2025屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題4立體幾何專項突破4突破2立體幾何中的翻折問題探究性問題課件

突破2立體幾何中的翻折問題、探究性問題考點(diǎn)一翻折問題例1(2024浙江金華模擬)如圖,在等腰梯形ABCD'中,AB∥CD',AB=BC=2,∠ABC=120°,E,F,G分別為D'C,AE,BC的中點(diǎn),將△D'AE繞AE翻折至△DAE的位置,H為CD的中點(diǎn).(1)求證:DF∥平面HGE;(2)當(dāng)平面DAE垂直于平面ABCD'時,求平面DAE與平面HGE的夾角的余弦值.(1)證明

如圖,在等腰梯形ABCD'中,∵AB∥CD',∠ABC=120°,∴∠BAD'=120°,∠AD'E=∠BCD'=60°.連接BD'.∵AB=AD',∠BAD'=120°,∴∠ABD'=∠AD'B=30°.又∠ABC=120°,∴∠D'BC=90°.又∠BCD'=60°,BC=2,∴CD'=4,∴D'E=2.又∠AD'E=60°,∴△AD'E為等邊三角形,且BD'為∠AD'E的角平分線,∴BD'與AE的交點(diǎn)即為點(diǎn)F,且D'F⊥AE.∵點(diǎn)E為CD'的中點(diǎn),點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),∴BF∥EG.連接CF,交EG于點(diǎn)M,連接HM,易證△EMF≌△GMC,∴點(diǎn)M為CF的中點(diǎn),∴HM為△CDF的中位線,∴DF∥HM.又HM?平面HGE,DF?平面HGE,∴DF∥平面HGE.(2)解

∵平面DAE⊥平面ABC,平面DAE∩平面ABCD'=AE,DF⊥AE,DF?平面DAE,∴DF⊥平面ABCD'.又AE⊥BD',∴DF,AF,BF兩兩垂直.以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以FA,FB,FD所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,[對點(diǎn)訓(xùn)練1](2024湖南株洲模擬)由正方形ABCD、等邊三角形ABE和等邊三角形BCF組成的一個平面圖形如圖所示,其中AB=6,將其沿AB,BC,AC折起得三棱錐P-ABC.(1)求證:平面PAC⊥平面ABC;(2)過棱AC作平面ACM交棱PB于點(diǎn)M,且三棱錐P-ACM和B-ACM的體積比為1∶2,求直線AM與平面PBC所成的角的正弦值.(1)證明

如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接BO,PO.由題可知△APC是等腰直角三角形,AP=6,∴PO⊥AC,且PO=3.同理OB=3.又PB=6,∴PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB.∵AC∩OB=O,AC,OB?平面ABC,∴PO⊥平面ABC.又PO?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.令x=1,則y=z=-1,∴平面PBC的一個法向量為n=(1,-1,-1).設(shè)直線AM與平面PBC所成的角為θ,考點(diǎn)二空間中的探究性問題(多考向探究預(yù)測)考向1與位置關(guān)系有關(guān)的探究性問題例2(2024浙江紹興模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,底面△ABC是邊長為2的正三角形,PA=PC=4.(1)求證:PB⊥AC;(2)若平面PAC⊥平面ABC,在線段PB(包含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PAB⊥平面ACE?若存在,求出PE的長;若不存在,請說明理由.(1)證明

如圖,取AC的中點(diǎn)O,連接OP,OB.因為△ABC是正三角形,所以O(shè)B⊥AC.因為PA=PC,所以O(shè)P⊥AC.又OB∩OP=O,OB,OP?平面OPB,所以AC⊥平面OPB.又PB?平面OPB,所以PB⊥AC.(2)解

存在.由(1)可知OP⊥AC,OB⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP?平面PAC,所以O(shè)P⊥平面ABC.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如考向2與空間角有關(guān)的探究性問題例3(2024廣東廣州二模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1是菱形,且與平面A1BC垂直,BC⊥AC,AA1=A1C=4,BC=2.(1)證明:BC⊥平面ACC1A1;(2)棱CC1上是否存在一點(diǎn)D,使得直線A1D與平面ABB1A1所成的角為30°?若存在,請確定點(diǎn)D的位置;若不存在,請說明理由.(1)證明

如圖,連接CA1與C1A.因為四邊形ACC1A1為菱形,所以C1A⊥CA1.又平面ACC1A1⊥平面A1BC,平面ACC1A1∩平面A1BC=CA1,AC1?平面ACC1A1,所以AC1⊥平面A1BC.又BC?平面A1BC,所以AC1⊥BC.又BC⊥AC,AC1∩AC=A,AC1,AC?平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解

存在.由(1)知BC⊥平面ACC1A1,BC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACC1A1.因為AA1=A1C=AC=4,所以三角形AA1C為等邊三角形.取AC中點(diǎn)為O,連接A1O,則A1O⊥AC.又A1O?平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以A1O⊥平面ABC.取AB中點(diǎn)為E,連接OE,則OE∥BC.因為BC⊥AC,所以O(shè)E⊥AC.[對點(diǎn)訓(xùn)練2](2024遼寧沈陽模擬)如圖,在幾何體ABCDFE中,四邊形ABCD為菱形,四邊形DBEF為梯形,BE∥DF,DF=2BD=2BE=4,且AE=CE.(1)求證:平面DBEF⊥平面ABCD;(2)當(dāng)∠EBD=60°時,平面AEF與平面CEF能否垂直?若能,求出菱形ABCD的邊長;若不能,請說明理由.(1)證明

如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OE.因為四邊形ABCD為菱形,所以AO=OC,AC⊥BD.又因為AE=CE,所以AC⊥OE.又因為BD,OE?平面DBEF,BD∩OE=O,所以AC⊥平面DBEF.又因為AC?平面ABCD,所以平面DBEF⊥平面ABCD.(2)解

能垂直.由題可知BE=2,OB=1,∠EBD=60°,所以BE2=OB2+OE2,所以O(shè)E⊥BD.又因為AC⊥平面DBEF,OE,BD?平面DBEF,所以O(shè)E,BD,AC兩兩垂直.以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)證明

如圖,連接OD,OC,DC,OE.因為點(diǎn)E是PA的中點(diǎn),點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PB.又BP∩BC=B,BP,BC?平面PBC,OE∩OD=O,OE,OD?平面ODE,所以平面ODE∥平面PBC.又DE?平面ODE,所以DE∥平面PBC.(2)解

存在.