全對稱,

對弧長曲線積分的概念

對弧長曲線積分的計算公式五、小結(四步:分割、取近似、求和、取極限）(弧長曲線給出幾種不同形式方程的計算公式)14curvilinearintegral第二節(jié)對坐標的曲線積分變力沿曲線所作的功常力沿直線所作的功分割實例？一、問題的提出15求和取極限取近似取即16二、對坐標的曲線積分的概念1.定義

設L為xOy面內從點A到點B的一條有向光滑

用L上的點:把L分成n個有向小弧段曲線弧,在L上有界.上任意取定的點.L),,(222yxM17如果當各小段長度的最大值的極限總存在,

記作則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上或稱第二類曲線積分.對坐標x的曲線積分,即積分弧段被積函數(shù)18類似地定義稱在有向曲線弧L上對坐標y的曲線積分.2.存在條件在光滑曲線弧L上3.組合形式“點積”形式第二類曲線積分存在.連續(xù),其中4.物理意義⌒⌒195.推廣空間有向曲線弧Γ,類似的也有簡寫形式或者向量形式其中206.性質LL1L2(2)則(1)線性性質(3)有向曲線弧,則21

對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.所以對坐標的曲線積分應該特別注意積分弧段的方向！！對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.三、對坐標的曲線積分的計算思想是因此下限應是起點的坐標,化為定積分計算.上限是終點的坐標.22定理連續(xù),且23(1)對坐標的曲線積分的計算同樣是轉化為定積分。(2)轉化為定積分只要做兩個工作：

代換(將函數(shù)中的x,y

代換為曲線的參數(shù)方程)；定限(確定積分的上下限，與第一類曲線積分不同)。

(3)由于第二類曲線積分與方向有關，所以轉化為定積分必須是下限對應于弧線的起點，上限對應于終點，上限未必大于下限。(4)本公式也表示：可見：24特殊情形(1)則(2)則25(3)推廣26例解⌒⌒(1)(2)27

其中Γ是由點A(1,1,1)到點B(2,3,4)的直線段.直線AB的方程為解化成參數(shù)式方程為于是例A點對應B點對應ò+++++=10d3)31(d2)21(d)1(tttttt28

其中Γ是由點A(3,2,1)到點B(0,0,0)的直線段.練習29例(1)L是上半圓周反時針方向;解A點對應(2)L是x軸上由點到點的線段.

(1)中L的參數(shù)方程為B點對應其中原式=)sin(d)cossin(tatata-+(2)L的方程為原式=30

其中L為例(1)拋物線y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)拋物線x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折線解所以y=x2

x=x

x

從0到1(1)積分弧段為可見，同一曲線積分，雖然路徑不同，但結果也可能相同，即此時積分結果和路徑無關同樣可計算(2)(3)，并且注意到積分結果？31例

的方向就是向量解質點在M(x,y)處受到力的作用，的大小與M到原點的距離成正比，的方向恒指向原點，此質點由點A(a,0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0,b),求所做的功的反方向.其大小與此向量的模成正比由第二類曲線積分的物理意義所以假設其中k>0，為比例常數(shù)⌒⌒⌒⌒32橢圓的參數(shù)方程為起點對應的參數(shù)為0，終點對應的參數(shù)為33補充在分析問題和算題時常用的L在上半平面部分與P(x,y)為P(x,y)為其中L1是曲線L的上半平面的部分.類似地,對稱性質對坐標的曲線積分,當平面曲線L是分段光滑的,關于下半平面部分的走向相反時,x軸對稱,則y的偶函數(shù)y的奇函數(shù)的討論也有相應的結論.對34四、兩類曲線積分之間的關系設有向平面曲線弧為則有向曲線弧L的切向量為))(),((tttyj￠￠=r35可用向量表示有向曲線元則推廣空間曲線36例解

所以把對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分.其中L為沿拋物線從點(0,0)到(1,1).37對坐標曲線積分的概念對坐標曲線積分的計算兩類曲線積分之間的聯(lián)系五、小結四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為定積分計算對坐標曲線積分的物理意義變力沿曲線所作的功關于曲線方向的性質注意:

