2025年高考數(shù)學復習新題速遞之圓與與方程（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學復習新題速遞之圓與與方程（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?碑林區(qū)校級開學）直線l過點（2，1），且與圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝10相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2024?珠海模擬）已知點A（﹣1，0），B（0，3），點P是圓（x﹣3）2+y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最小值為（）A．6 B．112 C．92 D3．（2024?王益區(qū)校級模擬）已知A（﹣2，0），B（2，0），若圓（x﹣a﹣1）2+（y﹣3a+2）2＝4上存在點P滿足PA→?PBA．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，3] D．[﹣3，2]4．（2024?新縣校級模擬）直線l：y＝kx﹣2與圓C：x2+y2﹣6x﹣7＝0交于A，B兩點，則|AB|的取值范圍為（）A．[7，4] B．[27，8] 5．（2024秋?開福區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，以點（2，0）為圓心且與直線y＝x+2相切的圓的標準方程為（）A．(x-2)2+y2=22 B．（x﹣C．（x+2）2+y2＝8 D．（x﹣2）2+y2＝166．（2023秋?哈爾濱期末）已知m∈R，直線l1：mx+y+2m＝0與l2：x﹣my+2m＝0的交點P在圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上，則r的最大值是（）A．42 B．32 C．22 7．（2024?德陽模擬）已知⊙C：（x﹣2）2+y2＝1，過坐標原點O作⊙C的兩條切線，切點為A、B，則四邊形OACB的面積為（）A．1 B．3 C．2 D．238．（2023秋?越城區(qū)校級期末）若直線ax+by＝1與O：x2+y2＝1相離，則點P（a，b）與圓O的位置關系為（）A．點P在圓O內(nèi) B．點P在圓O上 C．點P在圓O外 D．無法確定二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?鞍山月考）已知直線l：kx﹣y+k＝0，圓C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）為圓C上任意一點，則下列說法正確的是（）A．x02+B．y0x0C．直線l與圓C相切時，k=±D．圓心C到直線l的距離最大為4（多選）10．（2024秋?濮陽月考）已知直線y＝x與圓D：x2+y2﹣2my＝4﹣m2有兩個交點，則整數(shù)m的可能取值有（）A．0 B．﹣3 C．1 D．3（多選）11．（2024秋?永州月考）已知點A（﹣2，0），B（1，0），圓C：x2+y2﹣4x＝0，則（）A．圓M：x2+（y﹣1）2＝1與圓C公共弦所在直線的方程為3x﹣y＝0 B．直線y＝k（x﹣3）與圓C總有兩個交點 C．圓C上任意一點M都有|MA|＝2|MB| D．b是a，c的等差中項，直線l：ax+2by+c＝0與圓C交于P，Q兩點，當|PQ|最小時，l的方程為x+y＝0（多選）12．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）圓O1：x2+y2﹣2x＝0和圓O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交點為A，B，則有（）A．公共弦AB所在直線方程為x﹣y＝0 B．線段AB中垂線方程為x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的長為22D．P為圓O1上一動點，則P到直線AB距離的最大值為22三．填空題（共4小題）13．（2024?如東縣校級開學）圓C1：(x-1)2+y214．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：(x-2)2+(y-2)2=4，若點P（m，n）（m＞0，n15．（2024?余江區(qū)校級開學）已知圓C：（x﹣1）2+y2＝1，以圓心C和P（3，2）為直徑的圓的標準方程是．16．（2024?新縣校級模擬）已知A為圓C：x2+(y-1)2=14上的動點，B為圓E：(x-3)2+y2=14上的動點，P四．解答題（共4小題）17．（2024?章貢區(qū)校級開學）若圓C經(jīng)過點A（﹣1，1）和B（1，3），且圓心在x軸上，則：（1）求圓C的方程．（2）直線y＝x與圓C交于E、F兩點，求線段EF的長度．18．（2024?漳州開學）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD=23，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π19．（2023秋?哈爾濱期末）已知⊙M的圓心為（8，6），且⊙M過點A（4，3）．（1）求⊙M的標準方程；（2）若直線l與⊙M相切于點A，求l的方程．20．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知圓C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．（1）從圓外一點P（2，1）向圓引切線，求切線方程；（2）若圓C2：x2+y2＝4與圓C相交于D、E兩點，求線段DE的長．

