三角形大題100道含答案

三角形大題100道

考試必勝

未命名

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第I卷(選擇題)

請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明

第II卷(非選擇題)

請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明

一、解答題

1.在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為叫b,c,且18。的面積為

—(b2+c2-a2).

⑴求A的值；

(2)若cos8=今=c=6,求6.

2.已知△ABC的角A,B,C對邊分別為a,b,c,且bcosA+〃cosB=0(3cosA-l).

⑴求cosA；

(2)若麗.衣=-10,求△ABCf勺面積S的值.

3.在“18。中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知.芋A二二產(chǎn).

sinB-sinCb-a

(1)求角C的大小；

(2)若cosA=乎，求sin(2A-C)的值.

4.在中，角A,從C的對邊分別為mb,c,已知5為銳角，且

[a2+c2-Z>2)tanB=Sac.

(1)求B；

⑵若AABC的面積為26,〃+c=?，求外接圓的半徑.

5.在△A4C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mh,c,且

GsinC+cosC=sin8+sinC

sinA

⑴求角A;

(2)若AABC是銳角三角形，旦c=4,求。的取值范圍.

6.在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos8=f.

3c

(1)證明：tan5=2tanC；

(2)若8=1,求△ABC面積的最大值.

7.在“1BC中，點(diǎn)。在A8上，C。平分ZAC8,已知DB=2,DC=3,NBQC=60。

⑴求BC的長;

(2)求sinA的值.

8.AABC的內(nèi)角A、5、C的對邊分別為“、b、c,若6+4€osA(acosC+ccosA)=0.

⑴求8sA的值；

-----------3

(2)若a=4,ABAC=~.求“ABC的周長.

9.在ZiABC中，2ccosA=2Z?-a,tan+tanC+1=tanAtanC.

⑴求8的大??；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使AABC存在且唯一確定，并求出A8的長.

①辰二岳：②48截得角C的角平分線的線段C。長為1；③面積為%18c=等.

10.設(shè)“IBC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,力=〃tanB,且A為鈍角.

JT

(1)證明：A-B=-；

⑵求sin3+sinC的取值范圍.

11.已知。=(sinx,sinx),力=(sinx,-Vicosx),f(x)=ab

⑴求人r)的單調(diào)遞增區(qū)間；

3

(2)AA8C中，角A,B,C所對的邊為a,b,c.若f(A)=/,a=4,求AABC周長

的取值范圍.

cin/?resR

12.己知△45C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為"，b,J已知華+筆=上.

sinAcosAa

⑴求A；

⑵若。=2,。為BC的中點(diǎn)，A￡)2=4B.AC,求AMC的面積.

13.記IBC的內(nèi)角AaC的對邊分別為〃力,％B=y,且

(sinA+sinB)sinC+cos2C=1

⑴求證5a=3c；

(2)若“18。的面積為156，求J

4

14.AABC內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cosC=g,

sinA+sinC=2sinB.

⑴求J

(2)求cos3的值.

15.在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c且

cos2C—cos2A=y/3sinAsinB—sin2B.

(I)求C的大?。?/p>

⑵若c=l,求從-您的取值范圍.

16.在△ABC中，角4,在。所走的邊分別為仇c,已知ccosA+(a+2Z?)cosC=0.

⑴求NC的大??；

(2)AA8C的面積等于46，。為3c邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線A。長最短時(shí)，求48邊長.

17.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是叫b,c,已知

(q+Z?)(a_/?)=(a_c)c且滿足力=26.

⑴若a+c=4,求AABC的面積;

(2)求a+c的取值范圍.

卜in(?+工/行sinx(>"si

18.已知向量。=,b=sin若函數(shù)/(x)=a3

⑴求/閨的值;

⑵在^ABC中，若/(9)=1，求sinB+sinC的最大值.

