《電路與信號(hào)分析》課件第4章

4.1電容元件和電感元件4.2換路定則及初始值計(jì)算4.3一階電路的零輸入響應(yīng)4.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)4.5一階電路的全響應(yīng)4.6一階電路的三要素法4.7一階電路的階躍響應(yīng)4.8一階電路的沖激響應(yīng)4.9卷積積分習(xí)題4第4章一階電路分析

4.1電容元件和電感元件

4.1.1電容元件

把兩塊金屬極板用電介質(zhì)隔開就可以構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的電容器。由于理想介質(zhì)是不導(dǎo)電的，在外電源的作用下，兩塊極板上能分別積聚等量的異性電荷，在極板之間形成電場(chǎng)，可見電容器是一種能積聚電荷、儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的器件。電容器種類很多，按介質(zhì)分有紙質(zhì)電容器、云母電容器、電解電容器等；按極板形狀分有平板電容器、圓柱形電容器等。電容元件是實(shí)際電容器的理想化模型，其電路符號(hào)如4-1所示。電容元件的定義為：若一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻t所積累的電荷q(t)與端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用q-u平面上的一條曲線來確定，則稱該二端元件為電容元件，簡(jiǎn)稱電容。電容是一種電荷與電壓相約束的元件，其電荷瞬時(shí)值與電壓瞬時(shí)值之間具有代數(shù)關(guān)系。

與電阻元件相類似，若約束電容元件的q-u平面上的曲線為通過原點(diǎn)的直線，則稱此電容為線性電容，否則為非線性電容；若曲線不隨時(shí)間而變化，則稱其為非時(shí)變電容，否則稱為時(shí)變電容。圖4-1電容元件的電路符號(hào)如圖4-1所示，q-u取關(guān)聯(lián)參考方向，即參考正極板上的電荷也假設(shè)為+q的情況下，如果電容元件的q-u特性曲線是一條通過原點(diǎn)的直線，且不隨時(shí)間而變化，如圖4-2所示，則此電容元件為線性非時(shí)變電容，其q和u的關(guān)系可以寫成

q(t)=Cu(t)(4-1)

式中，C是一個(gè)與q、u及t無關(guān)的正值常量，是表征電容元件積聚電荷能力的物理量，稱為電容量，也簡(jiǎn)稱為電容。如不特別加以說明，本書中的電容元件均系指線性非時(shí)變電容。圖4-2線性非時(shí)變電容的q-u曲線在國(guó)際單位制(SI)中，電容的單位為法［拉］(簡(jiǎn)稱法，符號(hào)為F)。1法=1庫/伏。也可以用微法(μF)或皮法(pF)作單位，它們的關(guān)系是

1pF=10-6μF=10-12F

雖然電容是根據(jù)q-u關(guān)系定義的，但在電路分析中感興趣的是電容元件的伏安關(guān)系(VCR)。在圖4-1所示的電容中，電容端電壓u和電流i在關(guān)聯(lián)參考方向下，由電流的定義和電容的定義q(t)=Cu(t)可得

(4-2)這就是電容元件微分形式的VCR。若電容端電壓u與電流i參考方向不關(guān)聯(lián)，則上式右邊應(yīng)加負(fù)號(hào)，即

(4-3)式(4-2)表明，任一時(shí)刻通過電容的電流i取決于該時(shí)刻電容兩端電壓的變化率。若電壓恒定不變，雖有電壓，但其變化率為零，則其電流為零，這時(shí)電容相當(dāng)于開路，因此電容有隔直流的作用；若某一時(shí)刻電容電壓為零，但電容電壓的變化率不為零，則此時(shí)電容電流也不為零。這和電阻元件不同，電阻兩端只要有電壓，不論變化與否都一定有電流。由于電容電流不取決于該時(shí)刻所加電壓的大小，而取決于該時(shí)刻電容電壓的變化率，所以電容元件稱為動(dòng)態(tài)元件。式(4-2)還表明，若某一時(shí)刻電容電流i為有限值，則其電壓變化率也必然為有限值。這說明該時(shí)刻電容電壓只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變；反之，如果某時(shí)刻電容電壓發(fā)生跳變，則意味著該時(shí)刻電容電流為無限大。一般電路中的電流總是有限值，這說明電容電壓只能是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，這種性質(zhì)稱為電容的慣性，電容元件也稱為慣性元件。電容電壓不發(fā)生跳變對(duì)于分析含電容元件的動(dòng)態(tài)電路是十分重要的。對(duì)式(4-2)兩邊積分，可得電容元件積分形式的VCR為

(4-4)式中，將積分號(hào)內(nèi)的時(shí)間變量t改用ξ表示，以區(qū)別積分上限t；積分下限－∞表示電容尚未積聚電荷的時(shí)刻。顯然

是電容在t時(shí)刻所積聚的總電荷量。由式(4-4)可知，任一時(shí)刻t電容電壓并不取決于該時(shí)刻的電流值，而取決于從－∞到t所有時(shí)刻的電流值，即與t以前電容電流的全部歷史有關(guān)。因此可以說電容電壓有“記憶”電流的作用，電容是一種“記憶元件”。實(shí)際上，要搞清楚電容電流的全部作用歷史是不容易也沒有必要的。電路分析中常常只對(duì)某一時(shí)刻t0以后的情況感興趣，因此可以把式(4-4)改寫為式中，稱u(t0)為電容的初始電壓，它反映了t0前電流的全部作用對(duì)t0時(shí)刻電壓的影響。式(4-5)表明，一個(gè)電容元件只有在C和初始電壓u(t0)都給定時(shí)，才是一個(gè)完全確定的元件。如果知道了t≥t0時(shí)的電流i(t)以及電容的初始電壓u(t0)，就能確定t≥t0后的電容電壓。

在電容電壓u(t)和電流i(t)關(guān)聯(lián)參考方向下，其瞬時(shí)吸收功率為

p(t)=u(t)·i(t)

(4-6)當(dāng)電容充電時(shí)，u(t)、i(t)符號(hào)相同，p為正值，表示電容吸收能量；當(dāng)電容放電時(shí)，u(t)、i(t)符號(hào)相反，p為負(fù)值，表示電容釋放能量。這與電阻元件吸收功率恒為正值的性質(zhì)完全不同。任意時(shí)刻t電容吸收的總能量即電容的儲(chǔ)能為由于u(－∞)=0，故

(4-7)