對坐標的曲面積分的性質38第三節(jié)格林公式及其應用

1.區(qū)域連通性的分類

設D為平面區(qū)域,復連通區(qū)域單連通區(qū)域否則稱為則稱D為平面復連通區(qū)域.成的部分都屬于D,如果D內任一閉曲線所圍單連通區(qū)域,一、格林公式39格林定理(定理1)設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有2.格林公式公式(1)稱其中L是D的取正向的邊界曲線.格林公式.40當觀察者沿邊界行走時,(1)

P、Q在閉區(qū)域D上一階偏導數(shù)的連續(xù)性;(2)曲線L是封閉的,并且取正向.注規(guī)定邊界曲線L的正向區(qū)域D總在他的左邊.41(1)先對簡單區(qū)域證明:證明若區(qū)域D既是又是即平行于坐標軸的直線和L至多交于兩點.42同理可證43(2)再對一般區(qū)域證明:積分區(qū)域的可加性若區(qū)域D由按段光(如圖)將D分成三個既是又是的區(qū)域滑的閉曲線圍成.4445格林公式的實質之間的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與二重積分46(1)計算平面面積3.簡單應用格林公式得閉區(qū)域D的面積格林公式及其應用

例

求橢圓解由公式得D所圍成的面積.47.(2)簡化曲線積分例其中L為圓周解由格林公式有對稱性的正向.對平面閉曲線上的對坐標曲線積分,比較簡單時,常?？紤]通過格林公式化為二重積分來計算.48(3)簡化二重積分則解令例為頂點的三角形閉區(qū)域.格林公式491987年研究生考題,填空(3分)解由格林公式50解記L所圍成的閉區(qū)域為D,其中L為一條無重點,分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉曲線,L的方向為逆時針方向.例令有51即L為不包圍原點的任一閉曲線.即L為包圍原點在內的任一閉曲線.由格林公式應用由格林公式,得作位于D內圓周52注意格林公式的條件∴其中l(wèi)的方向取逆時針方向53練習計算L是圓周:如把圓周寫成參數(shù)方程:再將線積分化為定積分計算,用格林公式易求.答案:分析則過程較麻煩.9)4()1(22=-+-yx54B如果在區(qū)域G內有二、平面上曲線積分與路徑無關的條件AL1L21.平面上曲線積分與路徑無關的定義否則與路徑有關.則稱曲線積分在G內與路徑無關,55定理2設開區(qū)域G是一個單連通域,在G內恒成立.函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則曲線積分在G內與路徑無關(或沿G內任意閉曲線的曲線積分為零)的充要條件是2.平面上曲線積分與路徑無關的條件兩條件缺一不可56

其中L為例(1)拋物線y=x2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(2)拋物線x=y2

上(0,0)到(1,1)的一段弧(3)(0,0)到(1,0)再到(1,1)的折線結果相同，即此時積分結果和路徑無關57三、二元函數(shù)的全微分求積考慮表達式如果存在一個函數(shù)使得則稱并將全微分式,為一原函數(shù).58由例可知:都是分別是上面的原函數(shù).全微分式.59定理3設開區(qū)域G是一個單連通域,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則

下面說明一般怎樣在G內恒成立.在G內為某一函數(shù)的全微分的充要條件是等式求原函數(shù)判斷全微分式60必要性.

