2024屆江西省九師聯(lián)盟高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測試考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省九師聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.2.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故選：B3.如圖是正方體的表面展開圖，在原正方體中，直線AB與CD所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將正方體的表面展開圖還原為正方體，與在正方體中的位置如圖所示，由于平面平面，故，又，且平面，故AB⊥平面，平面，所以，故直線與所成角的大小為.故選：D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，所以.故選：C.5.下表統(tǒng)計了2017年～2022年我國的新生兒數(shù)量（單位：萬人）.年份201720182019202020212022年份代碼x123456新生兒數(shù)量y17231523146512001062956經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)新生兒數(shù)量與年份代碼之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，據(jù)此預(yù)測2023年新生兒數(shù)量約為（）（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：）A.773.2萬 B.791.1萬 C.800.2萬 D.821.1萬【答案】A【解析】由題意得，，所以，，當(dāng)時，.故選：A.6.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.，互斥 B. C. D.【答案】C【解析】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選：C.7.阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.8.若集合中僅有2個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原不等式等價于，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，f'x<0，單調(diào)遞減又，時，，因此y=fx與y=g當(dāng)時，顯然不滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，或由第一個不等式組，得，即，由第二個不等式組，得，該不等式組無解.綜上所述，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.過拋物線（）的焦點作直線，交拋物線于兩點，若，則直線的傾斜角可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】當(dāng)?shù)膬A斜角為銳角時，如圖所示，由拋物線（）的焦點為，準(zhǔn)線方程為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線交準(zhǔn)線于，作，垂足為，則，，，所以，，所以，則，所以直線的傾斜角；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，如圖所示，由拋物線（）的焦點為，準(zhǔn)線方程為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線交準(zhǔn)線于，作，垂足為，則，，，所以，，所以，則，則的傾斜角為.故選：BC.10.已知函數(shù)，若的圖象過，，三點，其中點B為函數(shù)圖象的最高點（如圖所示），將圖象上的每個點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】由題意得，得，又，則，所以.由，得，由圖知在0,m上單調(diào)遞增，所以，，解得.又，只可能，所以，所以，根據(jù)已知圖象平移可得，故A錯誤，B正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；令，，解得，，令，得，故上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，正方體的棱長為2，點E是AB的中點，點P為側(cè)面內(nèi)（含邊界）一點，則（）A.若平面，則點P與點B重合B.以D為球心，為半徑的球面與截面的交線的長度為C.若P為棱BC中點，則平面截正方體所得截面的面積為D.若P到直線的距離與到平面的距離相等，則點P的軌跡為一段圓弧【答案】ABC【解析】正方體中，平面，平面，，正方形中，，平面，，則平面，平面，，同理，，平面，，平面，若點P不與B重合，因為平面，則，與矛盾，故當(dāng)平面時，點P與B重合，故A正確；，，三棱錐為正三棱錐，故頂點D在底面的射影為的中心H，連接DH，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與截面的交線是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示，，所以.，所以，同理，其余兩弦所對圓心角也等于，所以球面與截面的交線的長度為，故B正確；對于C，過E，P的直線分別交DA、DC的延長線于點G，M，連接、，分別交側(cè)棱于點N，交側(cè)棱于點H，連接EH和NP，如圖所示：則截面為五邊形，，，，，，，故，所以，，所以五邊形的面積，故C正確；因為平面，平面，所以，點P到直線的距離即點P到點的距離，因為平面平面，故點P到平面的距離為點P到的距離，由題意知點P到點的距離等于點P到的距離，故點P的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面內(nèi)的部分，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令，得，故常數(shù)項為．故答案為：.13.已知A為圓C：上的動點，B為圓E：上的動點，P為直線上的動點，則的最大值為______________.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故，則圓關(guān)于對稱的圓的方程為，要使的值最大，則（其中為關(guān)于直線的對稱圓上的點）三點共線，且該直線過兩點，如圖，其最大值為.故答案為：.14.在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，，，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令，則數(shù)列an的通項公式為______.【答案】【解析】因為，所以，所以，又，所以，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.面試是求職者進(jìn)入職場的一個重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.（1）若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.解：（1）因為服從正態(tài)分布，所以，，，所以.進(jìn)入面試的人數(shù)，.