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之圓與與方程（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?碑林區(qū)校級開學）直線l過點（2，1），且與圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝10相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】分類討論；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】D【分析】判斷已知點與圓的位置關系，并確定過定點的直線與圓所成弦長的范圍，結(jié)合圓的對稱性確定弦的條數(shù)．【解答】解：由題設，圓C的圓心為（2，4），且半徑r=10因為（2﹣2）2+（1﹣4）2＝9＜10，即點（2，1）在圓內(nèi)，且圓心到該點的距離d＝3，當直線l與（2，1）、（2，4）的連線垂直時，弦長最短為2r而最長弦長為圓的直徑為210，故所有弦的弦長范圍為[2所以相交所形成的長度為整數(shù)的弦，弦長為2，3，4，5，6，根據(jù)圓的對稱性，弦長為3，4，5，6各有2條，弦長為2的只有1條，綜上，共9條．故選：D．【點評】本題考查點與圓的位置關系的判斷及直線與圓相交弦長的求法，屬于中檔題．2．（2024?珠海模擬）已知點A（﹣1，0），B（0，3），點P是圓（x﹣3）2+y2＝1上任意一點，則△PAB面積的最小值為（）A．6 B．112 C．92 D【考點】圓上的點到直線的距離及其最值．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】D【分析】求出直線AB的方程，利用點到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點P到直線AB距離的最小值即可求得最小值．【解答】解：已知兩點A（﹣1，0），B（0，3），則|AB|=(-1直線AB方程為y＝3x+3，圓（x﹣3）2+y2＝1的圓心C（3，0），半徑r＝1，點C到直線AB：3x﹣y+3＝0的距離d=12因此點P到直線AB距離的最小值為d-所以△PAB面積的最小值是12故選：D．【點評】本題考查了點到直線的距離公式，重點考查了圓的性質(zhì)，屬中檔題．3．（2024?王益區(qū)校級模擬）已知A（﹣2，0），B（2，0），若圓（x﹣a﹣1）2+（y﹣3a+2）2＝4上存在點P滿足PA→?PBA．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，3] D．[﹣3，2]【考點】由圓與圓的位置關系求解圓的方程或參數(shù)；平面向量數(shù)量積的坐標運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應用；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】A【分析】設P的坐標為（x，y），根據(jù)PA→?PB→=5列式算出P的軌跡方程為x2+y2＝9【解答】解：根據(jù)題意，圓（x﹣a﹣1）2+（y﹣3a+2）2＝4是以C（a+1，3a﹣2）為圓心，半徑r1＝2的圓，設P（x，y），則PA→=(-x-2，所以PA→?PB→=(-x-2)(-x+2)+y2=5，整理得因此，點P的軌跡方程為x2+y2＝9，是以O（0，0）為圓心，半徑為r2＝3的圓．結(jié)合題意，可知圓（x﹣a﹣1）2+（y﹣3a+2）2＝4與x2+y2＝9有公共點，可得|r1﹣r2|≤|OC|≤r1+r2，即1≤(a+1)2+(3a-2)2即實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，2]．故選：A．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算法則、兩點之間的距離公式、圓與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．4．（2024?新縣校級模擬）直線l：y＝kx﹣2與圓C：x2+y2﹣6x﹣7＝0交于A，B兩點，則|AB|的取值范圍為（）A．[7，4] B．[27，8] 【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】D【分析】直線l經(jīng)過圓心C時，弦長取得最大值，當直線l⊥DC時取得量小值．【解答】解：由題意可得直線l過定點D（0，﹣2），圓C的圓心C（3，0），半徑r＝4．|DC|=9+4=所以D在圓的內(nèi)部，當直線l經(jīng)過圓心C時，|AB|max＝2r＝8，當直線l⊥DC時，|AB|min＝242-(13綜上，|AB|的取值范圍是[23，8]．故選：D．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，圓中的弦長問題，屬中檔題．