由設P、Q的偏導數(shù)連續(xù),因而即設存在某一函數(shù)證于是連續(xù).所以使得61充分性.設已知條件由定理2可知:當起點M0(x0,y0)固定時,在G內恒成立.則于是把曲線積分寫作:上述積分是x,y的函數(shù),記為即曲線積分在區(qū)域G內與路徑無關.M(x,y).起點為M0(x0,y0),終點為M(x,y)的此積分的值取決于終點62

可以證明函數(shù)u(x,y)的全微分就是:因為P(x,y),Q(x,y)都是因此只要證明(1)偏導數(shù)定義,(3)積分中值定理.(2)曲線積分與路徑無關,其中用到下面的知識點:連續(xù)的.63D(x0,y1)或則64例問是否為全微分式?用曲線積分求其一個原函數(shù).如是,解在全平面成立所以上式是全微分式.因而一個原函數(shù)是：全平面為單連通域，法一(x,y)65這個原函數(shù)也可用下法“分組”湊出:法二66因為函數(shù)u滿足故從而所以,問是否為全微分式?用曲線積分求其一個原函數(shù).如是,由此得y的待定函數(shù)法三Cyyyyò+-=-=2d2)(j=??yu=￠+)(yxeyj67解積分與路徑無關

1989年研究生考題,計算,5分設曲線積分與路徑無關,具有連續(xù)的導數(shù),例即xyxy2)(=￠j68(1,0)法一法二692002研究生考題(數(shù)學一)8分內具有一階連續(xù)導數(shù),L是上半平面(y>0)內的有向分段光滑曲線,其起點為(a,b),終點為(c,d).記(1)證明曲線積分I與路徑L無關;(2)當ab=cd時,求I的值.證因為所以在上半平面內曲線積分I與路徑L無關.(1)70解(2)由于曲線積分I與路徑L無關,所以法一·),(ba),(bc·解(2)法二設F(x)為f(x)的一個原函數(shù),則由此得71格林公式四、小結單(復)連通區(qū)域的概念

格林公式的三個應用格林公式的實質的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間注意使用條件72

與路徑無關的四個等價命題

條件在單連通開區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導數(shù),則以下四個命題成立.73第四節(jié)對面積的曲面積分surfaceintegral第十一章曲線積分與曲面積分實例光滑的,它的面密度為連續(xù)函數(shù)求它的質量.一、概念的引入74或記為即如曲面是曲面元素被積函數(shù)則積分號寫成積分曲面稱極限為函數(shù)對面積的曲面積分第一類曲面積分.閉曲面,752.存在條件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面積分存在.對面積連續(xù),3.對面積的曲面積分的性質òò+2d),,(SSzyxf76

補充設分片光滑的x的奇函數(shù)x的偶函數(shù)其中則曲面Σ關于yOz面對稱,4.對面積的曲面積分的幾何意義空間曲面Σ的面積:775.對面積的曲面積分的物理意義面密度為連續(xù)函數(shù)的質量M為:其質心坐標為:78則按照曲面的不同情況分為以下三種：思想是:化為二重積分計算.(1)三、對面積的曲面積分的計算法則(2)),(zxyy=),(zxyzxyyzxdd122++:S若曲面79則(3)確定投影域并寫出

然后算出曲面面積元素;最后將曲面方程代入被積函數(shù),對面積的曲面積分時,首先應根據化為二曲面Σ選好投影面,曲面Σ的方程,重積分進行計算.80例解投影域:所截得的部分.故對稱性yxdd2=81例計算其中是由平面及所圍四面體的整個邊界曲面.解

在平面及上的部分依次記為及

于是由于在所以所以82從而則83例所圍成的空間立體的表面.解的投影域都是對稱性84(左右兩片投影相同)將投影域選在注分成左、右兩片對稱性85計算曲面積分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ記上半球面為下半球面為不是單值的.的值.例86對上半球得對下半球Σ是球面87所以極坐標88計算其中Σ為球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解練習上方的部分.89Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函數(shù)，x2y是y的奇函數(shù).關于yOz面及xOz面對稱;

yxyxaadd222--=90例解積分曲面方程輪序對稱提示即三個變量輪換位置方程不變.具有輪換對稱性,中的變量x、y、z91

對面積的曲面積分的計算

對面積的曲面積分的概念四、小結四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計算;

對面積的曲面積分的幾何意義與物理意義曲面方程三種形式的計算公式92surfaceintegral第五節(jié)對坐標的曲面積分觀察以下曲面的側曲面分上側和下側曲面分內側和外側1.有向曲面

通常光滑曲面都有兩側.(假設曲面是光滑的)一、預備知識93有兩側的曲面.規(guī)定(1)雙側曲面2.曲面的分類法向量的方向來區(qū)分曲面的兩側.選定了側的曲面稱為有向曲面943.有向曲面在坐標面上的投影設Σ是有向曲面.