因此，進(jìn)入面試的人數(shù)大約為16.（2）由題意可知，的可能取值為0，2，4，6，8，10，則；；；；；.所以.16.如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.（1）求的值；（2）若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（1）由題意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.17.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，窟蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍的字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個“芻甍”如圖所示，四邊形為矩形，四邊形、為兩個全等的等腰梯形，，，，P是線段AD上一點.（1）若點P是線段AD上靠近點A的三等分點，Q為線段CF上一點，且，證明：平面；（2）若E到平面的距離為，與平面所成角的正弦值為，求AP的長.證明：（1）連接交于點，連接，因為，且，所以，因為，所以，所以，所以，因平面，平面，所以平面；解：（2）分別取的中點，連接，則，且，因為四邊形與四邊形為全等的等腰梯形，所以，四邊形為等腰梯形，且，，，，又，所以，因為平面，且為兩條相交直線，所以平面，平面，所以平面平面.平面平面,過在平面內(nèi)作的垂線，垂足為，則平面，，.過作，易得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，設(shè)（），所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得，，所以，設(shè)PF與平面所成角的大小為，則，解得，且滿足題意，所以，或.18.已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，右頂點為A，且，離心率為.（1）求C的方程；（2）已知點，M，N曲線C上兩點（點M，N不同于點A），直線分別交直線于P，Q兩點，若，證明：直線過定點.解：（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意得，解得，故C的方程為.證明：（2）由題意可知直線的斜率不為0，否則將位于x軸同側(cè)，，不合題意；設(shè)的方程為（），代入，得，由，得，設(shè)Mx1,y1，N所以，，直線AM的方程為，令，得，故，同理可求，所以，，由，得，即，所以，所以，解得，（舍），所以直線MN的方程為，故直線MN過定點.19.已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）若有2個零點，求a的取值范圍.解：（1）的定義域為0,+∞.當(dāng)時，，.令（），則，所以在上0,+∞單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)x∈0,1時，gx<0，當(dāng)x∈1,+∞時，gx所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以.（2）由題意知（）.①當(dāng)時，f'x>0在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞②當(dāng)時，令，則在0,+∞上恒成立，所以hx在0,+因為，，所以存在唯一，使得，所以.當(dāng)x∈0,x0時，hx<0，；當(dāng)x∈x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（a）當(dāng)時，由（1）知，即時，，且，只有一個零點1，不合題意；（b）當(dāng)時，因為，則，又在上單調(diào)遞減，所以，而，令，則.當(dāng)時，φ'x>0，φx在1,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時，φ'x所以；當(dāng)時，，即.又，所以，所以，由的單調(diào)性及零點存在定理，知在上有且僅有一個零點.又在上有且僅有一個零點1，所以，當(dāng)時，存在兩個零點；（c）當(dāng)時，由，得，又在上單調(diào)遞增，所以.取，則，所以.當(dāng)x∈0,1時，，所以，所以，所以.又因為，，由的單調(diào)性及零點存在定理，知在上有且有一個零點，又1為在內(nèi)的唯一零點，所以當(dāng)時，存在兩個零點.綜上可知，a的取值范圍是.江西省九師聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期1月質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.2.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故選：B3.如圖是正方體的表面展開圖，在原正方體中，直線AB與CD所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將正方體的表面展開圖還原為正方體，與在正方體中的位置如圖所示，由于平面平面，故，又，且平面，故AB⊥平面，平面，所以，故直線與所成角的大小為.故選：D.4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，所以，所以.故選：C.5.下表統(tǒng)計了2017年～2022年我國的新生兒數(shù)量（單位：萬人）.年份201720182019202020212022年份代碼x123456新生兒數(shù)量y17231523146512001062956經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)新生兒數(shù)量與年份代碼之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，據(jù)此預(yù)測2023年新生兒數(shù)量約為（）（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：）A.773.2萬 B.791.1萬 C.800.2萬 D.821.1萬【答案】A【解析】由題意得，，所以，，當(dāng)時，.故選：A.6.甲箱中有2個白球和4個黑球，乙箱中有4個白球和2個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，以，分別表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示從乙箱中取出的是白球，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.，互斥 B. C. D.【答案】C【解析】因為每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正確；由題意得，，，，，故B，D均正確；因為，故C錯誤.故選：C.7.阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，通過雙曲線的反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過其另一個焦點.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線C的右支上一點E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，，，由題意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故選：B.8.