2024屆廣東省深圳市龍崗區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市龍崗區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得，所以，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.故選：C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.4.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，則，又，，所以，所以，則，又.故選：D.5.已知，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】，，，.故選：D.6.過圓上一點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為B，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓與圓的圓心分別為O，C，則，當(dāng)最小時，最小，由于點(diǎn)A在圓O上，則的最小值為，所以的最小值為.故選：B.7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，，所以，得，故選：A8.已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為異面直線所成角的范圍是，故當(dāng)時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A二、多項選擇題9.關(guān)于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式所有項的系數(shù)和為 B.展開式二項式系數(shù)和為C.展開式中第5項為 D.展開式中不含常數(shù)項【答案】BCD【解析】A選項：?。校珹錯，B選項：展開式二項式系數(shù)和為，B對，C選項：由，則時即為第5項為，C對，D選項：由C選項可知恒成立，D對，故選：BCD.10.已知是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】ACD【解析】對于選項A，是夾角為的單位向量，則，故，故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，所以，又，所以，故選項C正確；對于選項D，在上的投影向量為，故選項D正確.故選：ACD11.下列說法中正確的是（）A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32【答案】AB【解析】A選項，個體m被抽到的概率為，A正確；B選項，已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，解得，，則這組數(shù)據(jù)的方差是，B正確；C選項，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，C錯誤；D選項，若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則的方差為64，設(shè)的平均數(shù)為，則，，又，故，則的標(biāo)準(zhǔn)差為，D錯誤．故選：AB12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由拋物線得，設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，選項A：，故A正確；選項B：因為，所以，故B錯誤；由拋物線得準(zhǔn)線為，則，因為過點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，所以直線斜率存在且不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，故，，選項C：，故C正確；選項D：，又，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.函數(shù)的最小正周期為_______．【答案】【解析】由，得函數(shù)的最小正周期為.14.有甲、乙、丙三項任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項任務(wù)，則共有___________種不同的選法【答案】【解析】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有種選法，第二步，再從剩余4人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有種選法，第三步，再從3人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有種選法，所以共有種選法.故答案為:.15.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為_________．【答案】【解析】如圖，因，所以可設(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案為：16.已知函數(shù)且，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】首先注意到，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然滿足題設(shè)；當(dāng)時，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故存在唯一零點(diǎn)，若只有一個零點(diǎn)，此時也必極值點(diǎn)，又此時，則只需，，，因為解得；綜上所述，則實(shí)數(shù)的取值范用為．故答案為：四、解答題17.記的內(nèi)角的A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）法一：因為，所以，整理得，所以，又因為，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因為，所以，又因為，所以；（2）因為，，，所以，即，解得，所以的面積.18.如圖，三棱錐中，平面，，.（1）求證：平面；（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面，平面，所以，又，，所以，在中，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，所以平面；（2）解：（方法一）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，，∴，即與平面所成角的余弦值為．（方法二）過點(diǎn)作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，則為與平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即與平面所成角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）由對任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，若，則，且當(dāng)時，滿足.綜上所述：.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．當(dāng)時，的面積為5．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，且，，求證：為定值．（1）解：當(dāng)時，，，可得．由雙曲線的定義可知，，兩邊同時平方可得，，所以．①又雙曲線的離心率為，所以．②由①②可得，，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)直線與軸垂直時，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時，，，所以，，．當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，由題意知且，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，則，，．易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得，所以，同理可得．所以．綜上，為定值．21.某工廠采購了一批新的生產(chǎn)設(shè)備．經(jīng)統(tǒng)計，設(shè)備正常狀態(tài)下，生產(chǎn)的產(chǎn)品正品率為0.98．為監(jiān)控設(shè)備生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，并檢測質(zhì)量．規(guī)定：抽檢的10件產(chǎn)品中，若至少出現(xiàn)2件次品，則認(rèn)為設(shè)備生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況，需對設(shè)備進(jìn)行檢測及修理．（1）假設(shè)設(shè)備正常狀態(tài)，記X表示一天內(nèi)抽取的10件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，求，并說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程規(guī)定的合理性；（2）該設(shè)備由甲、乙兩個部件構(gòu)成，若兩個部件同時出現(xiàn)故障，則設(shè)備停止運(yùn)轉(zhuǎn)；若只有一個部件出現(xiàn)故障，則設(shè)備出現(xiàn)異常．已知設(shè)備出現(xiàn)異常是由甲部件故障造成的概率為p，由乙部件故障造成的概率為．若設(shè)備出現(xiàn)異常，需先檢測其中一個部件，如果確認(rèn)該部件出現(xiàn)故障，則進(jìn)行修理，否則，繼續(xù)對另一部件進(jìn)行檢測及修理．已知甲部件的檢測費(fèi)用1000元，修理費(fèi)用5000元，乙部件的檢測費(fèi)用2000元，修理費(fèi)用4000元．當(dāng)設(shè)備出現(xiàn)異常時，僅考慮檢測和修理總費(fèi)用，應(yīng)先檢測甲部件還是乙部件，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）由題可知，單件產(chǎn)品為次品的概率為0.02，所以，所以，，所以，由可知，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一天內(nèi)抽取的10個零件中，至少出現(xiàn)2個次品的概率約為0.014，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為設(shè)備在這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)了異常情況，需對設(shè)備進(jìn)行檢測和修理，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的規(guī)定是合理的.