2024屆安徽省亳州市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省毫州市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“的實(shí)部小于0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)槿羝鋵?shí)部小于0，則，即，顯然是的必要不充分條件，則“”是“的實(shí)部小于0”的必要不充分條件，故選：B.3.如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（）A.140 B.240 C.280 D.320【答案】C【解析】由已知得，所以，因?yàn)榈谖褰M的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.4.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】設(shè)的公差為.由已知可得，所以，則.故選：B.5.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點(diǎn)，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?故選：D.6.已知直線和曲線，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定【答案】B【解析】直線的方程可化為，所以直線恒過點(diǎn)，曲線即，表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分（如圖），由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B.7.在三棱錐中，已知，平面平面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】分別取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋?則,又則,又平面平面，平面平面，，則,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故為二面角的平面角，所以，所以，三棱錐外接球的球心在直線上.設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍），所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為.故選：A.8.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】令，則，即.構(gòu)造函數(shù)，則問題等價(jià)于討論方程的根的個(gè)數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，故問題進(jìn)一步等價(jià)于討論方程的根的問題，即可轉(zhuǎn)化為根的問題，即等價(jià)于當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)單調(diào)遞增，故.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，方程只有一根，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量滿足，且，則的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由可知三點(diǎn)共線，且在之間，選項(xiàng)A：，，與不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，，與平行，且在之間，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，，與平行，且在之間，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，，與平行，但不在之間，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】設(shè)的最小正周期為，由圖象可得到，故，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；將代入，得，則，解得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.將正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則，我們把，分別叫做的首數(shù)和尾數(shù)，若將的首數(shù)記為，尾數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.B.是周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，若，必有，不可能存在非零常數(shù)，使得恒成立，不符合周期函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，若10，則，若，則，所以，故C正確；對于D，設(shè)同選項(xiàng)，若，則，若，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與交于點(diǎn)（位于第一象限），為拋物線上之間的一點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.若的斜率為1，則當(dāng)?shù)降木嚯x最大時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形C.若，則的斜率為3D.若不重合，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，解得，故A正確；對于B，當(dāng)?shù)降木嚯x最大時(shí)，以為切點(diǎn)的的切線斜率也為1，因?yàn)椋灾恍杩紤]，則，令，得，則，則此時(shí)，又的坐標(biāo)為，所以軸，所以為直角三角形，故B正確；對于C，如圖，設(shè)的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)分別作，過點(diǎn)作，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，所以，即的斜率為，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，設(shè)的方程為，代入，得0，易得，所以，直線的方程為，則，所以經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，令，得，則切點(diǎn)為，故所求的方程為.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因，所以，所以.故答案為：.15.已知，則__________.【答案】【解析】將兩式平方,相加得，即，因?yàn)?，所以，所?故答案為：16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則__________.【答案】【解析】由題意知橢圓方程為，則，設(shè)，則，而，由余弦定理得，即，所以.因?yàn)镺為的中點(diǎn)，故，所以，，所以，即，故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，且，求.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，所以，因?yàn)椋?（2）由題意知，所以，由（1）的過程可得，代入的值整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，符合條件，所以.18.記正項(xiàng)等比數(shù)列?等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，已知，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)集合，求中元素的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)的公比為的公差為，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，從四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)）有種取法，易知不同取法中的兩個(gè)數(shù)之和都互不相等，故集合中的元素有10個(gè).19.如圖，直四棱柱的棱長均為為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.證明：（1）在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因?yàn)樗睦庵母骼忾L均相等，故四邊形是菱形，所以，又因?yàn)椋?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?解：（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，則，根據(jù)直四棱柱可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，則.設(shè)平面的法向量為，則即，取.設(shè)平面法向量為，則即，取.因?yàn)?，所以二面角的正弦值?20.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B類題，小張需要通過“抽小球”的方式?jīng)Q定要答的題目難度類型：一個(gè)箱子里裝有質(zhì)地?大小一樣的5個(gè)球，3個(gè)標(biāo)有字母A，另外2個(gè)標(biāo)有字母B，小張從中任取3個(gè)小球，若取出的A球比B球多，則答A類題，否則答B(yǎng)類題.（1）設(shè)小張抽到A球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及.（2）已知A類題里有4道論述題和1道計(jì)算題，B類題里有3道論述題和2道計(jì)算題，小張確定題目的難度類型后需要從相應(yīng)題目中任選一道題回答.（i）求小張回答論述題的概率；（ii）若已知小張回答的是論述題，求小張回答的是A類題的概率.解：（1）的所有可能取值為，所以的分布列為123故.（2）記事件“小張回答類題”，“小張回答類題”，“小張回答論述題”.（i）由（1）知，由題意知，所以.（ii），所以.21.已知函數(shù).（1）若，求的極小值；（2）若對任意的和，不等式恒成立，求的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，易知在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值.（2）因?yàn)?，所以恒成立等價(jià)于恒成立.