2025屆安徽省頂尖名校教育高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省頂尖名校教育2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，，即故選：.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，故，故選：A.3.已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】，則，則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，則，，即，所以，因?yàn)?，所以，，由，可得，即，符合題意，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，解得，即，所以則a的取值范圍為，故選：.6.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由題意可知，，，，，，，.故選：B.7.在四棱錐中，底面為正方形，，，平面平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.當(dāng)平面平面時(shí)，C.，分別為，的中點(diǎn)，則平面D.四棱錐外接球半徑的最小值為【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即可得，故A正確；對(duì)于B，若平面平面，則兩平面所成二面角為，設(shè)兩平面交線為，由，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，即就是平面與平面所成的二面角的平面角，則，所以在中，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取中點(diǎn)為，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以可得平面，又由，同理可得平面，又因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)四棱錐外接球的球心為，在平面、平面的射影分別為、，且可知、分別為三角形和四邊形的外接圓圓心，由已知條件可知四邊形為矩形，為外接球半徑，，所以，僅當(dāng)、重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，故D正確.故選：B.8.函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，，則，可得，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，所以當(dāng)，可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；因，，且，，故C錯(cuò)誤；，，令，，時(shí)，取得最小值8，所以，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，，恒成立，則（）A.是偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.可以取D.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【答案】ABC【解析】對(duì)于A，可知為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，又對(duì)有，，故，∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，故對(duì)于C，故，令，化為，，故，解得，故，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，由圖可知，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.如圖，三棱臺(tái)中，是上一點(diǎn)，平面，，則（）A.過(guò)點(diǎn)有四條直線與所成角均為B.平面C.棱上存在點(diǎn)，使平面//平面D.若點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且與平面所成角的正切值為4，則長(zhǎng)度的最小值為【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，由異面直線所成角的定義考察過(guò)點(diǎn)的直線，如圖，直線是的平分線，即，在過(guò)直線且與平面垂直的平面內(nèi)．把直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持該直線與的夾角相等，旋轉(zhuǎn)到與平面垂直位置時(shí)，直線與的夾角為，因此中間必有一個(gè)位置，使得夾角為，以為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，同樣點(diǎn)（如圖，點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上）向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，共四個(gè)位置得四條直線，由于夾角為，這四條直線不重合，再過(guò)作這四條直線的平行線，滿足題意，故A正確，選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因此是直角梯形，，則，但，因此與不垂直，從而與平面不垂直，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，如下圖，由，得，又，即得，所以，又平面，平面，所以平面，過(guò)作交于點(diǎn)，（是平行四邊形，，點(diǎn)在線段上），同理可得平面，又是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面//平面，C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，過(guò)作，垂足為，由面面垂直性質(zhì)定理得平面，在直角梯形中，，所以在直角中，，，與平面所成角的正切值為4，即，所以，因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)圓弧，的最小值為，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則______.【答案】－7【解析】因?yàn)?，，所以?13.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，比如，，，已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則使成立的最大整數(shù)為_(kāi)_______.【答案】63【解析】，，，，即，，時(shí)，；時(shí)，故的最大值為63.14.某同學(xué)在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出曲線，曲線，曲線，作出直線，.直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在的上方，測(cè)得；直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在上方，測(cè)得.則______.【答案】【解析】，.則由，得，令，，，則，又∵，∴，∴，同理，，又∵，∴，則.∴.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.解：（1），故或，當(dāng)時(shí)，不合題意，故；（2），即，，，，故，，故.16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間上的圖象上的點(diǎn)，求的最小值.解：（1）由題可知在上，，而，所以，即在上，；（2）設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，解得，故的最小值為.17.如圖，三棱錐中，底面，且，，為的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）證明：；（2）若的中點(diǎn)為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，因?yàn)椋?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：根據(jù)題意可知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)且平行于的直線為軸，，所在的直線分別為軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，可得A0,0,0，，，，，則，，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)?，可得，所以，所以，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則令，可得，，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則令，可得，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，可得，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù).（1）解不等式；（2）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：.