假定的余弦上各點處的法向量與z軸的夾角有相同的符號.

在有向曲面取一小塊

類似地,可定義在yOz面及zOx面的投影:在xOy面上的投影在xOy面上的投影區(qū)域的面積附以一定的實際上就是正負號.95流向曲面一側的流量.流量實例(為平面A的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速場為常向量有向平面區(qū)域

A,求單位時間流過A的流體的質量(假定密度為1).二、概念的引入96(2)

設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體給出,函數(shù)

流體的密度與速度均不隨時間而變化(假定密度為1)的速度場由當不是常量,曲面求在單位時間內流向指定側的流體的質量是速度場中的一片有向曲面,97

分割則該點流速為，法向量為98常向量,有向平面求和取近似該點處曲面Σ的單位法向量高底通過Σ流向指定側的流量kjiniiiirrrrgbacoscoscos++=),cos(||iiinvvrrr99取極限1001.定義三、概念與性質定義101或稱被積函數(shù)積分曲面存在,則稱此極限為第二類曲面積分.記作即如曲面為封閉曲面:102類似可定義2.存在條件對坐標的曲面積分存在.在有向光滑連續(xù),1033.組合形式4.物理意義如:上述流向Σ指定側的流量φ為:

也可寫成有向曲面元向量的形式)dd,dd,dd(Sdyxxzzy=r1045.性質(1)(2)(3)表示Σ相反的一側,,的曲面積分性質對坐標zxyz.也有類似的結果105上側,四、對坐標的曲面積分的計算法設積分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影區(qū)域為函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù),被積函數(shù)R(x,y,z)在Σ上連續(xù).106對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的注側.107

計算對坐標的曲面積分時:(1)認定對哪兩個坐標的積分,將曲面Σ表為這兩個變量的函數(shù),并確定Σ的投影域.(2)將Σ

的方程代入被積函數(shù),化為投影域上的二重積分.(3)根據Σ的側(法向量的方向)確定二重積分前的正負號.108

例其中Σ是所圍成的正方體的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3

先計算由于平面都是母線平行于x軸的柱面,則在其上對坐標y,z的積分為0.解三個坐標面與平面外側.Σ1109x=a面在yOz面上的投影為正,而x=0面在yOz面上的投影為負.投影域均為:0≤y≤a,0≤z≤a,故由x,y,z的對等性知,所求曲面積分為3a4.后兩個積分值也等于a4.Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ1110解投影域

例計算其中Σ是球面外側在的部分.111極坐標112設有向曲面Σ是由方程函數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù),被積函數(shù)給出,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系Σ在xOy是由方程面上投影區(qū)域為對坐標的曲面積分為R(x,y,z)在Σ上連續(xù).113曲面Σ的法向量的方向余弦為對面積的曲面積分為所以(注意取曲面的兩側均成立)114兩類曲面積分之間的聯(lián)系類似可得不論哪一側都成立.其中是有向曲面Σ在點處的法向量的方向余弦.115向量形式有向曲面元116解

例下側.117118

例其中Σ解法一直接用對坐標的曲面積分計算法.且其投影區(qū)域分別為由于Σ取上側,在第一卦限部分的上側.面的投影都是正的,119取上側òò-+--1010d)222(dxyxyxx法二利用兩類曲面積分的聯(lián)系計算.Σ取上側,銳角.則法向量n與z軸正向的夾角為120yxzzSyxdd1d22++=121關于曲面?zhèn)鹊男再|六、小結

對坐標的曲面積分的計算

對坐標的曲面積分的概念四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計算;

對坐標的曲面積分的物理意義注意:“一投,二代,三定號”