5．（2024秋?開福區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，以點（2，0）為圓心且與直線y＝x+2相切的圓的標準方程為（）A．(x-2)2+y2=22 B．（x﹣C．（x+2）2+y2＝8 D．（x﹣2）2+y2＝16【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式求得圓的半徑，結(jié)合圓的標準方程，即可求解．【解答】解：由圓心（2，0）到直線x﹣y+2＝0的距離d=|2-0+2|即所求圓的半徑為r=22，所以所求圓的標準方程為（x﹣2）2+y2＝8故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，圓的方程的求法，是基礎題．6．（2023秋?哈爾濱期末）已知m∈R，直線l1：mx+y+2m＝0與l2：x﹣my+2m＝0的交點P在圓C：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上，則r的最大值是（）A．42 B．32 C．22 【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】A【分析】求得點P的軌跡方程，由題意可得|r-2|≤|CD|≤r+【解答】解：由直線l1，l2的方程知直線l1過定點A（﹣2，0），直線l2過定點B（0，2），又m×1+1×（﹣m）＝0，所以l1⊥l2，即AP⊥BP，所以點P在以AB為直徑的圓D上，即P在圓D：（x+1）2+（y﹣1）2＝2上，又P在圓C上，所以圓C與圓D有交點，即|r-2|≤|CD|≤r+所以22≤r≤42，即r故選：A．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查圓與圓的位置關系，屬中檔題．7．（2024?德陽模擬）已知⊙C：（x﹣2）2+y2＝1，過坐標原點O作⊙C的兩條切線，切點為A、B，則四邊形OACB的面積為（）A．1 B．3 C．2 D．23【考點】直線與圓的位置關系；圓的切線方程．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由切線長公式求出|OA|的長，又由四邊形OACB的面積S＝2S△OAC，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，⊙C：（x﹣2）2+y2＝1，其圓心為（2，0），半徑r＝1，|OC|＝2，則|OA|＝|OB|=|OC則四邊形OACB的面積S＝2S△OAC＝2（12|AC|×|OA|）=故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓的切線方程，屬于基礎題．8．（2023秋?越城區(qū)校級期末）若直線ax+by＝1與O：x2+y2＝1相離，則點P（a，b）與圓O的位置關系為（）A．點P在圓O內(nèi) B．點P在圓O上 C．點P在圓O外 D．無法確定【考點】直線與圓的位置關系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】A【分析】由題設及點線距離公式有1a2+b2＞1，進而可得a【解答】解：由題設O（0，0）到直線ax+by＝1的距離d=1即a2+b2＜1，所以點P（a，b）在圓O內(nèi)．故選：A．【點評】本題考查點到直線的距離公式的應用及點與圓的位置關系的判斷方法，屬于基礎題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?鞍山月考）已知直線l：kx﹣y+k＝0，圓C：x2+y2﹣6x+5＝0，P（x0，y0）為圓C上任意一點，則下列說法正確的是（）A．x02+B．y0x0C．直線l與圓C相切時，k=±D．圓心C到直線l的距離最大為4【考點】圓上的點到直線的距離及其最值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】求解圓的圓心與半徑，然后求解距離是最大值判斷A；結(jié)合斜率的最值判斷B，圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解直線的斜率，判斷C；圓心到直線的距離判斷D．【解答】解：直線l：kx﹣y+k＝0恒過（﹣1，0），圓C：x2+y2﹣6x+5＝0的圓心（3，0），半徑為2；所以P（x0，y0）為圓C上任意一點，x02+y0y0x0的最大值為2直線l與圓相切時，直線的斜率為：k＝±242-22圓心C到直線l的距離最大為3+1＝4，所以D正確．故選：BCD．【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，是中檔題．（多選）10．（2024秋?濮陽月考）已知直線y＝x與圓D：x2+y2﹣2my＝4﹣m2有兩個交點，則整數(shù)m的可能取值有（）A．0 B．﹣3 C．1 D．3【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】AC【分析】利用點到直線的距離小于半徑，可求參數(shù)的范圍，從而可得正確的選項．【解答】解：圓D：x2+y2﹣2my＝4﹣m2即為：D：x2+（y﹣m）2＝4，故圓心D（0，m），半徑為2，因為直線y＝x與圓D有兩個不同的交點，故d=|0-m|故-22＜故選：AC．