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第6講新知識應(yīng)用方法探究【思想概述】在近幾年高考數(shù)學(xué)命題中,“新定義、新情境”問題越來越受到關(guān)注和重視.所謂“新定義、新情境”問題,是指在高中教材中不曾出現(xiàn)過的概念、定義、情境.它的一般形式是:由命題者先給出一個新的概念、新的運(yùn)算法則,或者給出一個抽象函數(shù)的性質(zhì)等,然后讓學(xué)生按照這種“新定義、新情境”去解決相關(guān)的問題.“新定義、新情境”問題的題型較為新穎,所包含的信息豐富,能較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.下列幾種解題的思路與方法,為我們在宏觀上把握這類題型提供了思維方向.應(yīng)用一新定義問題例1(2024山西臨汾二模)在計算機(jī)科學(xué)中,n維數(shù)組X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n是一種基礎(chǔ)而重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),它在各種編程語言中被廣泛使用.對于n維數(shù)組A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn),定義A與B的差為A-B=(|a1-b1|,|a2-b2|,…,|an-bn|),A與B之間的距離為d(A,B)=(1)若n維數(shù)組O=(0,0,…,0),證明:d(A,O)+d(B,O)≥d(A,B);(2)證明:對任意的數(shù)組A,B,C,有d(A-C,B-C)=d(A,B);(3)設(shè)集合P中有m(m≥2)個n維數(shù)組,記P中所有兩元素間的距離的平均值為證明
(1)設(shè)A與B的對應(yīng)項中同時為0的有x(0≤x≤n)個,同時為1的有y(0≤y≤n-x)個,則對應(yīng)項不同的有n-x-y個,所以d(A,B)=n-x-y.所以d(A,O)+d(B,O)=2y+(n-x-y)≥n-x-y=d(A,B).應(yīng)用二新情境問題例2(2024河北保定二模)三等分角是古希臘幾何尺規(guī)作圖的三大問題之一,如今數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明三等分任意角是尺規(guī)作圖的不可能問題,如果不局限于尺規(guī),三等分任意角是可能的.下面是一種三等分角的方法:已知角α(0<α<π)的頂點(diǎn)為A,在α的兩邊上截取|AB|=|AC|,連接BC,在線段BC上取一點(diǎn)O,使得|BO|=2|CO|,記BO的中點(diǎn)為D,以O(shè)為中心,C,D為頂點(diǎn)作離心率為2的雙曲線M,以A為圓心,AB為半徑作圓,與雙曲線M左支交于點(diǎn)E(射線AE在∠BAC內(nèi)部).在上述作法中,以O(shè)為原點(diǎn),直線BC為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,若B(-2,0),點(diǎn)A在x軸的上方.
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