【八年級上冊數(shù)學(xué)浙教版】專題2.4 特殊三角形（一）（軸對稱、等腰三角形與逆命題（定理）十大題型）重難點(diǎn)題型（原卷版）

第第頁專題2.4特殊三角形（一）（軸對稱、等腰三角形與逆命題（定理）十大題型）重難點(diǎn)題型注意：該部分包含2.1節(jié)2.5節(jié)的重難點(diǎn)題型題型1軸對稱圖形的性質(zhì)與辨別【方法技巧】掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點(diǎn)：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。1．（2022·重慶八中七年級期末）2022年北京冬奧會會徽“冬夢”以漢字“冬”為靈感來源，運(yùn)用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體．以下是參選的會徽設(shè)計的一部分圖形，其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北承德·八年級期末）在下列給出的幾何圖形中，是軸對稱圖形的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·浙江金華·八年級階段練習(xí)）下面所給的標(biāo)志圖中屬于軸對稱圖形的是（

）A．B．C．D．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對稱，若，，則（

）A． B． C． D．5．（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖，若與關(guān)于直線對稱，交于點(diǎn)，則下列說法中，不一定正確的是（

）A． B． C． D．6．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，直線m，l相交于點(diǎn)O，P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝1.3．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型2軸對稱性質(zhì)的運(yùn)用方法技巧：常見應(yīng)運(yùn)用有：折疊（剪紙）、臺球桌面、光的反射和鏡面對稱等問題。折疊問題中，折痕就是圖形的對稱軸，折疊前后的圖形關(guān)于對稱軸對稱。1．（2022·河北八年級期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋2．（2022·湖南湘潭·中考真題）如圖，一束光沿方向，先后經(jīng)過平面鏡、反射后，沿方向射出，已知，，則_________．3．（2022·無錫市積余實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級月考）小明站在河岸邊看見水中的自己胸前球衣的號碼是，則實(shí)際的號碼為____．4．（2022·廣西防城港·八年級期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為、，若CD//BE，，則的度數(shù)是________．6．（2022·浙江·浦江縣第五中學(xué)一模）如圖，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到△ECF．若BC＝1，則△ECF的周長為（）A． B． C． D．題型3線段垂直平分線性質(zhì)與判定及運(yùn)用【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等垂直平分線的性質(zhì)判定：到一條直線兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。三角形的外心：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)；外心性質(zhì)：外心到該三角形三頂點(diǎn)的距離相等。1．（2021·山東濟(jì)南市·八年級期末）如圖，若記北京為地，莫斯科為地，雅典為地．若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到、、三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A．三邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三邊中線的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)2．（2022·四川八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D，則∠ADC＝（）A．30° B．45° C．50° D．60°3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級期末）如圖，，C為OB上的定點(diǎn)，M，N分別為射線OA、OB上的動點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南懷化市·八年級期末）如圖．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線，分別交AB、AC于D、E，交BC的延長線于F，連接EB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）求證：EB平分∠ABC．（3）求證：AE=EF．5．（2021·石家莊九年級二模）如圖，在中，D為BC中點(diǎn)，交的平分線AE于E，于F，交AC的延長線于G．（1）求證：；（2）若，，求AF的長．6．（2022·云南·初二期末）在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的周長為6．（1）與的數(shù)量關(guān)系為．（2）求的長．（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．題型4角平分線的運(yùn)用【解題技巧】角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。1．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校二模）如圖，三條公路把A，B，C三個村莊連成一個三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個集貿(mào)市場，要使集貿(mào)市場到三條公路的距離相等，則這個集貿(mào)市場應(yīng)建在（

）A．三個角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)2．（2022·河北·圍場滿族蒙古族自治縣中小學(xué)教研室八年級期末）如圖，已知、的角平分線、相交于點(diǎn)P，，，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個結(jié)論：①平分；②；③；④．其中結(jié)論正確的是（

）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④3．（2022·廣東汕頭·八年級期末）如圖，的三邊，，長分別是，，，其三條角平分線將分為三個三角形，則：：等于（