19.設(shè)△A8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為〃，b,c,向量

w=(cosAcosC),n=(gc-2b,y/^a),且而

(1)求角A的大??；

(2)若角8=￡,BC邊上的中線AM的長為"，求AABC的面積.

6

20.已知AA8c的外接圓的半徑為R=2百，角AB,C的對邊分別為a尻c,又向量

in=(sia4-sinC,由(方一a)),l"A+sinC,曙｝且蔡..

(1)求角C；

⑵求的面積S的最大值，并求此時(shí)“BC的周長.

21.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

在下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到上面的問題中，并給出解答.

?2a—b=2ccosB,(2)sin[C+7|=cosC+—,-(a-c,b-a),n-(a+c,b),

m.Ln-

⑴求角c；

(2)若c=V5,求AABC周長的取值范圍.

22.銳角△ABC中，角A、6、C所對的邊分別為。、〃、c,且

a八人

------=tanB+tanC.

ccosB

(1)求角C的大??；

(2)若邊c=2,邊AB的中點(diǎn)為D,求中線8長的取值范圍.

23.在AABC中，角A、8、。所對的邊分別為。、b、c,有以下條件：

①2cos8(acosC+ccosA)=b；②cos2A+cos2C-cos2B=1-sinAsinC.請從以上條件

中，任選一個(gè)解答下列問題.

(1)求角B;

(2)若力=",△ABC的面積為更，求AABC的周長.

2

24.在IBC中，角人仇。所對的邊分別為。也。，且2bcosA=ccosA+acosC

(1)求角A的大??；

(2)若”=\/7,>+c=4,求he的值.

25.若帆=(瘋山,8&￥),〃=(8瓢83),%￡]<,且/(X)=〃；6.

⑴求了(X)的解析式

(2)在AABC中，角4B、C所對的邊分別為。、b、c,且a=l,"c=2J(4)=l,求

△A8C的面積.

26.己知函數(shù)/(x)=2cosMsinx-cosx)+〃2(〃2wR),將y=/(x)的圖像向左平移(個(gè)

單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖像，且在區(qū)間0彳內(nèi)的最大值為友.

(1)求實(shí)數(shù)，〃的值；

3

(2)在AABC中，角A、B、C所對邊的分別是。、b、c、若g(：8)=l,且a+c=2,

4

求AABC的周長/的取值范圍.

27.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是小b,c,已知tanA=號底

l-V2cosC

(1)求駕;

sinB

⑵若2c=6，且“IBC的面積為叵，求邊長。

4

28.在448c中，角A,B,C的對邊分別為小b,c,若

b(a-ccosB)=a(b-ccosA),判斯△ABC的形狀

29.已知a,b,c為銳角的內(nèi)角A,B,C的對邊，滿足acosA+?cos3=c.

⑴證明△ABC為等腰三角形；

(2)若“18C的外接圓面積為不，求生士史竺的范圍.

a

30.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,向量所=S,a+c),

n=(b-c,c-a),mln.

⑴若a=8,ABAC=S,。為邊8c的中點(diǎn)，求中線A。的長度：

(2)若E為邊BC上一點(diǎn),且AE=1,BE:EC=2c:b,求%+c的最小值.

31.已知8c中，角A,B,C的對邊分別為mb,c,且&戾1nA-c=b-a

sinA+sinBsin(A+B)

⑵若6=46，。為外一點(diǎn)，如圖，且O=2A,DC=2,ABCQ的面積為4&,

求c.

32.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且向+c=2b

⑴求8sB的最小值；

⑵若加sinA=(2Z?-c)sinB+(2c-Z?)sinC,求角C.

33.在?中，a,b,。分別是角A,B,C的對邊，向量而=(2a+c,b),

/7=(COSB,COSC),且而

⑴求8

(2)若b=G，求AABC的外接圓的面積.

34.已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是45。，60°,它們所夾邊的長是1,求最小邊

長.

35.已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且

asinA+csinC=bsin8+csinA.