（1）解：，故為上的增函數(shù)，由題可知，，即，解集為.（2）解：，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，不符合題意；時(shí)，時(shí)，，時(shí)，.又時(shí)，；時(shí)，.有兩個(gè)零點(diǎn)，故，解得；（3）證明：由（2）知：，且，，由（1）知時(shí)，，，，故，，化為①，同理：，，可化為②，②+①得：化簡(jiǎn)得：.19.定義數(shù)列為“階梯數(shù)列”：．（1）求“階梯數(shù)列”中，與的遞推關(guān)系；（2）證明：對(duì)，數(shù)列為遞減數(shù)列；（3）證明：．（1）解：由階梯數(shù)列的形式結(jié)構(gòu)可知.（2）證明：由，，所以，，∴，同理，累乘得，即，由，，∴故對(duì)為遞減數(shù)列.（3）證明：，，又對(duì)，由（2）知，故，又，，所以，故對(duì)，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，綜上，．安徽省頂尖名校教育2025屆高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由已知得，，即故選：.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，故選：A.3.已知曲線，在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a的值為（）A.1 B. C.3 D.【答案】C【解析】，則，則，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，解得.故選：C4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，則，，即，所以，因?yàn)?，所以，，由，可得，即，符合題意，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在0,+∞上單調(diào)遞減，所以，解得，即，所以則a的取值范圍為，故選：.6.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a，b，c，，為其外心.若外接圓半徑為，且，則的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】由題意可知，，，，，，，.故選：B.7.在四棱錐中，底面為正方形，，，平面平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.當(dāng)平面平面時(shí)，C.，分別為，的中點(diǎn)，則平面D.四棱錐外接球半徑的最小值為【答案】B【解析】對(duì)于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，即可得，故A正確；對(duì)于B，若平面平面，則兩平面所成二面角為，設(shè)兩平面交線為，由，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，即就是平面與平面所成的二面角的平面角，則，所以在中，，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，取中點(diǎn)為，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以可得平面，又由，同理可得平面，又因?yàn)椋矫?，所以平面平面，又因平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)四棱錐外接球的球心為，在平面、平面的射影分別為、，且可知、分別為三角形和四邊形的外接圓圓心，由已知條件可知四邊形為矩形，為外接球半徑，，所以，僅當(dāng)、重合時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，故D正確.故選：B.8.函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線.在數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可得：，，則，可得，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，且，所以當(dāng)，可得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】，故A正確；，故B錯(cuò)誤；因，，且，，故C錯(cuò)誤；，，令，，時(shí)，取得最小值8，所以，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，，恒成立，則（）A.是偶函數(shù)B.在上單調(diào)遞增C.可以取D.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【答案】ABC【解析】對(duì)于A，可知為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，又對(duì)有，，故，∴fx在0,+∞上單調(diào)遞增，故對(duì)于C，故，令，化為，，故，解得，故，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，由圖可知，，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.如圖，三棱臺(tái)中，是上一點(diǎn)，平面，，則（）A.過(guò)點(diǎn)有四條直線與所成角均為B.平面C.棱上存在點(diǎn)，使平面//平面D.若點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且與平面所成角的正切值為4，則長(zhǎng)度的最小值為【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，由異面直線所成角的定義考察過(guò)點(diǎn)的直線，如圖，直線是的平分線，即，在過(guò)直線且與平面垂直的平面內(nèi)．把直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中始終保持該直線與的夾角相等，旋轉(zhuǎn)到與平面垂直位置時(shí)，直線與的夾角為，因此中間必有一個(gè)位置，使得夾角為，以為旋轉(zhuǎn)中心，點(diǎn)向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，同樣點(diǎn)（如圖，點(diǎn)在的反向延長(zhǎng)線上）向上移有一個(gè)位置，向下移也有一個(gè)位置，共四個(gè)位置得四條直線，由于夾角為，這四條直線不重合，再過(guò)作這四條直線的平行線，滿足題意，故A正確，選項(xiàng)B，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因此是直角梯形，，則，但，因此與不垂直，從而與平面不垂直，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，如下圖，由，得，又，即得，所以，又平面，平面，所以平面，過(guò)作交于點(diǎn)，（是平行四邊形，，點(diǎn)在線段上），同理可得平面，又是平面內(nèi)兩相交直線，所以平面//平面，C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以平面平面，過(guò)作，垂足為，由面面垂直性質(zhì)定理得平面，在直角梯形中，，所以在直角中，，，與平面所成角的正切值為4，即，所以，因此點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)圓弧，的最小值為，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，若，則______.【答案】－7【解析】因?yàn)椋?，所以?13.表示不超過(guò)的最大整數(shù)，比如，，，已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則使成立的最大整數(shù)為_(kāi)_______.【答案】63【解析】，，，，即，，時(shí)，；時(shí)，故的最大值為63.14.某同學(xué)在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出曲線，曲線，曲線，作出直線，.直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在的上方，測(cè)得；直線交曲線、于、兩點(diǎn)，且在上方，測(cè)得.則______.【答案】【解析】，.則由，得，令，，，則，又∵，∴，∴，同理，，又∵，∴，則.∴.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.記內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.解：（1），故或，當(dāng)時(shí)，不合題意，故；（2），即，，，，故，，故.16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間上的圖象上的點(diǎn)，求的最小值.解：（1）由題可知在上，，而，所以，即在上，；（2）設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，解得，故的最小值為.17.如圖，三棱錐中，底面，且，，為的中點(diǎn)，在線段上，且.（1）證明：；（2）若的中點(diǎn)為，求平