【點評】本題考查點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．（多選）11．（2024秋?永州月考）已知點A（﹣2，0），B（1，0），圓C：x2+y2﹣4x＝0，則（）A．圓M：x2+（y﹣1）2＝1與圓C公共弦所在直線的方程為3x﹣y＝0 B．直線y＝k（x﹣3）與圓C總有兩個交點 C．圓C上任意一點M都有|MA|＝2|MB| D．b是a，c的等差中項，直線l：ax+2by+c＝0與圓C交于P，Q兩點，當|PQ|最小時，l的方程為x+y＝0【考點】根據(jù)圓心到直線距離與圓的半徑求解直線與圓的位置關系．【專題】計算題；整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】BCD【分析】A通過圓的方程相減即可判斷；B通過直線過定點，點在圓內(nèi)即可判斷；C：求得M的軌跡方程即可判斷；D通過等差中項得到2b＝a+c，確定直線過定點，由|PQ|最小，得到圓心和弦中點的連線與直線l，即可求解．【解答】解：對于A：兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：y＝2x，錯誤；對于B：y＝k（x﹣3）過定點（3，0），而（3，0）在圓C：x2+y2﹣4x＝0的內(nèi)部，所以直線y＝k（x﹣3）與圓C總有兩個交點，正確；對于C：設M（x，y），由|MA|＝2|MB|可得：(x+2)化簡可得：x2+y2﹣4x＝0，所以滿足條件的M軌跡就是圓C，正確；對于D：因為b是a，c的等差中項，所以2b＝a+c（不同時為0），所以：ax+2by+c＝0可化為ax+（a+c）y+c＝0，即a（x+y）+c（y+1）＝0，可令x+y=0y+1=0解得x=1y=-1，則直線l過定點N（1，﹣1設（x﹣4）2+y2＝12的圓心為C，當CN與直線l垂直時，|PQ|最小，此時kCN×kl＝﹣1，即0+12-1×kl=-1，得kl＝﹣1，結(jié)合ax+（a+c）y所以kl=-aa+c=-1∴直線l的方程為x+y＝0，正確．故選：BCD．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．（多選）12．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）圓O1：x2+y2﹣2x＝0和圓O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交點為A，B，則有（）A．公共弦AB所在直線方程為x﹣y＝0 B．線段AB中垂線方程為x+y﹣1＝0 C．公共弦AB的長為22D．P為圓O1上一動點，則P到直線AB距離的最大值為22【考點】圓與圓的位置關系及其判定．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；運動思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】ABD【分析】兩圓的方程作差即可求出公共弦的直線方程，即可判斷選項A；求出兩圓圓心坐標，即可求出線段AB的中垂線的方程，即可判斷選項B．求出圓心O1到直線AB的距離d，d+r即為圓O1上的點到直線AB的最大值，利用垂徑定理求出公共弦長，即可判斷選項CD．【解答】解：∵圓O1：x2+y2﹣2x＝0和圓O2：x2+y2+2x﹣4y＝0的交點為A，B，∴圓O1與圓O2公共弦AB所在的直線方程為x﹣y＝0，故A正確；∵O1（1，0），O2（﹣1，2），O1O2所在直線斜率為﹣1，∴線段AB的中垂線的方程為y﹣0＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0，故B正確；圓O1：x2+y2﹣2x＝0的圓心為O1（1，0），半徑r1＝1，圓心O1（1，0）到直線x﹣y＝0的距離d=1∴P到直線AB距離的最大值為22+圓O1與圓O2公共弦AB的長為21-12=2故選：ABD．【點評】本題考查圓與圓的位置關系，考查垂徑定理以及點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024?如東縣校級開學）圓C1：(x-1)2+y2【考點】根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關系．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】外離．【分析】分別求出兩圓的圓心坐標及半徑求解即可．【解答】解：已知圓C1：(x-1則C1（1，0），C2（4，4），r1＝1，r2＝3，又|C1C2|=(1-4則兩圓的位置關系為外離．故答案為：外離．【點評】本題考查了兩圓的位置關系，屬基礎題．14．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：(x-2)2+(y-2)2=4，若點P（m，n）（m＞0，n【考點】根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑之和求解圓與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】1．【分析】兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程，根據(jù)P在公共弦上可得m+n＝2，再利用基本不等式即可求最小值．