⑴求角3；

(2)求2cosig+sinl^+c)的最大值.

36.如圖，在中，。是AC邊上一點(diǎn)，NA8C為鈍角，NDBC=90。.

(1)證明：cosZADB+sinC=0；

(2)若AB=2",BC=2,再從下面①②中選取一個(gè)作為條件，求△相￡)的面積.

①sinNH5C=^^;?AC=3AD.

14

注：若選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

37.在銳角8c中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，

Gccos'+?=sinA(acosB+bcosA).

2

⑴求A:

⑵若b=l,求。的取值范圍.

38.在“IBC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且asin2E+Z?sinA=0.

⑴求角&

(2)若。=2,A為的最小角，求AABC周長的取值范圍.

39.??ccos￡?+/>cosC=——,?2c-b=2acosB,③也，=tan8+tanA這三

2cosAacos8

個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題.

在△ABC4?,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且滿足.

(1)求角A；

(2)^—sinB+fc-^cos

B=幣，b—c=2,求8C邊上的高.

2)

4°.在①焉M=冷’②>篝M③2s=&甌而’這三個(gè)條件中任

選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

在中，角A,B,C的對邊分別是mb,c,S為的面積，若

(填條件序號)

⑴求角C的大?。?/p>

(2)點(diǎn)。在CA的延長線上，且A為8的中點(diǎn)，線段8。的長度為2,求AABC的面積

的最大值.

41.已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且“16。的面積為

75(a2+b2-c2)

4

⑴求“；

⑵若4=NC的角平分線CE與邊AB相交于點(diǎn)E,延長CE至點(diǎn)。，使得

CE=DE,求8SZA￡>8.

42.在“IBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,。，且

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

⑴求角A；

(2)若人=5,BC邊上的高為隨,求邊J

7

/a3

43.已知/(x)=^-sin2x+cos2x-^.

⑴求/(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；

(2)在△4BC中，=0為8C中點(diǎn)，AD=g,求△48C面積的最大值.

44.如圖，在四邊形48CQ中，AB=2,AC=J1,AD=20

(1)求sinZ.BCA；

⑵求80.

45.在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知①

tan+tany=4,②3?國=26工謝，③

(sinC+sinB)(sinC-sinB)=sinA(sinA->/3sinB),從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，回答下

列問題，

⑴求角C；

(2)若c=l,求面積的取值范圍.

46.請從下面的三個(gè)條件：①asin空C=〃sin4；@bsinA=acos(B-7);③

26

a?+c?2="cosA+a28s8中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.

已知三角形A8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,。=3,c=4,.

⑴求角8的大?。?/p>

⑵若M為邊AC上一點(diǎn)，且8M為NA8C的平分線，求8M的長.

47.在△ABC中，/(x)=2sinAcos2y+cosAsinx,l^CCB^-^-c2

(1)8=120。，g(x)=2J(2x),求尸g(x)的最值與單調(diào)區(qū)間

(2必屋,求8的大小.

32

48.在A48C中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且csinA-島cosC=0.

⑴求角。的大??；

(2)若AABC是銳角三角形，且而=2,求人的取值范圍.

49.已知圓內(nèi)接四邊形ABC。中，AB=3,BC=1,AD=CD=2.

(1)求8。的長及該外接圓的面積:

(2)求/ADC的正弦值

50.已知第由“1BC中，內(nèi)角AB,C所對的邊分別為且滿足

(sinA+sinB+sinC)(sinA+sinB-sin。)

=3

sin人sinB

(I)求角C的大小;

(2)若邊長c=逐，求△ABC的周長取值范圍.

51.如圖，在平面凸四邊形A8C。中(凸四邊形指沒有角度數(shù)大于180的四邊形),

AB=2,BC=5,CD=6.

，求A。；

⑵已知4Q=3,記四邊形/IBCQ的面積為S.