）A．：：B．：：C．：：D．：：4．（2022·山東棗莊·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．15 B．7.5 C．8 D．95．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點(diǎn)E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．6．（2020·湖南長沙·中考真題）人教版初中數(shù)學(xué)教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法：已知：求作：的平分線做法：（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)C（3）畫射線OC，射線OC即為所求．請你根據(jù)提供的材料完成下面問題：（1）這種作已知角平分線的方法的依據(jù)是______(填序號)．①

②③

④（2）請你證明OC為的平分線．題型5等腰三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）。3）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）。1．（2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．2．（陜西省西安市高新一中2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（陜西省榆林市高新區(qū)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個問題∶“如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，添加下列哪個條件能判定是等腰三角形？"請你判斷正確的條件應(yīng)為（

）A． B． C． D．4．（陜西省西安市西安交通大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知中，，在AB邊上有一點(diǎn)D，若CD將分為兩個等腰三角形，則________．5．（陜西省咸陽市武功縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，E為的外角平分線上的一點(diǎn)，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長．6．（四川省廣元市劍閣縣2020-2021學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點(diǎn)F，延長BD到A，使DA＝DF，延長BF交AC于E．(1)求證：△FBD≌△ACD；(2)求證：△ABC是等腰三角形；(3)求證：CEBF．題型7等邊三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定：1）三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。2）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°。3）三個角都相等的三角形是等邊三角形。4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．（河南省周口市西華縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．（陜西省安康市紫陽縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（A卷））如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．（2022年湖南省湘潭市中考數(shù)學(xué)真題）（多選題）如圖，小明在學(xué)了尺規(guī)作圖后，作了一個圖形，其作圖步驟是：①作線段，分別以點(diǎn)、為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)、；②連接、，作直線，且與相交于點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A．是等邊三角形B．C．D．4．（河北省廊坊市大城縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABD是等邊三角形，，E是AD上的點(diǎn)，，與BD交于點(diǎn)F．則下列結(jié)論正確的有（