【解答】解：圓C1：x2+y2=4和圓C2故點P（m，n）（m＞0，n＞0）在兩圓的公共弦上，∴m+n=2≥2mn，當且僅當m＝n∴mn≤1，∴m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn＝4﹣3mn≥1，當且僅當m＝n＝1時取等號．故答案為：1．【點評】本題考查兩個圓的位置關系的應用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．15．（2024?余江區(qū)校級開學）已知圓C：（x﹣1）2+y2＝1，以圓心C和P（3，2）為直徑的圓的標準方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．【考點】根據(jù)圓的幾何屬性求圓的標準方程．【專題】對應思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．【分析】由題可得C（1，0），進而由題意結(jié)合中點坐標公式和兩點間距離公式可求出所求圓的圓心和半徑，進而可得該圓的標準式方程．【解答】解：由題得C（1，0），所以以C和P（3，2）為直徑的圓的圓心為（2，1），半徑為12所以以圓心C和P為直徑的圓的標準方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．故答案為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝2．【點評】本題考查圓的標準方程的求法，屬于基礎題．16．（2024?新縣校級模擬）已知A為圓C：x2+(y-1)2=14上的動點，B為圓E：(x-3)2+y2=14上的動點，P【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】1305【分析】根據(jù)題意求出圓E關于直線y=12x對稱的圓E′，由平面幾何知識，可知直線CE′與直線y=12x的交點為點P時，該直線在兩圓上截得的弦長最大．由此作出示意圖形，得到（|PB|﹣|PA|）min【解答】解：根據(jù)題意，圓C：x2+(y-1)2=14的圓心為C圓E：(x-3)2+y2=14設E關于直線y=12x的對稱點為E'（m，n），則nm-3?圓E關于直線y=12x對稱的圓E若B'為B關于直線y=12x的對稱點，則P、A、B'三點共線，且該直線過C、E'時，|PB|﹣|因此，|PB|﹣|PA|的最大值為|AB'【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、兩圓的位置關系等知識，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024?章貢區(qū)校級開學）若圓C經(jīng)過點A（﹣1，1）和B（1，3），且圓心在x軸上，則：（1）求圓C的方程．（2）直線y＝x與圓C交于E、F兩點，求線段EF的長度．【考點】根據(jù)圓的幾何屬性求圓的標準方程；直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】（1）（x﹣2）2+y2＝10；（2）42【分析】（1）由圓心既在線段AB的垂直平分線上，又在x軸上，可聯(lián)立直線方程求圓心，進而得半徑與圓的方程；（2）利用幾何法，先求圓心到直線的距離，再利用勾股定理求半弦長即可得．【解答】解：（1）因為A（﹣1，1）和B（1，3），線段AB的中點為（0，2），且kAB則AB的垂直平分線方程為x+y﹣2＝0，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，又已知圓心在x軸上，令y＝0，得x＝2，故圓心為C（2，0），半徑r=|CB|=(2-1)則圓C的方程為（x﹣2）2+y2＝10．（2）由圓心（2，0）到直線x﹣y＝0的距離d=2|EF|=2r故線段EF的長度為42【點評】本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．18．（2024?漳州開學）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD=23，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π【考點】直線與圓的位置關系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學運算．【答案】（1）證明見解析．（2）23【分析】（1）連接OC，推出∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，得到OC⊥CD，然后說明直線CD是⊙O的切線；（2）推出∠AOC＝2∠A＝60°，通過求解三角形，推出OC，然后求解面積．【解答】（1）證明：在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，∴∠OCA＝∠A＝∠BCD，∴∠BCD+∠OCB＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠ACD＝120°，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD＝120°﹣90°＝30°，∴∠AOC＝2∠A＝60°，∵在RtΔOCD中，tan∠AOC=CD∴23OC=3，解得∴S陰【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，面積的求法，三角形的解法，是中檔題．