①求S的最大值;

②若對于常數(shù)幾，不等式SN久恒成立，求實(shí)數(shù)丸的取值范圍.(直接寫結(jié)果，不需要

過程)

52.在△ABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,

(sin8+sinC)"-(2+6卜inBsinC=sin2A,且“二6.

⑴若b=2,求cosC；

(2)若cosC=立，求6.

3

53.設(shè)IBC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為。，Z?,c,且

Z?sinC=csinB+2cosA-1

(1)求角A的大小:

⑵若8=2,c=l,。為48的中點(diǎn)，求C。的長.

54.在銳角中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,ABAC=b+C~~t

4cosA

⑴求A;

(2)若。為BC的中點(diǎn)，且AABC的面積為些，AB=2,求4。的長.

2

55.已知AABC內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,b=c=4,且滿足

sinC-\/3sinB=sin(4-fi).

⑴求角4

(2)點(diǎn)P為“IBC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)/3戶。=彳時(shí)，求△8PC面積的最大值.

(Gsin；,2),亓=(2cos5,cos2：),/(x)=而萬

56.已知向量歷

⑴若/(x)=2,求cos(x+q)的值;

(2)在“IBC中，角A、B、C的對邊分別是久b、c,且滿足

(2a-cosB=y/ibcosC,求/(A)的取值范圍.

57.在AABC中，a,"c?分別為內(nèi)角A,6,C的對邊，若

siMsinBsinC=^-(sin2i4+sin2B-sin2C).

⑴求C;

(2)若°=退，求AABC周長的取值范圍.

58.在“IBC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為mb,c,且滿足加4=且，

25

麗?/二6.

(1)求“13。的面積；

(2)若6=5,求BC邊中線的長.

59.在AABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且c=6：

2x/3tan-+—!—=2

22C

cos—

2

(1)求角。的大??；

⑵若一，求的周長，從下列三個(gè)條件中任選1個(gè)，補(bǔ)充在上面問題的橫線

中，然后對問題進(jìn)行求解.

①“18c的面積為36sinA,②2acosC+2cosA二運(yùn)，③通便-麗)=容

注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

60.已知,其中4=(sin2%,2cosx),b=(\/3,cosx)(x€R).

(1)求〃丫)的最小正周期和最小值；

(2)在AABC中，角A、B、。的對邊分別為。、b、c,若/用=@b2=ac^求

61.在中，角A,B,C所對邊分別為。，b,c,且

8cosC(acosB+Z?cosA)=c.

(1)求cost?的值；

(2)已知ZAC8的平分線交AB于點(diǎn)￡),若八鈕:。的面積是面積的2倍，且

8=1,求“IBC的面積.

62.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b.c,且面積為當(dāng)十。?一/)

cos(/4+B)>0.

(1)求角8的大小

(2)求￡的取值范圍

a

63.AABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,力sinA=J3acos8.

⑴求B：

(2)若。是AABC的外接圓的劣弧4c上一點(diǎn)，且a=3,c=4,AD=[,求8.

64.已知向量a=(6sinx,cosx),b=(2cosx,2cosx),函數(shù)=a

⑴求函數(shù)/(力在[o,5上的最大值；

(2)若“IBC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、J且=a=\,求

△A8C的周長的取值范圍.

3

65.在△ABC中角A8,C的對邊分別為a,"c,已知cosA=1.

Uliuuu

(1)若的面積為3,求84XC的值；

(2)設(shè)而=(2sin*l),G=(cos&cos3且而/啟，求sin(B-C)的值.

66.如圖，在四邊形A8CD中，5￡><4O,sin佶—/A卜os傳+4)=；.

(2)若AB=G,A。=3,CO=1,/C=2ZCBD，求四邊形ABCD的面積.

67.△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為小b,c/ABC的面積為S,若

4as=(2b-a)(a2+b2-c2).

tanA

(1)求角C；

⑵求sinA+sin4的取值范圍.

