2024屆云南省楚雄彝族自治州高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省楚雄彝族自治州2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：D.2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，因?yàn)椋?故選：D3.若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)球O的半徑為R，則，所以球O的表面積為.故選：B4.某校有甲、乙、丙、丁四個(gè)排球隊(duì)，在某次排球比賽的初賽中，甲隊(duì)對(duì)戰(zhàn)丙隊(duì)，乙隊(duì)對(duì)戰(zhàn)丁隊(duì)，甲隊(duì)每局戰(zhàn)勝丙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)每局戰(zhàn)勝丁隊(duì)的概率為0.45.在初賽中，甲隊(duì)和丙隊(duì)對(duì)戰(zhàn)一局，乙隊(duì)和丁隊(duì)對(duì)戰(zhàn)一局，則甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88【答案】C【解析】“甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝”的對(duì)立事件為“甲隊(duì)、乙隊(duì)都失敗”，故甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝的概率是.故選：C5.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開(kāi)始，每排的座位比前一排多2個(gè)，已知第一排有6個(gè)座位，且該階梯大教室共有266個(gè)座位，則該階梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排【答案】C【解析】階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為6，公差為2.設(shè)該階梯大教室共有n排，則，解得故選：C6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得.因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則，由已知可得或.綜上，不等式的解集為.故選：D7.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由，得的整數(shù)部分為2，則，所以，即，所以.故選：A8.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A. B.a與b可能相等C. D.的最小值為【答案】BD【解析】由正數(shù)a，b滿足，得，A錯(cuò)誤；若，則，而a為正數(shù)，則，B正確；顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD10.已知橢圓：，則（）A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B.當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)在軸上C.的焦距可能為4 D.的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方和為定值【答案】BCD【解析】若，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為：，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，則的焦點(diǎn)在軸上，B正確.當(dāng)時(shí)，的焦距為4，C正確.因?yàn)?，所以，D正確.故選：BCD11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長(zhǎng)的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，翻折前，故的周長(zhǎng)的最小值為，D正確．故選：BCD12.定義在上的函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)A：因?yàn)?，所以直線與的圖像恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，A正確.對(duì)B：因?yàn)椋灾本€與的圖像只有2個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤.對(duì)C：由圖像可知有3個(gè)零點(diǎn)，則，，，數(shù)形結(jié)合可知無(wú)解，有2個(gè)不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，C正確.對(duì)D：由圖可知直線與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，數(shù)形結(jié)合可知無(wú)解，有2個(gè)不相等的實(shí)根，有2個(gè)不相等的實(shí)根，有4個(gè)不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故答案為：14.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為_(kāi)_____.【答案】2.7【解析】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為2.7.故答案為：2.7.15.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______，______.【答案】；5【解析】圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，故，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得，，設(shè),，.，由韋達(dá)定理可知，，，．故答案為：；5．16.若函數(shù)在上的最小值大于，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，又，所以，則解得.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，.（1）求，；（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.解：（1），（2）因?yàn)椋?，所以，，…，，將以上各式相加?因?yàn)?，所以，又也滿足，所以，所以，所以是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為2.18.設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因?yàn)椋?，所以，由正弦定理?又，所以.因?yàn)?，所?又，所以.（2）由，得，所以，所以點(diǎn)D在邊上，且，因?yàn)?，所以?在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根已舍去）.19.某冰雪樂(lè)園計(jì)劃推出冰雪優(yōu)惠活動(dòng)，發(fā)放冰雪消費(fèi)券.每位顧客從一個(gè)裝有6個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲得的消費(fèi)券的總額.（1）若袋中所裝的6個(gè)球中1個(gè)球所標(biāo)的面值為30元，2個(gè)球所標(biāo)的面值為20元，3個(gè)球所標(biāo)的面值為10元，求每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率；（2）若冰雪優(yōu)惠活動(dòng)有兩種方案，方案甲中6個(gè)球?qū)?yīng)的面值與（1）中一致，方案乙中6個(gè)球?qū)?yīng)的面值分別為25，25，25，15，5，5，比較這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望的大小.解：（1）顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率為.（2）對(duì)于方案甲，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為X，則X的可能取值為20，30，40，50，則，，，，則.對(duì)于方案乙，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為Y，則Y的可能取值為10，20，30，40，50，則，，，，，則.因?yàn)?，所以這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望相等.20.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是的中點(diǎn)，且，，.（1）證明：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得平面與平面的夾角的余弦值為？如果存在，求的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.證明:（1）由，，，得，所以，又底面是正方形，所以，因?yàn)?，面，所以平面，又平面，所以平面平面；解：?）過(guò)點(diǎn)A在平面內(nèi)作的垂線，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以這條垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)，因?yàn)?，所以，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，，，.設(shè)平面的法向量是，由，即，令，得.設(shè)平面法向量是，由，即，令，得.所以，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即.21.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，且，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）若，是C上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，直線的斜率為k，且，求.解：（1）設(shè)，則，.