2024-2025學(xué)年四川省高二上冊11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年四川省高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（）A． B． C． D．2．在正方體中，為的中點，則（）A． B．C． D．3．已知直線與.若，則（）A． B．1 C． D．24．若方程表示一個圓，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．已知向量，，.若，，共面，則（）A．11 B． C．9 D．36．圓與圓的公共弦長為（）A．6 B．8 C．9 D．107．如圖，平行六面體的所有棱長均相等，且，則異面直線AC與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知，，若直線上存在點P，使得，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓的半徑為2，則下列命題是真命題的是（）A．B．點在圓的外部C．若直線平分圓的周長，則D．圓與圓外切10．已知點，，在直線上，則的值可能為（）A． B． C． D．311．若平面，平面，平面，則稱點F為點E在平面內(nèi)的正投影，記為如圖，在直四棱柱中，，，分別為，的中點，，記平面為，平面ABCD為，，（

）

A．若，則B．存在點H，使得平面C．線段長度的最小值是D．存在點H，使得三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線過點，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為．13．已知直線過定點，則點的坐標為.；若直線與曲線有兩個公共點，則的取值范圍為.14．已知球是棱長為的正四面體的內(nèi)切球，是球的一條直徑，為該正四面體表面上的動點，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知點，.(1)求直線MN的一般式方程；(2)求以線段MN為直徑的圓的標準方程；(3)求（2）中的圓在點處的切線方程.16．在三棱錐中，平面平面，，，，分別為棱，的中點，為上靠近點的三等分點.(1)證明：平面.(2)求二面角的余弦值.17．已知圓（為常數(shù)）．(1)當時，求直線被圓截得的弦長．(2)證明：圓經(jīng)過兩個定點．(3)設(shè)圓經(jīng)過的兩個定點為，，若，且，求圓的標準方程．18．如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點.(1)證明：平面PAB.(2)證明.(3)試問在線段PE上是否存在點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯，與歐幾里得、阿基米德并稱古希臘三大數(shù)學(xué)家.他的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)光輝的科學(xué)成果，其中一發(fā)現(xiàn)可表述為“平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.如平面內(nèi)動點到兩個定點，的距離之比為定值2，則點的軌跡就是阿氏圓，記為.(1)求的方程；(2)若與軸分別交于E，F(xiàn)兩點，不在軸上的點是直線上的動點，直線HE，HF與的另一個交點分別為，，證明直線MN經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.

答案1．【正確答案】C【詳解】直線的斜率為，傾斜角為.故選：C2．【正確答案】B【詳解】.故選：B3．【正確答案】B【詳解】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B4．【正確答案】D【詳解】若方程表示一個圓，則，方程可化為，所以，解得，且不等于0，所以或.故選：D5．【正確答案】A【詳解】依題意，，，共面，所以存在，使得，即，所以，解得.故選：A6．【正確答案】B【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，，，所以兩圓相交，由兩式相減并化簡得，到直線的距離為，所以公共弦長為.故選：B7．【正確答案】A【詳解】設(shè)棱長為，以為基底，則，，，所以異面直線AC與所成角的余弦值為.故選：A8．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，，因為，所以，即，所以點在以為圓心，4為半徑的圓上.點在直線上，所以直線與圓有公共點，則，解得故選:B.9．【正確答案】ABD【詳解】圓的半徑為2，所以，A選項正確.所以圓的方程為，圓心為，半徑為，，所以點在圓的外部，B選項正確.直線平分圓的周長，則直線過圓心，即，所以C選項錯誤.圓的圓心為，半徑為，與的距離為，所以圓與圓外切，D選項正確.故選：ABD10．【正確答案】BC【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即關(guān)于的對稱點為，且，所以，當三點共線時取等號，故BC選項符合題意，故選：BC11．【正確答案】ABC【詳解】對于A：因為為直四棱柱，，所以以A為坐標原點，AD，AB，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，連接PQ，

則，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四點共面，若，則，解得，A正確；對于B：過點H作，交于點G，過點G作AB的垂線，垂足即，過點A作的垂線，垂足即，連接，，由題意可得，則，，，，故，，，，易得是平面的一個法向量，若平面，則，即，解得，符合題意，所以存在點H，使得平面，B正確，對于C：，當時，取得最小值，最小值為，C正確.對于D：若，則，得，無解，所以不存在點H，使得，D錯誤.故選：ABC12．【正確答案】【詳解】依題意設(shè)直線的一般式方程為：，因為直線過點，所以，得，所以直線的一般式方程為：．故．13．【正確答案】【詳解】①將直線變形為，所以當時，無論取何值，所以定點的坐標為0,2，②曲線是化簡變形后可得，其表示以2,0為圓心，為半徑的圓在軸上半部分(包含交點)如圖所示，

若要直線，與曲線有兩個交點，則其在與之間，所以可得直線的斜率為，則，故的取值范圍為，故14．【正確答案】【詳解】如下圖所示：正四面體的棱長為，設(shè)其內(nèi)切球球心為點，連接并延長交底面于點，則為正的中心，且平面，連接并延長交于點，則為的中點，且，，，因為平面，平面，則，可得，的面積為，正四面體的體積為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，可得，因為，，可得，當點位于正四面體的頂點時，取最大值，所以.故15．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）直線MN的斜率為，則直線MN的方程為，即.（2）由題意可知圓心C為線段MN的中點，即，半徑，故所求圓的標準方程為.（3）直線CP的斜率為，則所求切線的斜率為，故所求的切線方程為，即.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，，因為，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，進而.因為，所以.以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則O0,0,0，，，，，所以，.因為，所以，則，，又，平面，所以平面.（2）由（1）得，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為.易得平面的一個法向量為.設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.17．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）當時，圓，此時，圓的圓心為，半徑．則圓心到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為；（2）由，得，令，因為為常數(shù)所以得，由解得或，所以圓經(jīng)過兩個定點，且這兩個定點的坐標為；（3）（方法一）設(shè)的中點為，不妨設(shè)，則點的坐標為．因為，所以，所以，解得，所以圓的標準方程為．（方法二）不妨設(shè)，因為，所以，解得，所以圓的標準方程為．18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在；答案見解析【詳解】（1）因為，所以，因為平面，平面，所以平面PAB.（2）作交于，因為，所以，又，所以，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，即，所以，又E為AD的中點，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.（3）設(shè)存在，作交與，由（2）可得兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)直線CM與平面PBC所成角的為，則，解得，所以在線段PE上存在點，此時.19．【正確答案】(1).(2)證