（2）若先檢測甲部件，設(shè)檢測費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，7000，則，，所以，若先檢測乙部件，設(shè)檢測費(fèi)和修理費(fèi)之和為元，則的所有可能值為6000，8000，則，，所以，所以，則當(dāng)時，，應(yīng)先檢測乙部件；當(dāng)時，，先檢測甲部件或乙部件均可；當(dāng)時，，應(yīng)先檢測甲部件.22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且．證明：．（1）解：的定義域為，當(dāng)時，在上恒大于0，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由題可得，兩式相減可得，要證，即證，即證，即證，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故原命題成立．廣東省深圳市龍崗區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得，所以，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第三象限.故選：C.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，.故選：B.4.已知，且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，則，又，，所以，所以，則，又.故選：D.5.已知，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】，，，.故選：D.6.過圓上一點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)為B，則的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓與圓的圓心分別為O，C，則，當(dāng)最小時，最小，由于點(diǎn)A在圓O上，則的最小值為，所以的最小值為.故選：B.7.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值是（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，所以，，所以，得，故選：A8.已知矩形ABCD中，，，將沿BD折起至，當(dāng)與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為異面直線所成角的范圍是，故當(dāng)時，與AD所成角最大，因為四邊形是矩形，所以，而平面，所以平面，因為平面，所以，在直角三角形中，，而，所以，所以.故選：A二、多項選擇題9.關(guān)于二項式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式所有項的系數(shù)和為 B.展開式二項式系數(shù)和為C.展開式中第5項為 D.展開式中不含常數(shù)項【答案】BCD【解析】A選項：?。?，A錯，B選項：展開式二項式系數(shù)和為，B對，C選項：由，則時即為第5項為，C對，D選項：由C選項可知恒成立，D對，故選：BCD.10.已知是夾角為的單位向量，，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為【答案】ACD【解析】對于選項A，是夾角為的單位向量，則，故，故選項A正確；對于選項B，，故選項B錯誤；對于選項C，，所以，又，所以，故選項C正確；對于選項D，在上的投影向量為，故選項D正確.故選：ACD11.下列說法中正確的是（）A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23D.若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為32【答案】AB【解析】A選項，個體m被抽到的概率為，A正確；B選項，已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則，解得，，則這組數(shù)據(jù)的方差是，B正確；C選項，數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數(shù)，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是23.5，C錯誤；D選項，若樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則的方差為64，設(shè)的平均數(shù)為，則，，又，故，則的標(biāo)準(zhǔn)差為，D錯誤．故選：AB12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由拋物線得，設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，選項A：，故A正確；選項B：因為，所以，故B錯誤；由拋物線得準(zhǔn)線為，則，因為過點(diǎn)P的直線與拋物線交于點(diǎn)A，B，所以直線斜率存在且不為零，故設(shè)直線，聯(lián)立，消去x可得，則，故，，選項C：，故C正確；選項D：，又，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題13.函數(shù)的最小正周期為_______．【答案】【解析】由，得函數(shù)的最小正周期為.14.有甲、乙、丙三項任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)；現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項任務(wù)，則共有___________種不同的選法【答案】【解析】第一步，先從6人中任選2人承擔(dān)任務(wù)甲，有種選法，第二步，再從剩余4人中任選1人承擔(dān)任務(wù)乙，有種選法，第三步，再從3人中任選1人承擔(dān)任務(wù)丙，有種選法，所以共有種選法.故答案為:.15.已知是橢圓的左，右焦點(diǎn)，上兩點(diǎn)滿足，則的離心率為_________．【答案】【解析】如圖，因，所以可設(shè)，又，所以，由橢圓定義，，即，又，即B點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案為：16.已知函數(shù)且，若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】首先注意到，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，顯然滿足題設(shè)；當(dāng)時，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，故存在唯一零點(diǎn)，若只有一個零點(diǎn)，此時也必極值點(diǎn)，又此時，則只需，，，因為解得；綜上所述，則實(shí)數(shù)的取值范用為．故答案為：四、解答題17.記的內(nèi)角的A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，，求的面積.解：（1）法一：因為，所以，整理得，所以，又因為，所以；法二：因，所以，由正弦定理得，整理得，因為，所以，又因為，所以；（2）因為，，，所以，即，解得，所以的面積.18.如圖，三棱錐中，平面，，.（1）求證：平面；（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面，平面，所以，又，，所以，在中，因為，所以，所以，因為平面，平面，所以，又因為平面，所以平面；（2）解：（方法一）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，，∴，即與平面所成角的余弦值為．（方法二）過點(diǎn)作，垂足為，連接，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，則為與平面所成角的平面角，在中，，在中，，∴在中，，故，即與平面所成角的余弦值為.19.已知數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)m，n都有（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）由對任意整數(shù)均有，取，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，符合上式，所以.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，若，則，且當(dāng)時，滿足.綜上所述：.20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)，．當(dāng)時，的面積為5．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，且，，求證：為定值．（1）解：當(dāng)時，，，可得．由雙曲線的定義可知，，兩邊同時平方可得，，所以．①又雙曲線的離心率為，所以．②由①②可得，，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：當(dāng)直線與軸垂直時，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，此時，，，所以，，．當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，，由題意知且，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去得，，則，，．易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由，可得，所以，同理可得．所以．綜上，為定值．21.某工廠采購了一批新的生產(chǎn)設(shè)備．經(jīng)統(tǒng)計，設(shè)備正常狀態(tài)下，生產(chǎn)的產(chǎn)品正品率為0.98．為監(jiān)控設(shè)備生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，并檢測質(zhì)量．規(guī)定：抽檢的10件產(chǎn)品中，若至少出現(xiàn)2件次品，則認(rèn)為設(shè)備生產(chǎn)過程出現(xiàn)