68.在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且滿足

cr+b2-c2=a2cosC+accosA■

A

13

(1)求角C的大??；

(2)如圖，若6=2方，E為BC的中點(diǎn)，△0龍的面積為Q,ZXCQE的周長為6,

求AB邊的長度.

69.在△相€?中，角A、氏C、對應(yīng)的邊分別為4瓦&。=五，b=BB=y

⑴求sin(A+J

⑵求/(x)=28s4Ccos2x+siiu的最小值.

70.在△川(7中，角4,B,C所對的邊分別是mb,c,已知

2sinA-sinCa2+b2-c2

sinCa2+c2-b2'

⑴求角B的大小及y=sir4+si/C的取值范圍；

(2)設(shè)。是AC上一點(diǎn)，且4O:DC=1:2,瓦)=1,求〃+3c的最大值；

71.在AA"1中，內(nèi)角4R,C所對的邊分別為〃，h,ct^6rsin5=/?cosM--^J.

⑴求角4

⑵若茹=2反，且AO=2,求△ABC面積的最大值.

72.記aABC中，a,b,c分別是角A,B,。所對的邊，Kc=Z?cosA+asinB.

⑴求8；

(2)若b=4,點(diǎn)”為AC邊的中點(diǎn)，且|麗|=2應(yīng)，求的面積.

73.在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，已知?sin('+A)=asinB.

⑴求角A的大??；

(2)若b,a,c成等比數(shù)列,判斷△ABC的形狀.

74.在“BC中，角4、B、。的對邊分別為a、b、c,且滿足/一片—'2+屏c=0,

2bsinA=atBC邊上中線AM的長為近.

⑴求角A和角B的大??；

⑵求AABC的面積.

75.已知a,b,c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，a=石，且

(x/5+b)(sinA-sin5)=(c-b)sinC.

⑴求角A

(2)若AABC為鈍角三角形，求“8C周長的取值范圍.

76.已知△ABC的面積為S,店角A,B,C所對的邊分別為小b,c,且

4S=j3（b2-a2-c2）.

(1)求8的大??；

(2)若ADu'lAC,且B￡)=2,求S的最大值.

77.A4BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為。，b,c,且tanA-tan8=叫且.

cosA

(1)證明：A=2B.

(2)若c=4,且△/$(?為銳角三角形，求AABC面積的取值范圍.

78.在△A8C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且ccosB+6cosc=%8sB.

(1)求8sB的值：

(2)若-調(diào)=2,△A3C的面積為2&，求邊兒

79.設(shè)函數(shù)/(%)=；]；,其中向量肩=(2cosx,l),n=(cosx,75sin2x)(xe/?).

⑴求/1(x)的最小值；

(2)在△ABC中，a,by。分別是角A,B,。所對的邊，已知/(A)=2,b=l,A

ABC的面積為立，求.?+'=的值.

2sinS+sinC

80.為迎接2022年的亞運(yùn)會(huì)，城市開始規(guī)劃公路自行車比賽的賽道，該賽道的平面示

意圖為如圖所示的五邊形ABCZJE.運(yùn)動(dòng)員在公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以在本隊(duì)

的器材車、公共器材車或收容車上獲得幫助，也可以從固定修車點(diǎn)上獲得幫助.另外，

為滿足需求，還需要運(yùn)送一些補(bǔ)給物品，例如食物、飲料、工具和配件.所以項(xiàng)目設(shè)計(jì)需

要預(yù)留出賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通80，BE(不考慮寬度)，己知七-。-。-8-4-七為賽

道，/BCD=NBAE.,NCBD=jCO=2瘋m,DE=8km.

⑴若N6E=;，求服務(wù)通道M的長度；

(2)在(1)的條件下，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)，才能使折線賽道8-A-石最長(即8A+AE最

大)？最長為多少？

81.在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別是mb,c,AD為/胡C的角平分線，

己知c=2且/+/—從=[g—2s$A)bc,AD=|x/5

(1)求AABC的面積；

(2)設(shè)點(diǎn)E,產(chǎn)分別為邊48,AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段E/交A。于G,且AAEF的面積為

△4BC面積的一半，求而?喬的最小值.