若集合中僅有2個整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原不等式等價于，設(shè)，，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，f'x<0，單調(diào)遞減又，時，，因此y=fx與y=g當(dāng)時，顯然不滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，或由第一個不等式組，得，即，由第二個不等式組，得，該不等式組無解.綜上所述，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.過拋物線（）的焦點作直線，交拋物線于兩點，若，則直線的傾斜角可能為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】當(dāng)?shù)膬A斜角為銳角時，如圖所示，由拋物線（）的焦點為，準(zhǔn)線方程為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線交準(zhǔn)線于，作，垂足為，則，，，所以，，所以，則，所以直線的傾斜角；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時，如圖所示，由拋物線（）的焦點為，準(zhǔn)線方程為，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線交準(zhǔn)線于，作，垂足為，則，，，所以，，所以，則，則的傾斜角為.故選：BC.10.已知函數(shù)，若的圖象過，，三點，其中點B為函數(shù)圖象的最高點（如圖所示），將圖象上的每個點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蛴移揭苽€單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】由題意得，得，又，則，所以.由，得，由圖知在0,m上單調(diào)遞增，所以，，解得.又，只可能，所以，所以，根據(jù)已知圖象平移可得，故A錯誤，B正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；令，，解得，，令，得，故上不單調(diào)，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，正方體的棱長為2，點E是AB的中點，點P為側(cè)面內(nèi)（含邊界）一點，則（）A.若平面，則點P與點B重合B.以D為球心，為半徑的球面與截面的交線的長度為C.若P為棱BC中點，則平面截正方體所得截面的面積為D.若P到直線的距離與到平面的距離相等，則點P的軌跡為一段圓弧【答案】ABC【解析】正方體中，平面，平面，，正方形中，，平面，，則平面，平面，，同理，，平面，，平面，若點P不與B重合，因為平面，則，與矛盾，故當(dāng)平面時，點P與B重合，故A正確；，，三棱錐為正三棱錐，故頂點D在底面的射影為的中心H，連接DH，由，得，所以，因為球的半徑為，所以截面圓的半徑，所以球面與截面的交線是以H為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部部分，如圖所示，，所以.，所以，同理，其余兩弦所對圓心角也等于，所以球面與截面的交線的長度為，故B正確；對于C，過E，P的直線分別交DA、DC的延長線于點G，M，連接、，分別交側(cè)棱于點N，交側(cè)棱于點H，連接EH和NP，如圖所示：則截面為五邊形，，，，，，，故，所以，，所以五邊形的面積，故C正確；因為平面，平面，所以，點P到直線的距離即點P到點的距離，因為平面平面，故點P到平面的距離為點P到的距離，由題意知點P到點的距離等于點P到的距離，故點P的軌跡是以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線在側(cè)面內(nèi)的部分，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的常數(shù)項為__________．（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】的展開式的通項公式為，令，得，故常數(shù)項為．故答案為：.13.已知A為圓C：上的動點，B為圓E：上的動點，P為直線上的動點，則的最大值為______________.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，故，則圓關(guān)于對稱的圓的方程為，要使的值最大，則（其中為關(guān)于直線的對稱圓上的點）三點共線，且該直線過兩點，如圖，其最大值為.故答案為：.14.在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，，，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令，則數(shù)列an的通項公式為______.【答案】【解析】因為，所以，所以，又，所以，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.面試是求職者進(jìn)入職場的一個重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個問題，第一題考查對公司的了解，答對得2分，答錯不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識，每道題答對得4分，答錯不得分.（1）若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題是否答對互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.附：若（），則，，.解：（1）因為服從正態(tài)分布，所以，，，所以.進(jìn)入面試的人數(shù)，.因此，進(jìn)入面試的人數(shù)大約為16.（2）由題意可知，的可能取值為0，2，4，6，8，10，則；；；；；.所以.16.如圖，在△ABC中，AB=BC=2，D為△ABC外一點，AD=2CD=4，記∠BAD=α，∠BCD=β.（1）求的值；（2）若△ABD的面積為，△BCD的面積為，求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（1）由題意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為.17.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，窟蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍的字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個“芻甍”如圖所示，四邊形為矩形，四邊形、為兩個全等的等腰梯形，，，，P是線段AD上一點.（1）若點P是線段AD上靠近點A的三等分點，Q為線段CF上一點，且，證明：平面；（2）若E到平面的距離為，與平面所成角的正弦值為，求AP的長.證明：（1）連接交于點，連接，因為，且，所以，因為，所以，所以，所以，因平面，平面，所以平面；解：（2）分別取的中點，連接，則，且，因為四邊形與四邊形為全等的等腰梯形，所以，四邊形為等腰梯形，且，，，，又，所以，因