式(4-7)表明，電容在任一時(shí)刻的儲(chǔ)能只取決于該時(shí)刻的電容電壓值，而與該時(shí)刻電容電流值無關(guān)；任一時(shí)刻電容儲(chǔ)能與該時(shí)刻電容電壓的平方成正比。電容儲(chǔ)能不能為負(fù)，這表明電容是一個(gè)無源元件。電容充電時(shí)，儲(chǔ)能增加；電容放電時(shí)，儲(chǔ)能減少。所以電容元件是一個(gè)儲(chǔ)能元件而不是耗能元件。電容電壓具有記憶性質(zhì)是電容的儲(chǔ)能本質(zhì)使然。電容電壓在一般情況下不能跳變是能量不能突變的緣故。如果儲(chǔ)能突變，能量的變化率(功率)將為無限大，這在電容電流為有限的條件下是不可能的。

例4-1在如圖4-3(a)所示電路中，uS(t)波形如圖4-3(b)所示，已知電容C=4F。求iC(t)、pC(t)和wC(t)，并畫出它們的波形。

解寫出uS(t)的函數(shù)表達(dá)式圖4-3例4-1圖由式(4-2)，得由式(4-6)，得由式(4-7)，得

由iC(t)、pC(t)、wC(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式畫出它們的波形，分別如圖4-4(a)、(b)和(c)所示。圖4-4例4-1波形圖從本例可以看出：

(1)電容電流是可以跳變的。

(2)電容的功率也是可以跳變的，這是由于電容電流跳變的原因。功率值可正、可負(fù)。功率為正值，表示電容從電源uS(t)吸收功率；功率為負(fù)值，表示電容釋放功率且交還電源。

(3)wC(t)總是大于或等于零，儲(chǔ)能值可升、可降，但為連續(xù)函數(shù)。

例4-2在圖4-5(a)所示電路中，iS(t)波形如圖4-5(b)所示，已知電容C=2F，初始電壓u(0)=0.5V。試求t≥0時(shí)的電容電壓，并畫出其波形。

解寫出iS(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式圖4-5例4-2圖根據(jù)電容VCR的積分形式，得

其波形如圖4-5(c)所示。4.1.2電感元件

通常把導(dǎo)線繞成的線圈稱為電感器或電感線圈。當(dāng)線圈通過電流時(shí)即在其線圈內(nèi)外建立磁場(chǎng)并產(chǎn)生磁通Φ，如圖4-6所示。各線匝磁通的總和稱為磁鏈j，若線圈匝數(shù)為N，則j=NΦ?？梢婋姼衅魇且环N能建立磁場(chǎng)、儲(chǔ)存磁場(chǎng)能量的器件。

電感元件是實(shí)際電感器的理想化模型，其電路符號(hào)如圖

4-7所示。它的定義為：一個(gè)二端元件，如果在任一時(shí)刻t，它所交鏈的磁鏈j(t)與其電流i(t)之間的關(guān)系可以用j-i平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件，簡(jiǎn)稱電感。電感元件是一種磁鏈與電流相約束的元件，其磁鏈瞬時(shí)值與電流瞬時(shí)值之間具有代數(shù)關(guān)系。圖4-6電感線圈及其磁通圖4-7電感元件的電路符號(hào)與電阻元件和電容元件相類似，若約束電感元件的j-i平面上的曲線為通過原點(diǎn)的直線，則稱它為線性電感；否則為非線性電感。若曲線不隨時(shí)間而變化，則稱為非時(shí)變電感，否則稱為時(shí)變電感。

在討論i(t)與j(t)的關(guān)系時(shí)，通常采用關(guān)聯(lián)參考方向，即兩者的參考方向符合右手螺旋定則。由于電感元件的符號(hào)并不顯示繞線方向，在假定電流的流入端處標(biāo)以磁鏈的“+”號(hào)，這就表示，與該元件相對(duì)應(yīng)的電感線圈中電流與磁鏈的參考方向符合右手螺旋定則。在圖4-7中，“+”、“-”號(hào)既表示磁鏈，也表示電壓的參考方向。如果電感元件的j-i特性曲線是一條通過原點(diǎn)的直線，且不隨時(shí)間而變化，如圖4-8所示，則此電感元件稱為線性非時(shí)變電感元件，其j和i的關(guān)系可以寫成

j(t)=Li(t)(4-8)

式中，L是一個(gè)與j、i及t無關(guān)的正值常量，是表征電感元件產(chǎn)生磁鏈能力的物理量，稱為電感量，簡(jiǎn)稱為電感。如不加特別說明，本書中的電感元件均系指線性非時(shí)變電感。圖4-8線性非時(shí)變電感的j-i曲線在國(guó)際單位制(SI)中，電感的單位為亨［利］(簡(jiǎn)稱亨，符號(hào)為H)。1亨=1韋/安。也可以用毫亨(mH)或微亨(μH)作單位，它們的關(guān)系是

1μH=10-3mH=10-6H

雖然電感是根據(jù)j-i關(guān)系定義的，但在電路分析中感興趣的是電感元件的伏安關(guān)系(VCR)。在圖4-7所示的電感中，電感端電壓u和電流i在關(guān)聯(lián)參考方向下，由電磁感應(yīng)定律，可得將式(4-8)代入上式，得

(4-9)

這就是電感元件微分形式的VCR。若電感元件端電壓u與電流i參考方向不關(guān)聯(lián)，則上式右邊應(yīng)加負(fù)號(hào)，即

(4-10)式(4-9)表明，任一時(shí)刻電感端電壓u取決于該時(shí)刻電感電流的變化率di/dt。若電流恒定不變，則雖有電流，但其變化率為零，使其電壓為零，這時(shí)電感相當(dāng)于短路，因此電感對(duì)直流起著短路的作用；若某一時(shí)刻電感電流為零，但電感電流的變化率不為零，則此時(shí)電感電壓也不為零。由于電感電壓不取決于該時(shí)刻電感電流的大小，而取決于該時(shí)刻電感電流的變化率，所以電感元件也稱為動(dòng)態(tài)元件。式(4-9)還表明，若某一時(shí)刻電感電壓u為有限值，則其電流變化率di/dt也必然為有限值，這說明該時(shí)刻電感電流只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變；反之，如果某時(shí)刻電感電流發(fā)生跳變，則意味著該時(shí)刻電感電壓為無限大。如電感與理想電流源接通的瞬間，由KCL的約束，電感電流一躍為電流源的電流值，此時(shí)刻電路中電感電壓為無限大。當(dāng)然，這是一種理想情況。一般電路中的端電壓總是有限值，這說明電感電流只能是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，這種性質(zhì)稱為電感的慣性，電感元件也稱為慣性元件。電感電流不發(fā)生跳變對(duì)于分析含電感元件的動(dòng)態(tài)電路是十分重要的。對(duì)式(4-9)兩邊積分，可得電感元件積分形式的VCR為

(4-11)

把式(4-11)積分號(hào)內(nèi)的時(shí)間變量t改用ξ表示，以區(qū)別積分上限t；積分下限－∞表示電感尚未建立磁場(chǎng)的時(shí)刻。顯然，