82.已知向量。=coscor-Lsinl^+2(arj石=(4sincor,2)其中s>(),記

2

/(1)=7況且八制的最小正周期為兀

⑴求了(X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足一：，求

/(C)的值.

83.在①sin8+：inC一②吟=丁*；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

sia4b-ccosB2a-b

的橫線上.并加以解答.

在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是小b,c,且滿足.

⑴求角C；

(2)若a=8,b=5,。在線段AB上，且滿足而二,而，求線段CO的長度

84.如圖，在AABC中，M是邊8C的中點(diǎn)，tanZfiAA/=—,cosZAA/C=--.

57

(1)求角3的大??；

(2)若角NB4C=1,BC邊上的中線A"的長為近，求的面積.

85.在銳角△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,設(shè)S為的面

積，滿足5=@(/+02-從).

⑴求角8的大??；

(2)求sinA$inC取值范圍;

(3)如圖所示，當(dāng)sinAsinC取得最大值時(shí)，在AABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)。，使得線段

DC=2tDA=\,求△BCD面積的最大值.

3一一27

86.在A48C中，已知C=2A,cosA=:二，BA-CB=------.

42

(I)求8sB的值；

(2)求AC的長度.

87.己知平行四邊形A5C。中，4LO),5(O,1),C(2,5).

⑴求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)設(shè)向量而與正夾角為6,求cos。的值；

(3)求平行四邊形A8CQ的面積.

88.已知△48C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

2acos2C+2ccosAcosC+6=0.

⑴求角C的大??；

(2)若b=2sin8,求△ABC面積的最大值.

89.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，且

(20、

sin2B+sin2C=sinA+——-sinBsinCsinA.

I3J

(1)求角A；

(2)若。=2,求面積的最大值.

萬

90.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知力sinA=^〃.

2

⑴求角B的大??；

(2)若△ABC為銳角三角形，且a=2c,b=2遍,求的面積.

91.在AABC中，角A,B,。的對邊分別為a,b,c,

c=26/sinCcosB4-22?sinCcosA,且sinCWsin8.

(1)求角。的大小；

(2)若8=f,且AABC的面積為4百，求AC邊上的中線8。的長.

92.在“IBC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,?sin2B-Z?sinA=0.

(1)求8；

(2)若角月的平分線交AC于點(diǎn)D,RD=2,且4)=2CO,求b.

93.&.?a=(sin4,cosA),b-(-1,\/3)Ka1,②加8s4=)cosC+c8s8,③

asinB="8s(A-￡］這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答該問題.

問題：銳角△/$(7的內(nèi)角4及C的對邊分別為，也c,。=4且.

⑴求A;

⑵求sin8+sinC的最大值.

94.如圖，△ABC中，角A,B,。的對邊分別為〃，b,c,且2a-c=2Z?8sC.

⑴求角8的大??；

(2)已知6=3,若。為AABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求AO+OC的最大值.

95.在“IBC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,

?sinU--B)+bsinu—+A)=2ccosC.

3

(1)若sinA=g,a＜人，求cosB的值；

⑵若AABC的面積為6,求邊長c的最小值.

96.在“IBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且_________.在下面的三個(gè)條

件中任選一個(gè)補(bǔ)充到上面的問題中，并給出解答.①為-b=2ccosB,②

sin(c+2)=cosc+g,③m=(a-c,b-a),n=(a+cyb),玩_L河.

⑴求角C：

(2)若。=石，求△ABC周長的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

97.在AA8c中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,JGasin6-bcosA=b.

⑴求角A的大??；

(2)若8。為AC邊上的中線，且比＞=2,求方+2c?的最大值.