19．（2023秋?哈爾濱期末）已知⊙M的圓心為（8，6），且⊙M過點A（4，3）．（1）求⊙M的標準方程；（2）若直線l與⊙M相切于點A，求l的方程．【考點】圓的標準方程．【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】（1）（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25；（2）4x+3y﹣25＝0．【分析】（1）利用圓心坐標和圓上的一個點的坐標求圓的標準方程；（2）利用直線與圓的位置關系求解．【解答】解：（1）由題可知，⊙M的半徑為|MA|=16+9所以⊙M的標準方程為（x﹣8）2+（y﹣6）2＝25．（2）因為直線l與⊙M相切于點A，且kAM所以kl×kAM＝﹣1，所以kl由點斜式得，y-即4x+3y﹣25＝0．【點評】本題考查圓的方程的求法及直線垂直的性質(zhì)的應用，屬于基礎題．20．（2023秋?鹽田區(qū)校級期末）已知圓C：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0．（1）從圓外一點P（2，1）向圓引切線，求切線方程；（2）若圓C2：x2+y2＝4與圓C相交于D、E兩點，求線段DE的長．【考點】直線與圓的位置關系；圓與圓的位置關系及其判定；圓的切線方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學運算．【答案】（1）x＝2或4x﹣3y﹣5＝0．（2）4．【分析】（1）設切線方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，由圓心到直線的距離等于半徑求解k，則切線方程可求；（2）聯(lián)立兩圓方程，可得DE所在直線方程，通過垂徑定理，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）圓C1：x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0，圓心C1（﹣1，2），半徑為3，當切線的斜率不存在時，切線方程為x＝2，當切線的斜率存在時，設切線方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0．由圓心到切線的距離等于圓的半徑，得|-k-2-2k+1|1+解得k=4∴切線方程為4x﹣3y﹣5＝0．綜上所述，切線方程為x＝2或4x﹣3y﹣5＝0；（2）聯(lián)立x2+y2+2x-4y-4=0x2+y2=4，得圓x2+y2＝4的圓心C2（0，0），在直線x﹣2y＝0上，則線段DE的長為圓C2的直徑，等于4．【點評】本題考查直線與圓、圓與圓位置關系的應用，考查點到直線的距離公式的應用，考查運算求解能力，是中檔題．

考點卡片1．平面向量數(shù)量積的坐標運算【知識點的認識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量a→，b→如果以O為起點，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為注意：①a→?b→②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個數(shù)量|b→|cos（3）坐標計算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：a→與b→的數(shù)量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b2．圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】可以是以單獨考點進行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標準方程作為基礎考點往往出現(xiàn)在關于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進行轉(zhuǎn)化．例1：圓心為（3，﹣2），且經(jīng)過點（1，﹣3）的圓的標準方程是（x﹣3）2+（y+2）2＝5分析：設出圓的標準方程，代入點的坐標，求出半徑，求出圓的標準方程．解答：設圓的標準方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，由圓M經(jīng)過點（1，﹣3）得R2＝5，從而所求方程為（x﹣3）2+（y+2）2＝5，故答案為（x﹣3）2+（y+2）2＝5點評：本題主要考查圓的標準方程，利用了待定系數(shù)法，關鍵是確定圓的半徑．例2：若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x﹣3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1分析：要求圓的標準方程，半徑已知，只需找出圓心坐標，設出圓心坐標為（a，b），由已知圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離等于圓的半徑，可列出關于a與b的關系式，又圓與x軸相切，可知圓心縱坐標的絕對值等于圓的半徑即|b|等于半徑1，由圓心在第一象限可知b等于圓的半徑，確定出b的值，把b的值代入求出的a與b的關系式中，求出a的值，從而確定出圓心坐標，根據(jù)圓心坐標和圓的半徑寫出圓的標準方程即可．