是電感在t時(shí)刻所交鏈的總磁鏈數(shù)。由式

(4-11)可知，某一時(shí)刻電感電流并不取決于該時(shí)刻的電壓值，而取決于從－∞到t所有時(shí)刻的電壓值，即與t以前電感電壓的全部歷史有關(guān)。因此，可以說電感電流有“記憶”電壓的作用，電感也是一種記憶元件。類似前面分析電容的情況，在選擇起始時(shí)刻后，式(4-11)可以改寫為

(4-12)式中，i(t0)稱為電感的初始電流，它反映了t0前電壓的全部作用對(duì)t0時(shí)刻電流的影響。式(4-12)表明，一個(gè)電感元件只有在L和初始電流i(t0)都給定時(shí)，才是一個(gè)完全確定的元件。如果知道了t≥t0時(shí)的電壓u(t)以及電感的初始電流i(t0)，就可以確定t≥t0后的電感電流。在電感電壓u(t)和電流i(t)關(guān)聯(lián)參考方向下，其瞬時(shí)吸收功率為

p(t)=u(t)·i(t)

(4-13)

電感元件的功率與電容元件一樣有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)。功率為正值時(shí)，表示電感吸收能量，儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中；功率為負(fù)值時(shí)，表示電感釋放儲(chǔ)存在磁場(chǎng)中的能量。因此電感也是一個(gè)儲(chǔ)能元件，而不是耗能元件。任意時(shí)刻t電感吸收的總能量即電感的儲(chǔ)能為由于i(－∞)=0，故

(4-14)

式(4-14)表明，電感任一時(shí)刻的儲(chǔ)能只取決于該時(shí)刻的電感電流值，而與該時(shí)刻電感電壓值無關(guān)。顯然，電感儲(chǔ)能不能為負(fù)，這表明電感是一個(gè)無源元件。

電感電流一般情況下不能跳變也正是能量不能突變的緣故。

例4-3在圖4-9(a)所示電路中，uS(t)波形如圖4-9(b)所示。

(1)求t≥0時(shí)的電感電流iL(t)，并繪出波形圖；

(2)求t=2.5s時(shí)，電感儲(chǔ)存的能量。

解(1)由uS(t)的波形可以寫出函數(shù)的表達(dá)式為分段計(jì)算電流:

當(dāng)0≤t<1時(shí)，因電感無初始儲(chǔ)能，iL(0)=0A，所以

當(dāng)t=1時(shí)，iL(1)=1A。當(dāng)1≤t≤3時(shí)

當(dāng)t=3時(shí)，iL(3)=－1A。當(dāng)t>3時(shí)

iL(t)的波形如圖4-9(c)所示，可以看到盡管電感兩端的電壓有跳變，但iL(t)的波形并未發(fā)生跳變。

(2)t=2.5s時(shí)，iL(2.5)=2－2.5=－0.5A，電感儲(chǔ)存的能量為

如果將電容和電感的VCR加以比較，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，把電容VCR式(4-2)中的i與u對(duì)換，C換成L，就可得到電感VCR式

(4-9)；反之，通過類似的變換，也可由后者得到前者。因此，電容元件和電感元件互為對(duì)偶元件，它們的含義、特性都具有相應(yīng)的對(duì)偶關(guān)系，這在表3-1中已經(jīng)列出。圖4-9例4-3圖4.1.3電容、電感的串并聯(lián)

圖4-10(a)是n個(gè)電容相串聯(lián)的電路，流過各電容的電流為同一電流i。根據(jù)電容的伏安關(guān)系，有由KVL得端口電壓上式可理解為圖4-10(a)所示串聯(lián)電路的VCR，由此可得到等效電路如圖4-10(b)所示，其中

(4-15)

式(4-15)表明，n個(gè)電容相串聯(lián)可等效成一個(gè)電容，其等效電容的倒數(shù)為各串聯(lián)電容倒數(shù)的總和。圖4-10電容的串聯(lián)圖4-11(a)是n個(gè)電容相并聯(lián)的電路，各電容的端電壓為同一電壓u。根據(jù)電容的伏安關(guān)系，有

由KCL得端口電流上式可理解為圖4-11(a)所示并聯(lián)電路的VCR，由此可得到等效電路如圖4-11(b)所示，其中

Ceq=C1+C2+…+Cn

(4-16)

式(4-16)表明，n個(gè)電容相并聯(lián)的等效電容等于各并聯(lián)電容的總和。圖4-11電容的并聯(lián)由電容元件和電感元件的對(duì)偶特性，可得到：對(duì)于n個(gè)電感相串聯(lián)的電路，若串聯(lián)電感為L(zhǎng)1，L2，…，Ln，則其等效電感為各串聯(lián)電感的總和，即

Leq=L1+L2+…+Ln

(4-17)

對(duì)于n個(gè)電感相并聯(lián)的電路，若并聯(lián)電感為L(zhǎng)1，L2，…，Ln，則其等效電感的倒數(shù)為各并聯(lián)電感倒數(shù)的總和，即

(4-18)表4-1列出了電容元件和電感元件在串聯(lián)和并聯(lián)情況下的等效計(jì)算公式、分壓公式和分流公式。為便于對(duì)照，將電阻元件也列入表中。表4-1元件串聯(lián)和并聯(lián)的關(guān)系式

4.2換路定則及初始值計(jì)算

在電路分析中，把電路元件的連接方式或參數(shù)的突然改變稱為換路。換路常用開關(guān)來完成。換路意味著電路工作狀態(tài)的改變。

在動(dòng)態(tài)電路中，由于含有慣性元件，換路后能量的存儲(chǔ)或釋放不能瞬間完成，表現(xiàn)為電容電壓、電感電流只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變，因而換路后電路的響應(yīng)有一個(gè)逐步過渡的過程，簡(jiǎn)稱過渡過程或瞬態(tài)過程。電阻電路無過渡過程。動(dòng)態(tài)電路分析即瞬態(tài)過程分析的任務(wù)是分析動(dòng)態(tài)電路換路后的電壓、電流變量的變化規(guī)律。動(dòng)態(tài)電路的經(jīng)典時(shí)域分析法包括以下兩個(gè)主要步驟。

(1)依據(jù)電路的兩類約束，即基爾霍夫定律和元件的VCR建立換路后以所求響應(yīng)為變量的微分方程。

(2)找出所需的初始條件，求解微分方程。不論是電阻電路還是動(dòng)態(tài)電路，電路中的各支路電流和支路電壓都分別受到KCL和KVL的約束，但動(dòng)態(tài)電路中含有動(dòng)態(tài)元件，它們的VCR約束關(guān)系是微分或積分形式。因此，線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。如果描述電路動(dòng)態(tài)過程的微分方程是n階的，就需要n個(gè)初始條件。設(shè)t=0是換路的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，而t=0-和t=0+分別表示開關(guān)動(dòng)作前的最后一個(gè)瞬間和開關(guān)動(dòng)作后的第一個(gè)瞬間，則這些初始條件是所求變量(電壓或電流)及其1，2，…，n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0+時(shí)的值，也稱為初始值。其中電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始儲(chǔ)能決定，其余變量(如iC、uL、iR、uR等)的初始值將由激勵(lì)(電壓源或電流源)以及初始儲(chǔ)能共同決定。初始儲(chǔ)能是指換路前t=0-瞬間電路的儲(chǔ)能狀態(tài)即uC(0-)或iL(0-)，通常也稱為電路的初始狀態(tài)。4.2.1換路定則