）①連接AC，則AC垂直平分線段BD；②△DEF是等邊三角形；③若，則；④若AB＝8，DE＝2，則CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④5．（2022年湖南省懷化市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．6．（江西省景德鎮(zhèn)市樂平市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．AD交B于點(diǎn)F，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，作交直線FG于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)，時，______，______．(2)如圖2，當(dāng)時，試探索AF與BH的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時，（2）中AF與BH的數(shù)量關(guān)系______成立（填“仍然”或“不再”）．請說明理由．題型8軸對稱作圖1．（2022·湖南·中考模擬）在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）B點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1，請畫出△A1O1B1；（3）在（2）的條件下，A1的坐標(biāo)為．2．（2022·云南·三模）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．、、三點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）作出關(guān)于軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作出關(guān)于對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）在下面的方格紙中，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，（1）在圖1中畫出與成關(guān)于BC成軸對稱的格點(diǎn)三角形；（2）在圖2的格點(diǎn)中標(biāo)出使與面積相等的點(diǎn)D的位置（除點(diǎn)C外）4．（2022·河南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中，點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為、、.5．（2022·山東濟(jì)南·七年級期末）（1）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上．①在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A'B'C′；②在直線l上找一點(diǎn)P，使得△APC的周長最??；③求△ABC的面積．（2）如圖是5×5的正方形網(wǎng)格，請以DE為一邊作兩個位置不同的格點(diǎn)三角形(三角形的頂點(diǎn)在網(wǎng)格的交點(diǎn)上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)與△ABC全等．6．（2022·陜西安康·八年級期末）已知：方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，-1），(1)請以y軸為對稱軸，畫出與△對稱的△，并直接寫出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)（a+1，b-1）與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，則____________，____________．題型9等腰三角形與全等三角形綜合題1．（2021·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，在銳角△ABC中，點(diǎn)D在線段CA的延長線上，BC邊的垂直平分線分別交AB邊于點(diǎn)E，交∠BAC的平分線于點(diǎn)M，交BAD的平分線于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作AM的垂線分別交AM于點(diǎn)F，交MN于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰為AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AI⊥BC于點(diǎn)I，交OC于點(diǎn)H，連接OA、OB，則下列結(jié)論中，（1）∠MAN=90°；（2）∠AOB=2∠ACB；（3）OH=2OG；（4）△AFO≌△AFH；（5）AE+AC=2AG．正確的是________．（填序號）2．（2021·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，平分交所在直線于點(diǎn)．求證：．（3）如圖3，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，在下方作邊交所在直線于點(diǎn)．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．（2021·山東濟(jì)南市·八年級期末）如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點(diǎn)O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點(diǎn)A作AH∠BC于點(diǎn)H，交BO于點(diǎn)P．（1）求線段OP的長度；（2）連接OH，求證：∠OHP＝45°；（3）如圖2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段BO延長線上一動點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥DM交線段A延長線于N點(diǎn)，則S△BDM－S△ADN的值是否發(fā)生改變，如改變，求出該值的變化范圍；若不改變，求該式子的值．4．（2021·江蘇景山中學(xué)八年級期末）（1）如圖1，等邊△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，DF與BC的延長線交于F點(diǎn)，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系是；BE＋BF與的BC數(shù)量關(guān)系是；（寫出結(jié)論即可，不必證明）（2）將（1）中的點(diǎn)E移動一定距離（如圖2），DE交AB于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)，其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件不變，則DE與DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？BE＋BF與BC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論并加以證明；（3）將（1）中的點(diǎn)E移動到AB延長線上，DE與AB的延長線交于E點(diǎn)，DF交BC的延長線于F點(diǎn)（如圖3），其中“等邊△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，若∠EDF＝120°”這一條件仍然不變，則BE、BF、BC這三者之間的數(shù)量關(guān)系是．（直接寫出結(jié)論即可）5．（2021·南師附中樹人學(xué)校九年級月考）如圖1，若△DEF的三個頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC各邊上，則稱△DEF是△ABC的內(nèi)接三角形．（1）如圖2，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC各邊上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，則△DEF是△ABC的內(nèi)接．A．等腰三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或等邊三角形D．直角三角形（2）如圖3，已知等邊三角形ABC，請作出△ABC的邊長最小的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）（3）問題：如圖4，△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)D在AB邊上，是否存在△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF？如果存在，如何作出這個等邊三角形？①探究1：如圖5，要使△DEF是等邊三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我們以點(diǎn)D為角的頂點(diǎn)任作∠EDF＝60°，且DE交BC于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F．我們選定兩個特殊位置考慮：位置1（如圖6）中的點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，位置2（如圖7）中的點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．在點(diǎn)E由位置1中的位置運(yùn)動到位置2中點(diǎn)C的過程中，DE逐漸變大而DF逐漸變小后再變大，如果存在某個時刻正好DE＝DF，那么這個等邊三角形DEF就存在（如圖8）．理由：是等邊三角形．②探究2：在BC上任取點(diǎn)E，作等邊三角形DEF（如圖9），并分別作出點(diǎn)E與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合時的等邊三角形DBF′和DCF″．連接FF'，F(xiàn)F″，證明：FF'+FF″＝BC．③探究3：請根據(jù)以上的探究解決問題：如圖10，△ABC是不等邊三角形，點(diǎn)D在AB邊上，請作出△ABC的內(nèi)接等邊三角形DEF．（保留作圖痕跡，不寫作法）6．（2021·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點(diǎn)，D為BC邊上一動點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE、DE、ME．（1）求證：CD＋CE＝CA；（2）求出點(diǎn)M到CE所在直線的距離；（3）當(dāng)ME＝時，求CE的值．7．（2021·四川）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，分別以AB，AC為邊向三角形外作等邊△ABD和等邊△ACE，解答下列各題，并要求標(biāo)注推導(dǎo)理由：（1）如圖1，求證：AD∥BC；（