解答：設圓心坐標為（a，b）（a＞0，b＞0），由圓與直線4x﹣3y＝0相切，可得圓心到直線的距離d=|4a-3b|5=r化簡得：|4a﹣3b|＝5①，又圓與x軸相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a=-∴圓心坐標為（2，1），則圓的標準方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．故選：A點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及圓的標準方程，若直線與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，要求學生靈活運用點到直線的距離公式，以及會根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程．例3：圓x2+y2+2y＝1的半徑為（）A．1B．2C．2D．4分析：把圓的方程化為標準形式，即可求出圓的半徑．解答：圓x2+y2+2y＝1化為標準方程為x2+（y+1）2＝2，故半徑等于2，故選B．點評：本題考查圓的標準方程的形式及各量的幾何意義，把圓的方程化為標準形式，是解題的關鍵．3．根據(jù)圓的幾何屬性求圓的標準方程【知識點的認識】1．圓的定義：平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合（軌跡）叫做圓．定點叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標準方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當圓心為坐標原點時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題方法點撥】已知圓心坐標和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標準方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設出圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進行配方，也可以化為標準方程．【命題方向】﹣標準方程推導：考查如何從幾何屬性推導圓的標準方程，通常涉及基本的幾何知識和代數(shù)運算．4．圓的切線方程【知識點的認識】圓的切線方程一般是指與圓相切的直線方程，特點是與圓只有一個交點，且過圓心與切點的直線垂直切線．圓的切線方程的類型：（1）過圓上一點的切線方程：對于這種情況我們可以通過圓心與切點的連線垂直切線求出切線的斜率，繼而求出直線方程（2）過圓外一點的切線方程．這種情況可以先設直線的方程，然后聯(lián)立方程求出他們只有一個解（交點）時斜率的值，進而求出直線方程．【解題方法點撥】例1：已知圓：（x﹣1）2+y2＝2，則過點（2，1）作該圓的切線方程為．解：圓：（x﹣1）2+y2＝2，的圓心為C（1，0），半徑r=2①當直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸垂直時，方程為x＝2，∵圓心到直線x＝2的距離等于1≠2，∴直線l與圓不相切，即x＝2②當直線l經(jīng)過點P（2，1）與x軸不垂直時，設方程為y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直線l與圓：（x﹣1）2+y2＝2相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑，即d=|k+1-2k|k2+1=因此直線l的方程為y﹣1＝﹣（x﹣2），化簡得x+y﹣3＝0．綜上所述，可得所求切線方程為x+y﹣3＝0．這里討論第一種情況是因為k不一定存在，所以單獨討論，用的解題思想就是我上面所說，大家可以對照著看就是．例2：從點P（4，5）向圓（x﹣2）2+y2＝4引切線，則圓的切線方程為．解：由圓（x﹣2）2+y2＝4，得到圓心坐標為（2，0），半徑r＝2，當過P的切線斜率不存在時，直線x＝4滿足題意；當過P的切線斜率存在時，設為k，由P坐標為（4，5），可得切線方程為y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圓心到切線的距離d＝r，即|5-2k|k2解得：k=21此時切線的方程為y﹣5=2120（x﹣4），即21x﹣20y+16＝綜上，圓的切線方程為x＝4或21x﹣20y+16＝0．這個例題用的方法也是前面所說，但告訴我們一個基本性質(zhì)，即圓外的點是可以做兩條切線的，所以以后解題只求出一條的時候就要想是不是少寫了一種．【命題方向】本考點也是比較重要的一個知識點，但解題方法很死板，希望大家都能準確的掌握，確保不丟分．5．直線與圓相交的性質(zhì)【知識點的認識】直線與圓的關系分為相交、相切、相離．判斷的方法就是看圓心到直線的距離和圓半徑誰大誰?。孩佼攬A心到直線的距離小于半徑