在關(guān)聯(lián)參考方向下，電容VCR的積分形式為

令t0=0-，得式中，uC(0-)為換路前最后瞬間的電壓值，即初始狀態(tài)。為求取換路后電容電壓的初始值，取t=0+并代入上式，得

(4-19)如果換路(開關(guān)動(dòng)作)是理想的，即不需要時(shí)間，則有

0-=0=0+，且換路瞬間電容電流iC為有限值，則式(4-19)中積分項(xiàng)將為零，即

或

qC(0+)=qC(0-)

(4-20)式(4-20)的結(jié)論正是物理學(xué)中給出的封閉系統(tǒng)(即與外界無能量交換的系統(tǒng))中電荷守恒定律在瞬態(tài)分析中的體現(xiàn)。在滿足式(4-20)時(shí)，式(4-19)變?yōu)?/p>

uC(0+)=uC(0-)

(4-21)

式(4-21)表明，換路雖然使電路的工作狀態(tài)發(fā)生了改變，但只要換路瞬間電容電流為有限值，則電容電壓在換路前后瞬間將保持同一數(shù)值，這正是電容慣性特性的體現(xiàn)。由于電感與電容是對(duì)偶元件，根據(jù)對(duì)偶特性，可知電感具有如下特性：

或

jL(0+)=jL(0-)

(4-22)

iL(0+)=iL(0-)(4-23)式(4-22)表示封閉系統(tǒng)換路瞬間服從磁鏈?zhǔn)睾愣?。?/p>

(4-23)表明，只要換路瞬間電感電壓為有限值，則電感電流在換路前后瞬間將保持同一數(shù)值，這正是電感慣性特性的體現(xiàn)。

式(4-21)和式(4-23)通稱為換路定則。當(dāng)取t=t0時(shí)，換路定則表示為

(4-24a)

(4-24b)必須指出，應(yīng)用換路定則是有條件的，即必須保證電路在換路瞬間電容電流、電感電壓為有限值。一般電路均能滿足這個(gè)條件，換路定則成立。對(duì)于某些不滿足上述條件的電路，換路定則失效，換路時(shí)刻電容電壓、電感電流可能發(fā)生跳變，這類電路將在4.8節(jié)中討論。4.2.2初始值計(jì)算

如前所述，電容電壓和電感電流反映了電路的儲(chǔ)能狀態(tài)，它們具有連續(xù)的特性。當(dāng)電路的初始狀態(tài)uC(0-)和iL(0-)確定后，可根據(jù)換路定則得到電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。除了電容電壓、電感電流以外的其它變量(如iC、uL、iR、uR等)都不受換路定則的約束，在換路瞬間可能發(fā)生跳變。在計(jì)算這些變量的初始值時(shí)，需要由激勵(lì)以及uC(0+)和iL(0+)的值作出t=0+時(shí)的等效電路，再根據(jù)KCL、KVL和各元件的VCR來確定。

例4-4電路如圖4-12所示，開關(guān)S閉合前電路已穩(wěn)定，已知uS=10V，R1=30Ω，R2=20Ω，R3=40Ω，t=0時(shí)開關(guān)閉合。試求開關(guān)閉合時(shí)各電流、電壓的初始值。

解

(1)首先必須求得電路的初始狀態(tài)，即uC(0-)和iL(0-)。

由于t<0時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)，電路各處電壓、電流為常量，，故uL=0，電感可看做短路；，故iC=0，電容可看做開路。因此根據(jù)替代定理可作出t=0-時(shí)刻的等效電路如圖4-13(a)所示，該圖簡(jiǎn)稱為0-圖。圖4-12例4-4圖運(yùn)用電阻電路的方法求得

(2)用換路定則，求出uC(0+)和iL(0+)，并作出0+時(shí)刻電路的等效電路，通常稱為初始值等效電路，簡(jiǎn)稱0+圖。

由換路定則，得

由于要求的各電流和電壓的初始值是在t=0+時(shí)刻的值，而在t=0+時(shí)刻，各電感電流和電容電壓均為常數(shù)，即為前面求得的iL(0+)=0.2A和uC(0+)=4V。根據(jù)替代定理，電感可以用0.2A電流源替代，電容可以用4V電壓源替代，于是作出t=0+時(shí)刻的等效電路如圖4-13(b)所示。圖4-13例4-4的等效電路(a)t=0-時(shí)的等效電路；(b)t=0+時(shí)的等效電路

(3)由初始值等效電路，求出需求變量的初始值。顯然，初始值等效電路是線性電阻電路，可以運(yùn)用電阻電路的各種分析方法求解：

i1(0+)=iL(0+)=0.2A

u1(0+)=i1(0+)·R1=6V

u2(0+)=u3(0+)=uC(0+)=4V

iC(0+)=iL(0+)-i2(0+)-i3(0+)=-0.1A

uL(0+)=-u1(0+)+uS-uC(0+)=0V

例4-5已知電路如圖4-14所示，開關(guān)S換路前電路已處于穩(wěn)定，當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)打開。求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)、

和。

解

(1)t<0時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)，電感看做短路，電容看做開路。作出t=0-時(shí)刻的等效電路如圖4-15(a)所示，得

uC(0-)=10V圖4-14例4-5圖

(2)由換路定則，得

iL(0+)=iL(0-)=5A

uC(0+)=uC(0-)=10V

作出t=0+時(shí)刻的初始值等效電路如圖4-15(b)所示。圖4-15例4-5的等效電路(a)t=0-時(shí)的等效電路；(b)t=0+時(shí)的等效電路

(3)由初始值等效電路可求得從以上兩個(gè)例題可以看出，在求解初始值時(shí)，首先應(yīng)用替代定理得到t=0-的等效電路求解初始狀態(tài)；然后應(yīng)用換路定則得到uC(0+)和iL(0+)；最后應(yīng)用替代定理得到t=0+時(shí)的初始值等效電路，再利用求解電阻電路的各種方法求解。

4.3一階電路的零輸入響應(yīng)

由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。從電路結(jié)構(gòu)來看，一階電路只包含一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。凡是可以用等效概念化歸為一個(gè)等效動(dòng)態(tài)元件的電路都是一階電路。