設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以.結(jié)合式，可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，的最小值為2，要使恒成立，須，即的最大值為2.22.已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，直線分別與軸相交于點(diǎn).（1）證明：以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)；（2）若，且，求.證明：（1）將代入，得，所以，所以的方程為.要證明以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)，即證.設(shè)，根據(jù)題意知直線的斜率存在，則，故直線，令，得，用替換，得.所以，所以.因?yàn)椋?，所以，故原命題得證.解：（2）因?yàn)椋?由可得，記的斜率為，則用替換，可得.所以，化簡可得，又，所以，解得或（舍去）.所以.安徽省毫州市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則“”是“的實(shí)部小于0”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)槿羝鋵?shí)部小于0，則，即，顯然是的必要不充分條件，則“”是“的實(shí)部小于0”的必要不充分條件，故選：B.3.如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（）A.140 B.240 C.280 D.320【答案】C【解析】由已知得，所以，因?yàn)榈谖褰M的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.4.在等差數(shù)列中，已知，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】設(shè)的公差為.由已知可得，所以，則.故選：B.5.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點(diǎn)，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D.6.已知直線和曲線，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.無法確定【答案】B【解析】直線的方程可化為，所以直線恒過點(diǎn)，曲線即，表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分（如圖），由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B.7.在三棱錐中，已知，平面平面，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】分別取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，所?則,又則,又平面平面，平面平面，，則,平面，所以平面，又平面,所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,故為二面角的平面角，所以，所以，三棱錐外接球的球心在直線上.設(shè)，則，即，解得（負(fù)值舍），所以三棱錐外接球的半徑為，表面積為.故選：A.8.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】令，則，即.構(gòu)造函數(shù)，則問題等價(jià)于討論方程的根的個(gè)數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞增，故問題進(jìn)一步等價(jià)于討論方程的根的問題，即可轉(zhuǎn)化為根的問題，即等價(jià)于當(dāng)時(shí)，函數(shù)與直線在上交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增；函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)單調(diào)遞增，故.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，方程只有一根，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量滿足，且，則的坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由可知三點(diǎn)共線，且在之間，選項(xiàng)A：，，與不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，，與平行，且在之間，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：，，與平行，且在之間，選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，，與平行，但不在之間，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】設(shè)的最小正周期為，由圖象可得到，故，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；將代入，得，則，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故C正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD11.將正數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則，我們把，分別叫做的首數(shù)和尾數(shù)，若將的首數(shù)記為，尾數(shù)記為，則下列說法正確的是（）A.B.是周期函數(shù)C.若，則D.若，則【答案】AC【解析】對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，若，必有，不可能存在非零常數(shù)，使得恒成立，不符合周期函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，若10，則，若，則，所以，故C正確；對于D，設(shè)同選項(xiàng)，若，則，若，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC12.已知拋物線的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與交于點(diǎn)（位于第一象限），為拋物線上之間的一點(diǎn)，為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.若的斜率為1，則當(dāng)?shù)降木嚯x最大時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角三角形C.若，則的斜率為3D.若不重合，則直線經(jīng)過定點(diǎn)【答案】ABD【解析】對于A，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，解得，故A正確；對于B，當(dāng)?shù)降木嚯x最大時(shí)，以為切點(diǎn)的的切線斜率也為1，因?yàn)椋灾恍杩紤]，則，令，得，則，則此時(shí)，又的坐標(biāo)為，所以軸，所以為直角三角形，故B正確；對于C，如圖，設(shè)的準(zhǔn)線為，過點(diǎn)分別作，過點(diǎn)作，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，所以，即的斜率為，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，則，設(shè)的方程為，代入，得0，易得，所以，直線的方程為，則，所以經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為__________.【答案】【解析】設(shè)，令，得，則切點(diǎn)為，故所求的方程為.故答案為：.14.已知隨機(jī)變量，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因，所以，所以.故答案為：.15.已知，則__________.【答案】【解析】將兩式平方,相加得，即，因?yàn)?，所以，所?故答案為：16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則__________.【答案】【解析】由題意知橢圓方程為，則，設(shè)，則，而，由余弦定理得，即，所以.因?yàn)镺為的中點(diǎn)，故，所以，，所以，即，故答案為：四?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，點(diǎn)在邊上，，且，求.解：（1）因?yàn)?，由余弦定理得，整理得，所以，因?yàn)?，所?（2）由題意知，所以，由（1）的過程可得，代入的值整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為鈍角，不符合條件，當(dāng)時(shí)，，符合條件，所以.18.記正項(xiàng)等比數(shù)列?等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，已知，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)集合，求中元素的個(gè)數(shù).解：（1）設(shè)的公比為的公差為，因?yàn)椋?，解得或（舍去），所?因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，從四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)）有種取法，易知不同取法中的兩個(gè)數(shù)之和都互不相等，故集合中的元素有10個(gè).19.如圖，直四棱柱的棱長均為為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若，求二面角的正弦值.證明：（1）在直四棱柱中，平面，而平面，所以，因?yàn)樗睦庵母骼忾L均相等，故四邊形是菱形，所以，又因?yàn)椋?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?解：（2）設(shè)與的交點(diǎn)為，則，根據(jù)直四棱柱可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，則.設(shè)平面的法向量為，則即，取.設(shè)平面法向量為，則即，取.因?yàn)?，所以二面角的正弦值?20.小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度不同分為A類題和B