高等數(shù)學(xué)課件D11習(xí)題課講義教材

習(xí)題課一、曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束線面積分的計(jì)算第十一章1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件一、曲線積分的計(jì)算法1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件練習(xí)1計(jì)算其中L為圓周提示:

利用極坐標(biāo),原式=說明:若用參數(shù)方程計(jì)算,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束……1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件練習(xí)3計(jì)算其中由平面y=z截球面提示:因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時針方向.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件(1)利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例1.計(jì)算其中

為曲線解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點(diǎn))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例2.計(jì)算其中L是沿逆時針方向以原點(diǎn)為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a為半徑的上半圓周.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2求出全微分1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件解法3它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計(jì)算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計(jì)算下述積分:則添加輔助線段機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件思考題解答:(1)(2)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件計(jì)算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.練習(xí)4機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件練習(xí)5設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)。提示:令易證F沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束所以結(jié)論成立。1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件練習(xí)6求力沿有向閉曲線

所作的功,其中為平面x+y+z=1

被三個坐標(biāo)面所截成三角提示:方法1從z軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性形的整個邊界,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?方向向上,則方法2利用斯托克斯公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件解則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束練習(xí)71/8/2025高等數(shù)學(xué)課件即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件二、曲面積分的計(jì)算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負(fù)第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?

不對!對坐標(biāo)的積分與的側(cè)有關(guān)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計(jì)算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件練習(xí)7其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=記半球域?yàn)?高斯公式有計(jì)算為輔助面,利用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例3.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例4.計(jì)算曲面積分其中,解:思考:本題

改為橢球面時,應(yīng)如何計(jì)算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例5.設(shè)是曲面解:取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy平面上介于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計(jì)算則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件第二項(xiàng)添加輔助面,再用高斯公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束計(jì)算,得1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例6.計(jì)算曲面積分中

是球面解:利用對稱性用重心公式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件例7.設(shè)L是平面與柱面的交線,從z軸正向看去,L為逆時針方向,計(jì)算解:記

為平面上

L所圍部分的上側(cè),D為

在xoy面上的投影.由斯托克斯公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件D的形心機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是應(yīng)用題

地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為H=0.25R,衛(wèi)星繞地球一周的時間為T,試求(2)在解:如圖建立坐標(biāo)系.的時間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1/8/2025高等數(shù)學(xué)課件(1)利用球坐標(biāo),任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停注意盲區(qū)與重復(fù)部分其中S0為盲區(qū)面積機(jī)動目錄