對(duì)于任意一階電路，換路后總可以用圖4-16(a)來描述，即一階電路總可以看成一個(gè)有源二端電阻網(wǎng)絡(luò)N外接一個(gè)電容或電感所組成。根據(jù)戴維寧定理和諾頓定理，圖4-16(a)電路總可以簡(jiǎn)化為圖4-16(b)或(c)所示電路。電路在沒有外加激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。因此，零輸入響應(yīng)僅僅是由非零初始狀態(tài)所引起的，也可以說，是由初始時(shí)刻電容的電場(chǎng)儲(chǔ)能或電感的磁場(chǎng)儲(chǔ)能所引起的。

本節(jié)分析一階電路的零輸入響應(yīng)，即分析圖4-16中uOC=0或iSC=0且動(dòng)態(tài)元件初始狀態(tài)不為零時(shí)的響應(yīng)問題。圖4-16一階電路及其等效電路(a)一階電路；(b)戴維寧等效電路；(c)諾頓等效電路4.3.1

RC電路的零輸入響應(yīng)

已知電路如圖4-17所示，在t<0時(shí)，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電容的初始狀態(tài)uC(0-)=U0；當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則uC(0+)=uC(0-)=U0，換路后，R、C形成回路，電容C將通過R放電，從而在電路中引起電壓、電流的變化。由于R是耗能元件，且電路在零輸入條件下得不到能量的補(bǔ)充，電容電壓將逐漸下降，放電電流也將逐漸減小，最后，電容儲(chǔ)能全部被電阻耗盡，電路中的電壓、電流也趨向于零。圖4-17

RC零輸入電路下面進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)分析。

不論是電阻電路還是動(dòng)態(tài)電路，電路中的各支路電流和支路電壓都分別受到兩種約束。對(duì)于圖4-17換路后的電路，可得

uC－uR=0，t>0

(KVL)

uR=Ri

(VCR)

i=及uC(0+)=U0

(VCR)如果需求解電容電壓uC(t)，則從以上三式，可得一階常系數(shù)線性齊次微分方程為

,

t>0(4-25)

uC(0+)=U0(4-26)

由高等數(shù)學(xué)可知，一階齊次微分方程通解形式為

uC(t)=AeSt，t>0

(4-27)其中S為特征方程RCS+1=0的根，因此得

故得

(4-28)

待定常數(shù)A則由初始條件確定。用t=0+代入式(4-28)，得

得A=U0

所以電容電壓的零輸入響應(yīng)為

t>0

它是一個(gè)隨時(shí)間衰減的指數(shù)函數(shù)。注意到在t=0時(shí)，即開關(guān)S動(dòng)作進(jìn)行換路時(shí)uC是連續(xù)的，沒有跳變，表達(dá)式uC的時(shí)間定義域可以延伸至原點(diǎn)，即

,

t≥0(4-29)

其波形如圖4-18(a)所示。圖4-18

RC零輸入電路的電壓、電流波形(a)電壓波形；(b)電流波形求得uC(t)后，根據(jù)電容元件的VCR，可得電流為

,

t>0

電阻電壓為

,

t>0

與電容電壓不同的是，i(t)、uR(t)在t=0處發(fā)生了跳變，其波形如圖4-18(b)所示。比較電壓、電流表達(dá)式可知，RC電路零輸入響應(yīng)各變量具有相同的變化規(guī)律，即都是以各自的初始值為起點(diǎn)，按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減到零。衰減的快慢取決于特征根

的大小。

特征根S1具有頻率的量綱(1/秒)，它的數(shù)值取決于電路的結(jié)構(gòu)和元件值，故S1稱為電路的固有頻率。令

τ=RC

(4-30)

τ具有時(shí)間的量綱，稱為RC電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)R單位為

歐，C單位為法時(shí)，歐·法=

=秒，τ的單位為秒。

顯然，零輸入響應(yīng)衰減的快慢也可用τ來衡量。下面以u(píng)C為例說明時(shí)間常數(shù)τ的意義。

t=0時(shí)，uC(0)=U0；

t=τ時(shí)，uC(τ)=U0e-1=0.368U0；

t=2τ時(shí)，uC(2τ)=U0e-2=0.135U0；

t=3τ時(shí)，uC(3τ)=U0e-3=0.050U0；

t=4τ時(shí)，uC(4τ)=U0e-4=0.018U0；

t=5τ時(shí)，uC(5τ)=U0e-5=0.0067U0。由上述計(jì)算可知，當(dāng)t=τ時(shí)，uC衰減到初始值的36.8％。因此，時(shí)間常數(shù)τ也可以認(rèn)為是電路零輸入響應(yīng)衰減到初始值36.8％所需要的時(shí)間。從理論上講，t→∞時(shí)，uC才能衰減到零。但實(shí)際上，當(dāng)t=4τ時(shí)，uC已衰減為初始值的1.8％，一般可以認(rèn)為零輸入響應(yīng)已基本結(jié)束。工程技術(shù)中時(shí)間常數(shù)一般不會(huì)大于毫秒(ms)數(shù)量級(jí)，故過渡過程常稱為瞬態(tài)過程。通常認(rèn)為經(jīng)過(4~5)τ時(shí)間，動(dòng)態(tài)電路的過渡過程結(jié)束，從而進(jìn)入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。時(shí)間常數(shù)τ在曲線上也有明確的意義。由

,

t≥0

則若取t=0+，得

上式中表示曲線在t=0+處切線的斜率。

從圖4-19中可以找到切線的斜率為，即得切線與橫軸交

點(diǎn)(切距)為τ。圖4-19時(shí)間常數(shù)在曲線上的位置若取t=t0，得

由圖4-19可得，指數(shù)曲線上任意一點(diǎn)uC(t0)的次切距長(zhǎng)度ab也等于τ。

若取t=t0+τ，得

可見時(shí)間常數(shù)τ表示任意時(shí)刻衰減到原來值36.8％所需要的時(shí)間。由上述分析可知，τ是反映一階電路本身特性的重要物理量。τ的大小由R與C的大小決定，R與C越大，其響應(yīng)衰減得越慢。這是因?yàn)樵谝欢ǖ某跏贾登闆r下，C越大，意味著電容儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量越多；而R越大，意味著放電電流越小，衰減越慢，反之衰減得越快。不同τ值的響應(yīng)曲線如圖4-20所示。圖4-20不同t

值的響應(yīng)曲線在整個(gè)放電過程中，電阻R消耗的總能量為

其值恰好等于電容的初始儲(chǔ)能?？梢?，電容的全部?jī)?chǔ)能在放電過程中被電阻耗盡。這符合能量守恒定律。4.3.2

RL電路的零輸入響應(yīng)

