2024-2025學(xué)年山西省晉城市高二上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山西省晉城市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，則該雙曲線的離心率為（）A．B．2C．D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)積,則的值為（）A．9B．5CD．3．在中，內(nèi)角,所對(duì)的邊分別為,若.則角的大小為（）A．B．C．或D．4．已知圓柱的底面半徑為，高為，如圖，矩形是圓柱的軸截面，點(diǎn)是圓柱下底面圓上一點(diǎn)，且滿足，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn),且與軸的正半軸交于點(diǎn),若滿足的點(diǎn)恰好在構(gòu)圓上，則圖的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A．B．C．D．6．定義行列式，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則（）A． B．0 C．1 D．27．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A．B．C．D．8．已知函數(shù)若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圖是（）A．B．C．D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線：，圓：的半徑為2，點(diǎn)在圓上，則下列說法正確的是（）A．B．直線與圓相離C．過圓心且與直線垂直的直線方程為D．到直線的距離等于的點(diǎn)只有1個(gè)10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則B．滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則PM的最小值為D．若點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，且，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知首項(xiàng)為2的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為.13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為若雙曲線的左支上一點(diǎn)滿足.以為圓心的圓與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn),且,則雙曲線的漸近線方程為_________.14．已知在平面內(nèi)，點(diǎn)Px0,y0到直線的距離.此公式可推廣到空間內(nèi)，為求解點(diǎn)到平面的距離多添了一種方法.現(xiàn)在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面的一般方程為，則點(diǎn)到平面的距離.如圖，底面邊長(zhǎng)與高都為2的正四棱錐中，點(diǎn)到側(cè)面的距離等于.（備注：不在同一條直線上的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面）四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上.(1)求拋物線的方程；(2)若是拋物線上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過線段AF的中點(diǎn)向軸引垂線，垂足為點(diǎn)，且，求四邊形的面積.16．如圖，三棱柱中，，，，，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.17．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為離心率,如圖，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)與左右焦點(diǎn)國成的陰影部分的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).求面積的最大值，18．已知數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式分別是點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，即點(diǎn)，且滿足.(1)若數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且是和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；(2)若，設(shè)過兩點(diǎn)，的直線在軸上的截距為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．幾何學(xué)伴隨著人類文明而產(chǎn)生，對(duì)人類文明進(jìn)步作出了不可磨滅的貢獻(xiàn).在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，幾何學(xué)與代數(shù)、分析、數(shù)論等多個(gè)方向關(guān)系極為密切，幾何的思想成為了數(shù)學(xué)最重要的思想之一，幾何對(duì)物理、化學(xué)、生物、工程等各個(gè)領(lǐng)域也有著極其重要的作用.目前，幾何學(xué)大致包含了歐式幾何、射影幾何、解析幾何等幾類不同思路的研究方法.其中，射影幾何學(xué)中的極點(diǎn)與極線理論對(duì)于研究圓錐曲線提供了新的思考方式.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是坐標(biāo)原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為.已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，對(duì)于橢圓，極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在極線上任取一點(diǎn)，設(shè)直線MQ，NQ，PQ的斜率分別為，，（，，均存在）.(1)求極線的方程；(2)求證.

答案1．【正確答案】D由題意得，雙曲線的漸近線方程為.由點(diǎn)在一條漸近線上，得,所以,所以該雙曲線的離心率故選：D.2．【正確答案】C因?yàn)榍绊?xiàng)積,所以,當(dāng)時(shí)，,所以,兩式相除，得,所以.故選.3．【正確答案】B由余弦定理，可得,所以.由正弦定理，可得,則,又,故.故選：B.4．【正確答案】A【詳解】連接，∵為底面圓的直徑，∴，∵，∴，∴點(diǎn)為中點(diǎn)，即如圖：在圓柱中可得，，∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)直線與的夾角為，則.故選：A.5．【正確答案】D由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為取橢圓的右焦點(diǎn)為,則,連接,由橢圓定義可知又所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】由題意可得，.由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以原式.故選：A.7．【正確答案】A由題意得,直線的斜率一定存在，所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立得,設(shè)則,由,可得,所以,所以,所以.所以的面積為8．【正確答案】C,令,顯然且是上的增函數(shù).由題可得對(duì)恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立令,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí),所以.故選.9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑，由圓的半徑為2，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€方程為，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)橹本€垂直的直線斜率為，則過圓心且與直線垂直的直線方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閳A心到直線的距離，由，所以到直線的距離等于的點(diǎn)只有1個(gè)，故D正確.故選：BD.10．【正確答案】ABD【詳解】A，因?yàn)椋院瘮?shù)的最大值為，故A正確；B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；C，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是先減后增，故C錯(cuò)誤；D，將函數(shù)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得到的圖象，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題意得，，，四邊形是矩形，則，在中，，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，在中，，，由余弦定理可得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以AB為直徑的半圓，半徑長(zhǎng)為1，則軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是以，分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為的橢圓，是橢圓的中心，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的最小值為短半軸長(zhǎng)，由，，得短半軸長(zhǎng)為，則PM的最小值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，又，則，則，所以，解得，故D正確.故選：ACD.12．【正確答案】70【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列的首項(xiàng)為，故，所以，故數(shù)列的前5項(xiàng)和為.故7013．【正確答案】由正弦定理，可知又由雙曲線定義，可知解得又,所以為的靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以因?yàn)橐詾閳A心的圓與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn),所以,所以又在中，所以,.所以得,則,故雙曲線的漸近線方程為14．【正確答案】/【詳解】如圖，以底面的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面PAB的一般方程為，因?yàn)椴辉谕粭l直線上的任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，所以將坐標(biāo)代入，得解得，，，由題知不全為0，所以，所以，即，所以點(diǎn)到側(cè)面PAB的距離.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€：過點(diǎn)，所以，，則拋物線方程為.（2）由題可得，設(shè)Ax0,y0，則，，所以，.因?yàn)?，所以，解得或（舍），故，，?又點(diǎn)，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以四邊形的面積為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，由余弦定理，可得，則，化簡(jiǎn)得，解得，則有，所以，又，平面ABC，所以平面ABC，又平面ABC，所以，又，，平面，平面，所以平面.（2）由（1）易知，AC，BC兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為n1=則，可得，所以，令，則，，設(shè)平面的法向量為，則,可得,令，則，，故，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】見詳解【詳解】解：(1)由題意，得,則.又陰影部分的面積為得,即,所以,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)則①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即,因?yàn)橐詾橹睆降膱A過坐標(biāo)原點(diǎn),所以,則,即,得,又在橢圓上，所以,解得所以②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為.由消得則,因?yàn)橐詾橹睆降膱A過坐標(biāo)原點(diǎn),所以,則,即,故x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)4m2-124k2+3+km(-43)+m,即,整理得又故又到直線的距離,所以當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí)，等號(hào)成立，即.又,所以面積的最大值為.15分18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，則，①又因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，即，整理得，②由①②解得，所以，又因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故數(shù)列的前10項(xiàng)和為.（2）由，得，則點(diǎn)，點(diǎn).