98.如圖，在凸四邊形A8CO中，已知AB=4)=4,4C=6.

⑴若NAO8=S，C=￡,求cos/BDC的值;

⑵若8=2,四邊形A8CO的面積為4,求cos(A+C)的值.

99.在平面四邊形A8CO中，已知乙48。二等乙ADC噎,AC平分42.

(1)若N8AO=q,AC=2,求四邊形ABC。的面積；

(2)若C。=2,求tanNBAC的值.

/?sin?A

100.在△A3C中，角A,B,C所對的邊分別是小b、c,-f=-----=a.

x/2一cosB

⑴求良

(2)若4ABC的面積為8心in(A+C),b=4,求a和c.

參考答案:

(2)4

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理及三角形面積公式得到;bcsinA=*反cosA,即可得到tanA,從而

求出A；

(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin8,再根據(jù)兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式求出

sinC,最后利用正弦定理計(jì)算可得；

(1)

2

解：因?yàn)镾.AHC=—(b+c2-?2)=叵bcssA，又S“8C另bcsinA，所以

ArtDV4'z22

—^csinA=—bccosA?所以tanA=G，又4e(0,萬)，A=

223

⑵

解:因?yàn)閏osB=sinB=71-cos2B=，

77

/.sinC=sin(乃—C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

62療103721

------X------------F—X--------=------------

272714

6x叵

由正弦定理4=一不，可得6=包?=一"

sinBsinCsinC3j21

14

2.⑴:

⑵遇

2

【解析】

【分析】

(1)由題及正弦定理可得，sinBcosA+sinAcosB=sinC(3cosA-1);利用誘導(dǎo)公式化簡

可得3cosA-l=l,即可求得;

(2)先求出兒=15,利用三角形的面積公式直接求得.

(1)

對于bcosA+acos8=c(3cosA-l),

答案第1頁，共93頁

由正弦定理可得，sinBcosA+sinAcosB=sinC(3cosA-1)即sin(A+B)=sinC(3cosA-1).

因?yàn)锳+8+C=4,所以sin(4+/?)=sinC,所以sinC=sinC(3ccs人一1).

2

因?yàn)??！?0,乃)，所以sinC工0,所以3cosA-l=l,所以cosA='.

(2)

因?yàn)楹?=-10，所以仇*8SA=1(),所以bc=15.

2

因?yàn)閏osA=3,所以sinA=A/1-CDS2A

.A1x/55^

..5C.=-Z?csinA=—xl15Cx——=-----?

3Ancr2232

3.(1)C=1

⑵2氏6

6

【解析】

【分析】

(I)利用正弦定理化簡.:nA="￡,得/+。2一。2二"，再利用余弦定理進(jìn)行計(jì)

sinB-sinCb-a

算即可求解

(2)由cos4=且，得sinA=Jl-cos2A=走,進(jìn)而利用倍角公式和和差公式進(jìn)行求解即

33

可

⑴

sinA_b+c

sin4-sinCb-a

由正弦定理得，言b+c

b-a

化簡得/+/一寸=".

由余弦定理得，cosC=a———.

2ab2

7F

又0＜。＜乃，AC=y.

⑵

由cosA=—,得sinA=\!\-cos2A=

33

2^21

**?sin2A=2sin4cosA=------,cos2A=2cos2A-l=--

33

答案第2頁，共93頁

TVTV2V2+V3

：.sin(2A-C)=sinl2A--|=sin2Acos--cos2i4sin—=

3336

4.(1)?=|

(2)R=2.

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理化簡已知即得解;

(2)先利用余弦定理求出〃=2后，再利用正弦定理得解.

(1)

解:由(a2+c2—b2)tan8=6ac,得8s八正3=4_=走濁

2ac2tanB2sinB

因?yàn)?為銳角，所以sin4=立，所以B=f.