已知電路如圖4-21所示，在t<0時(shí)，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電感的初始狀態(tài)iL(0-)=I0；當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則iL(0+)=iL(0-)=I0，電感電流繼續(xù)在換路后的RL回路中流動(dòng)，由于電阻R的耗能，電感電流將逐漸減小。最后，電感儲(chǔ)存的全部能量被電阻耗盡，電路中的電流、電壓也趨向于零。圖4-21

RL零輸入電路對(duì)于圖4-21換路后的電路，由兩類約束關(guān)系，得

uL+uR=0,t>0

(KVL)

uR=RiL (VCR)

uL=及iL(0+)=I0

(VCR)可得一階常系數(shù)線性微分方程為

方程解的形式為

iL(t)=BeSt

t>0

(4-33)

其中S為特征方程S+1=0的根，因此得

待定常數(shù)B由初始條件確定，用t=0+代入式(4-33)，得

得

B=I0于是，可解得電感電流的零輸入響應(yīng)為

由于電感電流在換路瞬間連續(xù)，表達(dá)式的時(shí)間定義可延伸至原點(diǎn)，即

(4-34)

電感電壓為

(4-35)電阻電壓為

(4-36)

與電感電流不同的是，uL(t)、uR(t)在t=0處發(fā)生了跳變，其波形分別如圖4-22(a)、(b)所示。圖4-22

RL零輸入電路的電壓、電流波形(a)電流波形；(b)電壓波形與RC零輸入電路類似，RL零輸入電路各變量也具有相同的變化規(guī)律，即都是以自己的初始值為起點(diǎn)，按同樣的指數(shù)規(guī)

律衰減到零。衰減的快慢取決于固有頻率

。令

(4-37)稱為RL電路的時(shí)間常數(shù)，當(dāng)L單位為亨，R單位為歐時(shí)，τ的單位為秒。顯然，零輸入響應(yīng)的衰減快慢也可用τ來衡量。τ越大，衰減得越慢。這是因?yàn)樵谝欢ǖ某跏贾登闆r下，L越大，電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量越多，而R越小，消耗能量越少，電流下降越慢，反之，則衰減得越快。在整個(gè)放電過程中，電阻R消耗的總能量為

這是符合能量守恒定律的。

RL電路時(shí)間常數(shù)τ的其他描述完全類似于RC電路的情況。4.3.3一階電路零輸入響應(yīng)解的一般公式

電路的零輸入響應(yīng)是輸入為零且僅由電路非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，它的變化規(guī)律取決于電路本身的特性(電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù))，與外界的激勵(lì)無關(guān)。所以，零輸入響應(yīng)又稱為電路的自然響應(yīng)或固有響應(yīng)。盡管一階電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可以千差萬別，從前面RC、RL零輸入電路分析中可以看出，零

輸入響應(yīng)均是以其初始值為起點(diǎn)按指數(shù)的規(guī)律衰減至

零。故零輸入響應(yīng)的變化形式均可以表示為

(4-38)

式中，rzi(t)為一階電路任意需求的零輸入響應(yīng)；初始值rzi(0+)反映了電路初始狀態(tài)的影響；時(shí)間常數(shù)τ則體現(xiàn)了電路的固有特征。

由式(4-38)可知，只要確定rzi(0+)和τ，無須列寫和求解電路的微分方程，就可寫出要求的零輸入響應(yīng)表達(dá)式。在零輸入電路中，初始狀態(tài)可認(rèn)為是電路的內(nèi)激勵(lì)。從式(4-29)、式(4-34)~式(4-36)等可見，電路初始狀態(tài)(U0或I0)增大

K倍，則由此引起的零輸入響應(yīng)也相應(yīng)地增大K倍。這種初始狀態(tài)和零輸入響應(yīng)間的線性關(guān)系稱為零輸入線性，它是線性電路激勵(lì)與響應(yīng)線性關(guān)系的必然反映。

例4-6電路如圖4-23(a)所示，已知R1=4Ω，R2=8Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，uC(0-)=6V，t=0時(shí)開關(guān)閉合。試求開關(guān)閉合時(shí)后的uC(t)和uab(t)。

解

(1)t=0+時(shí)由換路定則得

uC(0+)=uC(0-)=6V

作出t=0+時(shí)刻的初始值等效電路如圖4-23(b)所示。

圖4-23例4-6圖(a)原電路；(b)t=0+時(shí)刻的初始值等效電路

(2)先求出cd端右邊網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，再求時(shí)間常數(shù)。

τ=RcdC=3×1=3s

(3)代入式(4-38)，得

4.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)即零初始狀態(tài)響應(yīng)，是電路僅由外激勵(lì)引起的響應(yīng)。本節(jié)只討論一階電路在恒定激勵(lì)(直流)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，且主要研究動(dòng)態(tài)元件電壓和電流的變化規(guī)律。4.4.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知電路如圖4-24所示，當(dāng)t<0時(shí)，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電容的初始狀態(tài)uC(0-)=0；當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則，uC(0+)=uC(0-)=0，t=0+時(shí)刻電容相當(dāng)于短路，由t=0+時(shí)刻的等效電路可看出，電源電壓US全部施加于電阻R兩端，此時(shí)刻電流達(dá)到最大值，i(0+)=。隨著充電的進(jìn)行，電容電壓逐漸升高，充電電流逐漸減小，直到uC=US，i=0，充電過程結(jié)束，電容相當(dāng)于開路，電路進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。圖4-24

RC零狀態(tài)電路下面進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)分析。

對(duì)于圖4-24換路后的電路，由KVL可得

uR+uC=US，t>0

把元件伏安關(guān)系uR=Ri，代入上式，得一階常系數(shù)線

性非齊次微分方程為

(4-39)

uC(0+)=0(4-40)由高等數(shù)學(xué)可知，該微分方程的完全解由相應(yīng)的齊次方程的通解uCh和非齊次方程的特解uCp兩部分組成，即

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

式(4-39)微分方程的齊次方程與式(4-25)相同，通解為

(4-41)

非齊次方程的特解由外激勵(lì)強(qiáng)制建立，通常與外激勵(lì)有相同的函數(shù)形式。當(dāng)激勵(lì)為直流時(shí)，其特解為常量，設(shè)

uCh(t)=K代入式(4-39)得

解得

K=US

故特解為

uCh(t)=US于是式(4-39)的完全解為

(4-42)

式中待定常數(shù)A由初始條件確定。用t=0+代入式(4-42)，得

得

A=－US于是得電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為

(4-43)

式中τ=RC

為電路的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)t=τ

時(shí)，得可見，在充電過程中，電容電壓由零隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，經(jīng)過時(shí)間τ電容電壓達(dá)0.632US，最后趨于穩(wěn)定值US，其波形如圖4-25(a)所示。從理論上講，t→∞時(shí)，uC才能充電到US，但在工程上，通常認(rèn)為經(jīng)過(4～6)τ時(shí)間，電路充電過程結(jié)束，從而進(jìn)入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。顯然，τ的大小決定過渡過程的長(zhǎng)短，τ越大，過渡過程越長(zhǎng)，反之則越短。圖4-25

