2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)高二上冊二階考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市萬州區(qū)高二上學(xué)期二階考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．2．已知向量，，，若，則（

）A．1 B．2 C． D．3．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉(zhuǎn)移、環(huán)月等待、月地轉(zhuǎn)移、再入回收等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠(yuǎn)月點（離月面最遠(yuǎn)的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進(jìn)行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（

）A．0.32 B．0.48 C．0.68 D．0.824．已知圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑為（

）A． B．2 C． D．45．直線，則“”是“”的（

）條件A．必要不充分 B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要6．“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點Px,y是陰影部分（包括邊界）的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．已知某圓臺的上?下底面半徑分別為，且，若半徑為的球與圓臺的上?下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．8．已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列四個命題中真命題有（

）A．直線在軸上的截距為B．經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C．直線必過定點D．已知直線與直線平行，則平行線間的距離是10．在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則下列選項正確的是（

）A．B．到平面的距離為C．直線與所成角的正弦值為D．存在實數(shù)使得11．已知點是橢圓上的一動點（非左右頂點），為橢圓的右焦點，分別是橢圓的左右頂點，，直線分別與直線交于.則下列說法正確的有（

）.A．橢圓離心率B．記，則的最小值為C．D．的最小值為3三、填空題（本大題共3小題）12．過點，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為.13．已知直線：，拋物線：的準(zhǔn)線是，點是上一點，若點到直線，的距離分別是，，則的最小值是.14．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的左支交于點P，坐標(biāo)原點O到直線的距離為，的面積為，則C的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的值；(2)若為的中點，且，，求的面積.16．如圖，在四棱錐中，，，,點在上，且，．(1)若為線段中點，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．17．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的軌跡方程；(2)若直線與曲線交于兩點，求.18．已知為拋物線的焦點，為坐標(biāo)原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準(zhǔn)線上，且直線MF的斜率為的面積為1.(1)求拋物線的方程；(2)試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)過焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ的交點在一條定直線上.19．已知橢圓的左右焦點為，點為橢圓上異于左右頂點的任意一點，的周長為6，橢圓的離心率為.(1)求該橢圓的方程；(2)已知定點，過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點（與點不重合），延長分別與直線交于兩點.（i）當(dāng)直線斜率不存在時，求的面積；（ii）證明：以線段為直徑的圓與軸的交點為定點.

答案1．【正確答案】C【詳解】已知雙曲線方程為，可得，，因此，；根據(jù)漸近線方程的公式得到.故選：C.2．【正確答案】B【分析】利用列出方程求解即可.【詳解】由，又，則，解得．故選：B．3．【正確答案】C由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C4．【正確答案】A【詳解】由，可得圓的圓心為.因為圓關(guān)于直線對稱，所以由圓的對稱性可知，圓心在直線上，則，解得，故圓，可化為，所以圓的半徑為.故選：A.5．【正確答案】C【詳解】若，則，解得或，當(dāng)時，和的方程都是，兩直線重合，不符合題意.經(jīng)驗證可知，符合.所以“”是“”的充要條件.故選：C6．【正確答案】C【詳解】記，則為直線的斜率，故當(dāng)直線與半圓相切時，得k最小，此時設(shè)，故，解得或（舍去），即．故選：C.7．【正確答案】D【詳解】如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心一定在的中點處，設(shè)球與母線切于點，所以，則，，則，同理，所以，過點作，垂足為，則，，又，即，解得，則，所以該圓臺的體積為.故選：D.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)圓心為，由題意作圖如下：由，與圓相切，則，且，故.設(shè)，則，可得，的最小值為，所以的最小值為.故選：B.9．【正確答案】CD【分析】利用截距的定義可判斷A選項；取點且垂直于軸的直線，可判斷B選項；求出直線所過定點的坐標(biāo)，可判斷C選項；利用兩直線平行求出的值，結(jié)合平行線間的距離公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，直線在軸上的截距為，A錯；對于B選項，過點且垂直于軸的直線方程為，不能用方程表示，B錯；對于C選項，將直線方程變形為，由可得，故直線過定點，C對；對于D選項，若直線與直線平行，則，解得，直線方程可化為，故兩平行直線間的距離為，D對.故選：CD.10．【正確答案】BCD【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對于A，，故與不垂直，故A錯誤；對于B，由上，所以，所以即，又，所以，因為，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，又,由余弦定理可得：,所以，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，故B正確；對于C，，所以直線與所成角的正弦值為，故C正確；對于D，若存在實數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】AB【詳解】由題意知，，，，，故，解得，故，橢圓方程為.畫出大致圖形如下.A，離心率，正確；B，設(shè)，由上可知，，則，，，從而為鈍角.由，故，，當(dāng)時，有最小值，B正確；C，設(shè)，.由，，得，將代入，得，故，故.又，，故，C錯誤；D，不妨設(shè)，，則，最小值為2，錯誤；故選：AB.12．【正確答案】或.【詳解】顯然直線的斜率是存在的.若兩坐標(biāo)軸上截距相等且等于零，設(shè)直線方程為，因為過點，所以，所以直線方程為；若兩坐標(biāo)軸上截距相等且不等于零，設(shè)直線方程為，因為過點，所以，故，所以直線方程為，即；故或.13．【正確答案】【詳解】拋物線的焦點是，準(zhǔn)線是：，設(shè)點到直線的距離為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且在與之間時等號成立，所以的最小值是.故答案為.14．【正確答案】或【分析】先根據(jù)面積關(guān)系求出，設(shè)，垂足為，在中求出，再在中利用余弦定理求出，進(jìn)而可得離心率.【詳解】，，又，所以，，又到直線的距離為，所以，得，由雙曲線定義得，設(shè)，垂足為，如圖：則，，則在中，，，在中，由余弦定理可得，即，又，整理得，解得或，則離心率或.故或.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，，則由，得，，，，；（2）為的中點，，又，，①由余弦定理得，，②聯(lián)立①②，解得，，的面積為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取的中點為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因為，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，因為，滿足，即，即，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）圓心到直線的距離為，所以.18．【正確答案】(1)(2)或(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得，直線方程為：，令，則，故，于是，解得（負(fù)值舍去），故拋物線方程為.（2）設(shè)的方程為，，，由題意得，，即，可得，通分可得，聯(lián)立和拋物線，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，滿足題意.

（3）由題意，，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點在一條定直線上.

19．【正確答案】(1)；(