2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省成都市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知空間向量，，若，則（

）A．2 B．-2 C．0 D．43．過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．4．已知兩點(diǎn)，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．《九章算術(shù)》是我國(guó)東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，在第五卷《商功》中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．已知在塹堵中，，，則（

）A． B．1 C． D．6．“直線與平行”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．208．如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．4,+∞ C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．對(duì)于任意兩個(gè)事件A和B，都有B．扔兩枚相同的硬幣，恰好一正一反的概率為C．甲、乙、丙三種個(gè)體按1：2：3的比例分層抽樣，如果抽取的乙個(gè)體數(shù)為6，則樣本容量為18D．若一組數(shù)據(jù)的方差為16，則另一組數(shù)據(jù)的方差為410．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1D．圓C與圓恰有三條公切線11．已知四面體的所有棱長(zhǎng)都為1，分別是的中點(diǎn)，是該四面體內(nèi)切球球面上的兩點(diǎn)，是該四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．的長(zhǎng)為B．到平面的距離為C．直線與直線所成角的余弦值為D．當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間向量，則在方向上投影向量的坐標(biāo)為.13．已知盒子中有大小、形狀都相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，每次從中取一個(gè)球，取到紅球記1分，取到白球記2分.如果有放回的抽取2次，則“2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分”的概率是.14．已知方程：，，當(dāng)時(shí)，該方程表示的曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為C，則曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離為；若，過點(diǎn)作該方程表示的面積最小的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在的直線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知頂點(diǎn)、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．17．從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人．(1)求第七組的頻率；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這50名男生身高的第85百分位數(shù)（精確到0.1）；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，事件，求．18．已知圓，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若，求圓過點(diǎn)的切線方程；(2)若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值；(3)若圓上存在點(diǎn)，滿足，求的取值范圍.19．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，這點(diǎn)且以為方向向量的直線方程可表示為，過點(diǎn)且以為法向量的平面方程可表示為．(1)已知直線的方程為，直線的方程為．請(qǐng)分別寫出直線和直線的一個(gè)方向向量．(2)若直線與都在平面內(nèi)，求平面的方程；(3)若集合中所有的點(diǎn)構(gòu)成了多面體Ω的各個(gè)面，求Ω的體積和相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值．

答案1．【正確答案】D【詳解】直線的斜率為，故傾斜角為.故選：D.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則，由可得：，解得：，則.故選：C.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)與，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，所以圓的方程為.故選：A4．【正確答案】C【詳解】由圖象結(jié)合題意可知：，觀察到直線過點(diǎn)與線段有公共點(diǎn)時(shí)傾斜角為鈍角時(shí)逐漸增大，斜率大于或等于直線的斜率；為銳角時(shí)傾斜角逐漸減小，斜率小于或等于直線的斜率；所以直線的斜率的取值范圍是．5．【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系后計(jì)算即可得.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，∴，，.故選：B．6．【正確答案】B【分析】根據(jù)兩條直線平行，對(duì)應(yīng)方程系數(shù)的關(guān)系求解，分兩個(gè)方面判斷即可．【詳解】若直線與平行，易得:，故：，則得不到，故不是充分條件；反之，當(dāng)時(shí)成立，故直線與平行，是必要條件；故“直線與平行”是“”的必要不充分條件，故選：B．7．【正確答案】C【詳解】整理圓的方程得，可知圓心坐標(biāo)為由題意可知：直線過圓心，即，可得，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為16.故選：C.8．【正確答案】B【分析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合斜率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，又，直線的方程為，設(shè)，則，解得，所以，同理可得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，所以直線：，又直線方程為：，所以，所以直線方程為：，即，由，得，所以，又易得方程為：，所以，所以.故選：B本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)、兩直線的交點(diǎn)的問題，涉及到入射光線、反射光線，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道有一定難度的題.9．【正確答案】CD【詳解】A選項(xiàng)：只有事件A和B是互斥事件時(shí)，才有，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：扔兩枚相同的硬幣，由古典概型得一正一反的概率為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：設(shè)樣本容量為，則有，得，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，D選項(xiàng)正確.故選：CD.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，直線的方程為，由，得，直線過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，因此只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的方程化為，其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.故選ABD.11．【正確答案】BCD【詳解】依題意，將四面體補(bǔ)形為正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)樗拿骟w的所有棱長(zhǎng)都為1，則正方體的棱長(zhǎng)為，則，又分別是的中點(diǎn)，則，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的法向量為，所以到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，，所以，故C正確.對(duì)于D，設(shè)是四面體內(nèi)切球的球心，其半徑為，則，當(dāng)線段最長(zhǎng)時(shí)，為內(nèi)切球的直徑，是的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)樵撍拿骟w的體積為，表面積為，所以，解得，則，因?yàn)槭窃撍拿骟w表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為正四體的頂點(diǎn)時(shí)，最大，其最大值為，所以的最大值為，故D正確；故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】由題意，得，,所以在方向上的投影向量為.故答案.13．【正確答案】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，2次所得分?jǐn)?shù)之和為3分，則第1次取出紅球第2次取出白球或第1次取出白球第2次取出紅球,由于有放回抽取，兩次抽取為相互獨(dú)立事件，其概率為.故14．【正確答案】【詳解】方程：，可化為：，當(dāng)時(shí)，方程表示圓：，可知圓心為，半徑，圓心到直線的距離，可知圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最大距離即為圓上的點(diǎn)到直線的最大距離；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，圓面積最小，此時(shí)圓方程為：，即，圓心為，因?yàn)?，可知均在以為直徑的圓上，設(shè)，則的中點(diǎn)為，，所以為直徑的圓方程為，即，兩圓方程相減即得所在的直線方程為.故；.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）由、，可知中點(diǎn)為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．17．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）第六組的頻率為，故第七組的頻率為（2）由直方圖得，各組頻率依次為，，，，，，，，因?yàn)椋O(shè)第85百分位數(shù)為，則，解得，所以這所學(xué)校的800名男生的身高的第85百分位數(shù)為.（3）第六組的人數(shù)為，設(shè)為，第八組的人數(shù)為，設(shè)為，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有共有15種情況，因事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件包含的基本事件為共7種情況.所以.18．【正確答案】(1)或；(2)；(3).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，圓的圓心，半徑，而點(diǎn)到直線的距離為2，因此圓過點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)方程為，則，解得或，所以所求切線方程為或.（2）由消去得，，設(shè)，則，由，得，則，整理得，則，即，解得，滿足，所以.（3）設(shè)點(diǎn)，由，得，整理得，即，因此點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，依題意，圓與圓有公共點(diǎn)，即，則，整理得，解得，所以的取值范圍是.19．【正確答案】(1)的一個(gè)方向向量；的一個(gè)方向向量（答案不唯一，符合題意即可）(2)(3)的體積為，相鄰兩個(gè)面所在平面的夾角的余弦值為【詳解】（1）因?yàn)橹本€的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量；直線的方程為，即，可知直線的一個(gè)方向向量.（2）由題意可知：直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，直線過點(diǎn)，且其一個(gè)方向向量為，則為平面內(nèi)一點(diǎn).設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以平面的方程為，即.（3）由集合可知，多面體