RC零狀態(tài)電路uC(t)和i(t)的波形(a)uC(t)的波形；(b)i(t)的波形充電電流可根據(jù)電容的VCR求得

(4-44)

其波形如圖4-25(b)所示。在整個(gè)充電過程中，電阻R消耗的總能量為

wR與充電結(jié)束時(shí)電容所存儲(chǔ)的電場(chǎng)能量相同。可見，不論電阻R和電容C為何值，充電效率僅為50％。4.4.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知電路如圖4-26所示，t<0，開關(guān)S閉合，電路已經(jīng)穩(wěn)定，即電感的初始狀態(tài)iL(0-)=0。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S打開，根據(jù)換路定則，iL(0+)=iL(0-)=0。對(duì)于圖4-26換路后的電路，由KCL可得

iR+iL=IS，t>0

圖4-26

RL零狀態(tài)電路

把元件伏安關(guān)系，代入上式，得一階

常系數(shù)線性非齊次微分方程為

(4-45)

iL(0+)=0

(4-46)類似RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程，可知

iL(t)=iLh(t)+iLp(t)

其中

設(shè)

iLp(t)=K

代入式(4-45)得

K=IS

于是式(4-45)的完全解為

(4-47)

式中待定常數(shù)B由初始條件確定，用t=0+代入式(4-47)，得

得

B=－IS

于是電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為

(4-48)

式中τ=L/R為電路的時(shí)間常數(shù)。

(4-49)

RL零狀態(tài)電路的波形如圖4-27所示。

RL零狀態(tài)電路的有關(guān)其它分析與RC零狀態(tài)電路完全類似，這里不再贅述。圖4-27

RL零狀態(tài)電路iL(t)和u(t)的波形(a)iL(t)的波形；(b)u(t)的波形4.4.3一階電路電容電壓、電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的一般公式

恒定激勵(lì)下零狀態(tài)電路的過渡過程實(shí)質(zhì)上是動(dòng)態(tài)元件的儲(chǔ)能由零逐漸增長(zhǎng)到某一定值的過程。因此，盡管一階電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可以千差萬別，但電路中表征電容或電感儲(chǔ)能狀態(tài)的變量uC或iL卻都是從零值按指數(shù)規(guī)律逐漸增長(zhǎng)至穩(wěn)態(tài)值。此穩(wěn)態(tài)值可以根據(jù)電容相當(dāng)于開路、電感相當(dāng)于短路的等效電路來求取，此電路稱為終值電路。可見，一階零狀態(tài)電路的電容電壓或電感電流可分別表示為

(4-50)

(4-51)

式中，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、iL(∞)簡(jiǎn)稱為終值，可以從終值電路中求??；電路的時(shí)間常數(shù)τ=RC

或τ=L/R，其中R為動(dòng)態(tài)元件所接電阻網(wǎng)絡(luò)戴維寧等效電路的等效電阻。

由式(4-50)和式(4-51)可知，只要確定了uC(∞)或iL(∞)和τ，無須列寫和求解電路的微分方程，就可寫出電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式。求得uCzs(t)或iLzs(t)后，在求解其它支路的電壓和電流時(shí)，可以根據(jù)替代定理用電壓源uCzs(t)去替代電容，用電流源iLzs(t)去替代電感，使原電路變成一個(gè)電阻電路，然后運(yùn)用電阻電路的分析方法求解或元件的VCR去求解。

由式(4-43)、式(4-44)、式(4-48)和式(4-49)可見，激勵(lì)(US或IS)增大K倍，零狀態(tài)響應(yīng)也相應(yīng)增大K倍。若電路有多個(gè)激勵(lì)，則響應(yīng)是每個(gè)激勵(lì)分別作用時(shí)產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。這種關(guān)系稱為零狀態(tài)線性，它是線性電路中齊次性和可加性在零狀態(tài)電路中的反映。

例4-7已知電路如圖4-28(a)所示，電路原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合。試求t>0時(shí)的iL(t)和u(t)。

解

(1)t<0時(shí)，電感無電流，iL(0-)=0，為零狀態(tài)電路。由換路定則，iL(0+)=iL(0-)=0。

(2)t→∞時(shí)，電感相當(dāng)于短路，畫出終值電路如圖4-28(b)所示，解得

(3)計(jì)算時(shí)間常數(shù)τ。由圖4-28(a)，電感所接電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為

R=3+6∥6=6Ω

(4)將τ代入式(4-51)，得

iL(t)=0.5(1-e-3t)，t≥0

(5)用電流源iL(t)去替代電感，得圖4-28(c)。由此，根據(jù)疊加定理可得圖4-28例4-7圖

4.5一階電路的全響應(yīng)

上兩節(jié)分別討論了只有非零初始狀態(tài)和只有外激勵(lì)作用時(shí)一階電路的響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)將討論非零初始狀態(tài)和外激勵(lì)(仍限于直流電流)共同作用時(shí)的一階電路的響應(yīng)，這種響應(yīng)稱為全響應(yīng)。從電路換路后的能量來源可以推論：電路的全響應(yīng)必然是其零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。下面以RC電路為例進(jìn)行分析。

如圖4-29所示，已知開關(guān)S未閉合前，電容初始狀態(tài)uC(0-)

=U0；t=0時(shí)，開關(guān)S閉合，電路與直流電壓US接通。圖4-29

RC全響應(yīng)電路以電容電壓為響應(yīng)變量在圖示參考方向下，可得電路全響應(yīng)的微分方程為

(4-52)

uC(0+)=U0

(4-53)

與式(4-39)、式(4-40)的零狀態(tài)方程相比較，差別僅為初始條件不同。故有

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

式中，uCh(t)=，uCh(t)=US，于是

(4-54)

式中待定常數(shù)A由初始條件確定。用t=0+代入式(4-54)，得

uC(0+)=A+US=U0

得

A=U0－US于是，電容電壓的全響應(yīng)為

(4-55)在全響應(yīng)式(4-55)中，第一項(xiàng)(即齊次解)的函數(shù)形式由特征根確定，而與激勵(lì)的函數(shù)形式無關(guān)(它的系數(shù)與激勵(lì)有關(guān))，稱為固有響應(yīng)或自然響應(yīng)；第二項(xiàng)(即特解)與激勵(lì)具有相同的函數(shù)形式，稱為強(qiáng)制響應(yīng)?？梢?，按電路的響應(yīng)形式，全響應(yīng)可分解為

全響應(yīng)=固有響應(yīng)(自然響應(yīng))+強(qiáng)制響應(yīng)