由，可得，整理得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以C的方程為或.（2）因?yàn)锳在第一象限，所以.設(shè)B在曲線上，則直線的方程為，即，代入，得.由韋達(dá)定理得，則，.因?yàn)?，所以，解得?.當(dāng)時(shí)，B與A重合，不符合題意，所以，.設(shè)B在曲線上，，因，所以，解得（正根已舍去）.綜上，或.22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)，時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在處取得極大值，求a的取值范圍.證明：（1）當(dāng)，時(shí)，令函數(shù)，則.令函數(shù)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，恒成立.解：（2）當(dāng)時(shí)，，，，且，為偶函數(shù).令，，則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，因此在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在處取得極大值，符合題意.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，這與在處取得極大值矛盾，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是.云南省楚雄彝族自治州2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，又，所以，故選：D.2.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，因?yàn)?，所?故選：D3.若平面截球O所得截面圓的半徑為3，且球心O到平面的距離為2，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)球O的半徑為R，則，所以球O的表面積為.故選：B4.某校有甲、乙、丙、丁四個(gè)排球隊(duì)，在某次排球比賽的初賽中，甲隊(duì)對(duì)戰(zhàn)丙隊(duì)，乙隊(duì)對(duì)戰(zhàn)丁隊(duì)，甲隊(duì)每局戰(zhàn)勝丙隊(duì)的概率為0.6，乙隊(duì)每局戰(zhàn)勝丁隊(duì)的概率為0.45.在初賽中，甲隊(duì)和丙隊(duì)對(duì)戰(zhàn)一局，乙隊(duì)和丁隊(duì)對(duì)戰(zhàn)一局，則甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88【答案】C【解析】“甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝”的對(duì)立事件為“甲隊(duì)、乙隊(duì)都失敗”，故甲隊(duì)、乙隊(duì)至少有一隊(duì)獲勝的概率是.故選：C5.某階梯大教室的座位數(shù)從第二排開(kāi)始，每排的座位比前一排多2個(gè)，已知第一排有6個(gè)座位，且該階梯大教室共有266個(gè)座位，則該階梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排【答案】C【解析】階梯大教室的座位數(shù)按照從小到大的順序依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為6，公差為2.設(shè)該階梯大教室共有n排，則，解得故選：C6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則，且，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則可得.因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，則，由已知可得或.綜上，不等式的解集為.故選：D7.設(shè)的小數(shù)部分為x，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由，得的整數(shù)部分為2，則，所以，即，所以.故選：A8.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，且，所以，設(shè)，則，所以的離心率．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正數(shù)a，b滿足，則（）A. B.a與b可能相等C. D.的最小值為【答案】BD【解析】由正數(shù)a，b滿足，得，A錯(cuò)誤；若，則，而a為正數(shù)，則，B正確；顯然，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD10.已知橢圓：，則（）A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B.當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)在軸上C.的焦距可能為4 D.的短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方和為定值【答案】BCD【解析】若，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為：，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，則的焦點(diǎn)在軸上，B正確.當(dāng)時(shí)，的焦距為4，C正確.因?yàn)?，所以，D正確.故選：BCD11.在正四棱柱中，分別是的中點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.若為的中點(diǎn)，則 B.若為的中點(diǎn)，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長(zhǎng)的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．若為的中點(diǎn)，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)，翻折前，故的周長(zhǎng)的最小值為，D正確．故選：BCD12.定義在上的函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【解析】對(duì)A：因?yàn)?，所以直線與的圖像恰有4個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，A正確.對(duì)B：因?yàn)椋灾本€與的圖像只有2個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤.對(duì)C：由圖像可知有3個(gè)零點(diǎn)，則，，，數(shù)形結(jié)合可知無(wú)解，有2個(gè)不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，C正確.對(duì)D：由圖可知直線與的圖像有4個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，，，數(shù)形結(jié)合可知無(wú)解，有2個(gè)不相等的實(shí)根，有2個(gè)不相等的實(shí)根，有4個(gè)不相等的實(shí)根，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故答案為：14.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為_(kāi)_____.【答案】2.7【解析】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為2.7.故答案為：2.7.15.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______，______.【答案】；5【解析】圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，故，聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理可得，，設(shè),，.，由韋達(dá)定理可知，，，．故答案為：；5．16.若函數(shù)在上的最小值大于，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，則解得.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，.（1）求，；（2）求，并判斷是否為等比數(shù)列.解：（1），（2）因?yàn)?，所以，所以，，…，，將以上各式相加?因?yàn)?，所以，又也滿足，所以，所以，所以是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為2.18.設(shè)a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因?yàn)椋?，所以，由正弦定理?又，所以.因?yàn)?，所?又，所以.（2）由，得，所以，所以點(diǎn)D在邊上，且，因?yàn)?，所以?在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)根已舍去）.19.某冰雪樂(lè)園計(jì)劃推出冰雪優(yōu)惠活動(dòng)，發(fā)放冰雪消費(fèi)券.每位顧客從一個(gè)裝有6個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲得的消費(fèi)券的總額.（1）若袋中所裝的6個(gè)球中1個(gè)球所標(biāo)的面值為30元，2個(gè)球所標(biāo)的面值為20元，3個(gè)球所標(biāo)的面值為10元，求每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率；（2）若冰雪優(yōu)惠活動(dòng)有兩種方案，方案甲中6個(gè)球?qū)?yīng)的面值與（1）中一致，方案乙中6個(gè)球?qū)?yīng)的面值分別為25，25，25，15，5，5，比較這兩種方案每位顧客所獲得的消費(fèi)券的總額的期望的大小.解：（1）顧客所獲得的消費(fèi)券的總額為40元的概率為.（2）對(duì)于方案甲，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為X，則X的可能取值為20，30，40，50，則，，，，則.對(duì)于方案乙，設(shè)每位顧客所獲的消費(fèi)券總額為Y，則Y的可能取值為10，20，30，40，50，則，，，，，則.因?yàn)?，所以這兩種方案