23

(2)

解：由條件得52時(shí)=3訛4118=26,得訛=8,

222

由余弦定理可得〃=a+c-2accosB=(a+c)-3act

因?yàn)閍+c=6b，所以從=3從一3訛=勸2—24,解得6=26，

2"上=遞=4

設(shè)“1BC外接圓的半徑為七則一sinB一直一，所以R=2.

T

5.(l)y;

(2)(2,8).

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)GsinC+cosC=sm8+：mC,利用三角恒等變換公式即可求A；

sinA

(2)根據(jù)A和△4BC為銳角三角形求出。的范圍，根據(jù)正弦定理表示出兒根據(jù)三角函數(shù)范

圍即可求b的范圍.

⑴

*/V5sinC+cosCsinB+sinC

sinA

答案第3頁，共93頁

Gsin4?sinC+sinA?cosC=sin8+sinC

V5sinAsinC+sinA-cosC=sin（A+C）+sinC

?75sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC

V5sinAsinC=cosAsinC+sinC

?.?C￡（O,/r）,/.sinC*O,

:.y/3s\nA=cosA+1

GsinA-cosA=1

2sin（A一看

sinf4-y=—1

2

n5萬

丁Ae（0,萬）,A——€

6~6'~6

.n7r.it

A---=一,A=一

663

⑵

Ag?M+C嚀'；?C言—B,

.八l乃八247T7T7T

???△44C是銳角三角形,..0<C<—=>0<-------—=—<B<-

23262t

同理，J<C<三

o2

根據(jù)正弦定理得,

cosC+—sinC

bc4sinB_4sin（A+C）22石，

-----?D=---------=------------------------------------^=2+

sinBsinCsinCsinCsinCtanC

冗c冗一

一<C*v—=>tanC>>=>o<-L<G=be（2,8）.

62V3tanC

6.(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式、商數(shù)關(guān)系可證;

答案第4頁，共93頁

(2)由S=；〃csin3把面積表示CM的關(guān)系式，再由余弦定理得出關(guān)系，從而把S表示

不。的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大值.

(1)

cos5=*,即a=3ccos8,由正弦定理得sinA=3cosBsinC,VA+B+C=/r,:.

3c

sin(B+C)=3cosBsinC,

/.sinBcosC+cosBsinC=3cosBsinC,sinBcosC=2cosBsinC,Sin=2-Sin,

cosCcosC

即tail5=2tanC.

⑵

由已知得sinB=—cos?B=J1-工,，,AABC的面積

V9c2

S=-acsinB=-ac.l--=—\l9a2c2-a4,

22V9c26

由余弦定理知cosB='-從=f,整理得3c2=3—/,.?.

2ac3c

S=\&2(3一*一〃4='4-4八9a2.

當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為J

OO

7.⑴萬

⑵粵

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理求出8C；(2)先用正弦定理求出sin=叵，利用同角三角函數(shù)

7

平方關(guān)系求出COSNOC3=2且，再用正弦的差角公式求出答案.

7

(1)

依題意，由余弦定理得：BC?=DB，+DC?-2DB-DCss/BDC

=4+9-12xi=7,

2

解得：BC=y/7

答案第5頁，共93頁

⑵

BCDB

依題意，由正弦定理得:

sinZBDC~sinZDCB

所以—筆等

因?yàn)镺3<0C,所以/DC8為銳角,

所以cosNDCB=Vl-sin2ZDCB=月孚

因?yàn)閆BDC=ZA+ZDCA,

所以ZA=NBDC—ZDCA=NBDC-NDCB,

所以sinA=sin(60°-NDCB)=sin60°cosZDC￡?-cos60°sinZZX7￡?

琳2>/71VITV21

=------X-----------------X---------=----------.

272714

8.(l)cosA=--

4

⑵9

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理化簡可得cosA的值；

(2)利用平面向量數(shù)量積的定義可求得從的值，由余弦定理可求得b+c的值，即可求得

△