對坐標的曲面積分的性質兩類曲線積分之間的聯(lián)系方法:122第六節(jié)高斯(Gauss)公式第十一章曲線積分與曲面積分

格林公式把平面上的閉曲線積分與本節(jié)的高斯公式表達了空間閉曲面上的曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的三重積分的關系.所圍區(qū)域的二重積分聯(lián)系起來.123一、高斯公式具有則有公式一階連續(xù)偏導數(shù),或

高斯公式外側,124

證明思路

分別證明以下三式,從而完成定理證明.只證其中第三式,其它兩式可完全類似地證明.125證設空間區(qū)域Ω母線平行于z軸的柱面.即邊界面三部分組成:(取下側)(取上側)(取外側)由三重積分的計算法126投影法(先一后二法)

由曲面積分的計算法取下側,取上側,取外側

一投,二代,三定號127于是同理合并以上三式得}自己證高斯公式128由兩類曲面積分之間的關系知高斯公式為計算(閉)曲面積分提供了它能簡化曲面積分的計算.一個新途徑,表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯Gauss公式的實質129解

球

例外側.130使用Guass公式時易出的差錯:(1)搞不清是對什么變量求偏導;(2)不滿足高斯公式的條件,用公式計算;(3)忽略了的取向,注意是取閉曲面的外側.高斯公式131例解

外側.?能否直接用點(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程將被積但是被積函數(shù)中的函數(shù)化簡，高斯公式132有時可作輔助面,(將輔助面上的積分減去).化為閉曲面的曲面積分,然后利用高斯公式.對有的非閉曲面的曲面積分,例計算曲面積分之間下側.的法向量的方向余弦.部分的解空間曲面Σ在xOy面上的曲面

不是為利用高斯公式.投影域為補封閉曲面,133由對稱性先二后一法134故所求積分為yxyxSdddd001d=++=135解(如圖)練習計算曲面積分1987年研究生考題,計算(10分)繞y軸旋轉曲面方程為一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角繞y軸旋轉136取右側.有

高斯公式柱坐標137取右側故1381.

通量為向量場

設有一向量場則稱沿場中有向曲面Σ某一側的曲面積分:通量.穿過曲面Σ這一側的二、物理意義通量與散度通量的計算公式1392.散度設有向量場為場中任一點,在P點的某鄰域內作一包含P點在其內的閉曲面它所圍成的小區(qū)域及其體積記為表示內穿出的通量,若當縮成P點時,極限記為散度.存在,則該極限值就稱為向量場在P點處的即140散度的計算公式設均可導,點處的散度為高斯公式高斯公式可寫成141例向量場1989年研究生考題,填空(3分)解142高斯Gauss公式物理意義--通量與散度三、小結表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.高斯Gauss公式的實質(注意使用的條件)143第七節(jié)斯托克斯(stokes)公式

第十一章曲線積分與曲面積分一、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理為分段光滑的空間有向閉曲線,是以邊界的分片光滑的有向曲面,具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有公式為GS144

即有其中方向余弦.是Σ指定一側的法向量145Γ的正向與Σ的側符合右手規(guī)則:

當右手除拇指外的四指依Γ的繞行方向時,右手法則拇指所指的方向與Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向邊界曲線.稱Γ146另一種形式便于記憶形式y(tǒng)xyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(??-??+??-??+??-??òòS147Stokes公式的實質

表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系.注意:

則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果∑

是xoy

坐標平面上的一塊平面區(qū)域,148解法一按斯托克斯公式,計算曲線積分例其中被三坐標面所截成的三角形的整個邊界,它的正向與這個三角形上側的法向量之間符合右手規(guī)則.有149按斯托克斯公式,

法二有150解則計算曲線積分例其中截立方體:的表面所得的截痕,若從Ox軸的正向看去,取逆時針方向.取Σ為平面的上側被Γ所圍成的部分.Σ在xOy面上的投影為151即1521.環(huán)流量的定義circulationcurl環(huán)流量.二、物理意義---環(huán)流量與旋度設向量場按所取方向的沿曲線稱為向量場