圖4-30分別畫出了U0<US和U0>US兩種情況下uC(t)及各個(gè)分量的波形。圖4-30

RC全響應(yīng)電壓uC(t)及各個(gè)分量波形由圖可知，U0<US時(shí)，電容充電；U0>US時(shí)，電容放電；U0=US時(shí)，電路換路后立即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)?？梢娭挥须娐烦跏贾岛徒K值不同時(shí)，才會(huì)有過渡過程。

在全響應(yīng)式(4-55)中，第一項(xiàng)按指數(shù)規(guī)律衰減，當(dāng)t→∞時(shí)，該分量將衰減至零，故又稱為電路的暫態(tài)響應(yīng)；第二項(xiàng)在任何時(shí)刻都保持穩(wěn)定，故又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它是t趨近于無窮大，暫態(tài)響應(yīng)衰減為零時(shí)的電路響應(yīng)。因此，按電路的響應(yīng)特性，全響應(yīng)可分解為

全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將式(4-55)重新整理，可表示為

(4-56)式中，第一項(xiàng)是外激勵(lì)US=0時(shí)，由初始狀態(tài)uC(0-)=U0產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)是初始狀態(tài)uC(0-)=0時(shí)，由外激勵(lì)US產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。式(4-56)說明動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)符合線性的疊加定理，即

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

在換路后激勵(lì)恒定且R>0的情況下，一階電路的固有響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)制響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

4.6一階電路的三要素法

前面幾節(jié)分析了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，并指出全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。本節(jié)介紹的三要素法是一種能直接計(jì)算一階電路的簡(jiǎn)便方法，它可用于求解任一變量的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。4.6.1三要素公式

在線性非時(shí)變一階電路中，設(shè)t=0時(shí)換路。換路后電路任一響應(yīng)與激勵(lì)之間的關(guān)系均可用一個(gè)一階常系數(shù)線性微分方程來描述，其一般形式為

(4-57)

其中，r(t)為電路的任一響應(yīng)；w(t)是與外激勵(lì)有關(guān)的時(shí)間t的函數(shù)；a、b為實(shí)常數(shù)。響應(yīng)r(t)的完全解為該微分方程相應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程特解之和，即響應(yīng)r(t)為

r(t)=rh(t)+rp(t)，t>0

(4-58)

其中rh(t)=，rp(t)的形式由外激勵(lì)決定。得

(4-59)

設(shè)響應(yīng)的初始值為r(0+)，將t=0+代入式(4-59)，得

r(0+)=A+rp(0+)

得

A=r(0+)－rp(0+)

(4-60)將式(4-60)代入式(4-59)，得

(4-61)

式(4-61)為求取一階電路任意激勵(lì)下任一響應(yīng)的公式，式中rp(0+)為非齊次方程特解或強(qiáng)制響應(yīng)在t=0+時(shí)的值。換路后在恒定激勵(lì)作用下，式(4-61)中非齊次方程特解rp(t)為常數(shù)，即為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值r(∞)。顯然有rp(t)=r(∞)=rp(0+)，故式(4-61)可表示為

(4-62)

式中，r(0+)、r(∞)和τ分別代表響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值(也稱終值)和時(shí)間常數(shù)，稱為恒定激勵(lì)下一階電路響應(yīng)的三要素。式(4-62)表明，恒定激勵(lì)下一階電路任一響應(yīng)由三要素確定，只要求出這三個(gè)要素，就能確定響應(yīng)的表達(dá)式，而不用求解微分方程。這種直接根據(jù)式(4-62)求解恒定激勵(lì)下一階電路響應(yīng)的方法稱為三要素法，式(4-62)相應(yīng)地稱為三要素公式。三要素公式適用于計(jì)算恒定激勵(lì)下一階電路任意支路的電流或任意兩端的電壓，而且不僅適用于計(jì)算全響應(yīng)，同樣也適用于求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。4.6.2三要素法的計(jì)算步驟

三要素法可按下列步驟進(jìn)行，其中三要素的求法在前面已作了討論，這里統(tǒng)一歸納說明。

(1)設(shè)換路時(shí)刻t=0，且換路前電路已穩(wěn)定。此時(shí)，

＝0，即iC=0，或=0，即uL=0。因此，將電容元

件視做開路，將電感元件視做短路，畫出t=0-時(shí)刻的等效電路，用電阻電路方法求出初始狀態(tài)uC(0-)或iL(0-)。然后根據(jù)換路定則，求得uC(0+)=uC(0-)或iL(0+)=iL(0-)。接著，將電容元件用電壓為uC(0+)的直流電壓源替代，電感元件用電流為iL(0+)的直流電流源替代，得出t=0+時(shí)刻的初始值等效電路，用電阻電路分析方法求出任一所需求的初始值r(0+)。

(2)電路在t→∞時(shí)達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，將電容元件視做開路，將電感元件視做短路，這樣可作出穩(wěn)態(tài)電路，求得任一變量的穩(wěn)態(tài)值r(∞)。

(3)將換路后電路中的動(dòng)態(tài)元件(電容或電感)從電路中取出，求出剩余電路的戴維寧(或諾頓)等效電路的電阻R0，也就是說R0等于電路中獨(dú)立源置零時(shí)從動(dòng)態(tài)元件兩端看進(jìn)去的等效電阻。對(duì)于RC電路，τ=R0C；對(duì)于RL電路，τ=L/R0。

(4)將初始值r(0+)、穩(wěn)態(tài)值r(∞)和時(shí)間常數(shù)τ代入三要素公式(4-62)，寫出響應(yīng)r(t)的表達(dá)式，這里r(t)泛指任一電壓或電流。

例4-8已知電路如圖4-31(a)所示，t=0時(shí)開關(guān)S由1倒向2，開關(guān)換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定。試求t>0時(shí)的響應(yīng)i(t)，并畫出其波形。

解

(1)求取i(0+)。首先求取iL(0-)，已知開關(guān)S換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定，則電感相當(dāng)于短路，得t=0-等效電路，如圖4-31(b)所示，得

iL(0-)=2A

圖4-31例4-8圖(a)原圖；(b)t=0-等效電路；(c)t=0+等效電路；(d)t→∞等效電路；(e)R0的求?。?f)i(t)波形然后應(yīng)用換路定則，iL(0+)=iL(0-)=2A，畫出換路后t=0+等效電路，如圖4-31(c)所示，由疊加定理得

(2)求取i(∞)。t→∞時(shí)，電路達(dá)到新的穩(wěn)定，電感相當(dāng)于短路，得t→∞等效電路如圖4-31(d)所示，得

i(∞)=1A

(3)求取τ。動(dòng)態(tài)元件所接電阻電路如圖4-31(e)所示，得

R0=4∥12=3Ω

(4)將三要素代入式(4-62)，得

i(t)=1+［1.75-1］e-10t=1+0.75e-10t，t>0

其波形圖如圖4-31(f)所示。

例4-