《電路分析基礎(chǔ)》課件5第5章

5.1正弦電流和電壓

5.2正弦量的相量表示

5.3電路定律的相量形式

5.4相量模型

5.5電路的相量分析方法

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.7串聯(lián)電路的諧振

5.8并聯(lián)電路的諧振

習(xí)題5第5章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

5.1正弦電流和電壓

5.1.1正弦量的三要素

正弦量隨時(shí)間的變化規(guī)律符合正弦函數(shù)。對(duì)于符合該函數(shù)的電壓或電流我們將其統(tǒng)稱為正弦交流電或正弦量。正弦量的數(shù)學(xué)描述可以用sin或cos函數(shù)表示。本教材統(tǒng)一用cos表示。例如：

u(t)=Umsin(ωt+ψu(yù))

i(t)=Imsin(ωt+ψi)

u(t)=Umcos(ωt+ψu(yù))

i(t)=Imcos(ωt+ψi)

圖5.1-1表示的是i(t)=Imcos(ωt+ψ)的波形圖。圖5.1-1i(t)=Imcos(ωt+ψ)的波形圖其中，u(t)或i(t)表示電壓或電流的t

時(shí)刻值，它表示通過(guò)某電路的電流或端電壓的瞬時(shí)值。瞬時(shí)值有時(shí)為正值，有時(shí)為負(fù)值。與直流情形類似，只有在設(shè)定正弦量參考方向的前提下，才能依據(jù)瞬時(shí)值的正負(fù)判定它在電路中的實(shí)際方向，如圖5.1-1的上部所示。

Um或Im為振幅，表示電壓或電流在整個(gè)變化過(guò)程中，可以達(dá)到的正的或負(fù)的最大值，是最大變化幅度的意思，該值取正值。ωt+ψ為電壓或電流的瞬時(shí)相位角，單位可以用弧度(rad)或角度(°)表示。ω稱為角頻率，表示相位隨時(shí)間變化的角速度，即

(5.1-1)

ω的單位是弧度/秒(rad/s)。ψ是

t=0時(shí)ωt+ψ的相位值，稱為初始相位，簡(jiǎn)稱初相，其單位與相位相同，可用弧度或度表示。初相與計(jì)時(shí)零點(diǎn)(t=0)的位置有關(guān)。一般取|ψ|≤180°(或π弧度)。例如，出現(xiàn)i(t)=Imcos(ωt+240°)時(shí)用i(t)=Imcos(ωt－120°)表示。

由于正弦信號(hào)變化一周，其相位變化2π弧度，因此角頻率ω與時(shí)間周期T以及頻率的關(guān)系可表示為

式中,T

的單位是秒(s);f

的單位是赫茲(Hz)，簡(jiǎn)稱赫。頻率較高時(shí)，f常用千赫(kHz)或兆赫(MHz)作單位，其轉(zhuǎn)換關(guān)系是

1MHz=103kHz=106Hz

(5.1-4)

正弦交流信號(hào)的振幅、角頻率和初相稱為正弦量的三要素。(5.1-2)(5.1-3)

【例5.1-1】已知正弦電流i(t)的振幅Im=100mA,初相角θ=－60°，周期T=2ms，試寫(xiě)出i(t)的函數(shù)表達(dá)式(用cos表示)，并繪出它的波形。

【解】由已知條件求出正弦電流i(t)的三要素。

振幅:

Im=100mA

角頻率:

初相:

所以

波形圖如圖5.1-2所示。

橫軸也可以用時(shí)間t表示，如圖5.1-3所示。圖5.1-2i-ωt

圖圖5.1-3i-t

圖5.1.2相位差

在正弦電源激勵(lì)下，電路中各處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都是與電源有相同角頻率的正弦量。因此，為了便于比較不同正弦量的相位關(guān)系，對(duì)于同一電路，一般正弦量都采用相同的計(jì)時(shí)零點(diǎn)。

兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差稱為相位差。設(shè)有兩正弦量:

u1(t)=U1mcos(ωt+ψ1)(5.1-5)

u2(t)=U2mcos(ωt+ψ2)

(5.1-6)

它們的相位之差用φ表示，即

φ=(ωt+ψ1)－(ωt+ψ2)=ψ1－ψ2(5.1-7)由式(5.1-7)可以得知，兩個(gè)同頻率的正弦信號(hào)的相位差等于它們的初相之差，并且與時(shí)間t無(wú)關(guān)，為一常數(shù)。如果

φ=ψ1－ψ2>0，如圖5.1-4所示，表示隨著t

的增大，u1要比u2先達(dá)到最大值、零值或最小值。這種關(guān)系稱u1超前于u2

或u2

滯后于u1，我們習(xí)慣稱u1

超前u2φ角度或u2

滯后u1φ角度，反之如圖5.1-5所示。圖5.1-4相位差φ>0圖5.1-5相位差φ<0我們?cè)诜治龊陀?jì)算同頻率正弦量的相位差時(shí)，還會(huì)經(jīng)常遇到下列三種特殊情況：

(1)若φ=ψ1－ψ2=0，則稱u1與u2同相，如圖5.1-6(a)所示。這時(shí)隨著時(shí)間t

的增長(zhǎng)，u1與u2將依次同時(shí)到達(dá)最大值、零值和最小值。圖5.1-6三種特殊相位差

(2)若，則稱u1與u2正交,波形如圖5.1-6(b)所示。

(3)若φ=ψ1－ψ2=±π，則稱u1與u2反相，波形如圖5.1-6(c)所示。此時(shí)，若u1達(dá)到最大，則u2

達(dá)最小值，反之亦然。

【例5.1-2】已知正弦電壓u(t)和電流i1(t)、i2(t)的瞬時(shí)值表達(dá)式為

試求電壓u(t)與電流i1(t)和i2(t)的相位差。

【解】電壓u(t)與電流i1(t)的相位差為

φ=(－180°)－(－45°)=－135°

電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為

φ=(－180°)－60°=－240°

習(xí)慣上將相位差的范圍控制在－180°到+180°之間，我們不說(shuō)電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為－240°，而說(shuō)電壓u(t)與電流i2(t)的相位差為

360°+(－240°)=120°

所以u(píng)(t)滯后i1(t)135°，u(t)超前i2(t)120°。5.1.3有效值

正弦量的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其大小，工程上采用有效值來(lái)表示。

設(shè)有兩個(gè)相同的電阻，分別通過(guò)正弦電流和直流電流，如圖5.1-7所示。若在正弦電流的一個(gè)周期內(nèi)，正弦量所作的功和某一直流量所作的功相同，則定義該直流電流的數(shù)值為這個(gè)正弦電流的有效值。圖5.1-7電阻負(fù)載

當(dāng)正弦電流i

通過(guò)電阻R

時(shí)，一個(gè)周期T內(nèi)電阻消耗的功為

當(dāng)直流電流I

通過(guò)電阻R

時(shí)，在相同時(shí)間內(nèi)，電阻消耗的功為

WI=I2RT(5.1-9)

(5.1-8)令Wi=WI，得

(5.1-10)

同樣可得正弦電壓u=Umcos(ωt+ψu(yù))的有效值:

(5.1-11)可見(jiàn)，正弦量的有效值與振幅值之間有確定的關(guān)系，即振幅值是有效值的倍。應(yīng)用有效值，可將正弦電流、電壓的瞬時(shí)表達(dá)式改寫(xiě)為

(5.1-12)有效值的概念在電力工程上非常有用，常用的交流電壓表和電流表都是用有效值來(lái)進(jìn)行刻度的。當(dāng)我們用交流電壓表或普通萬(wàn)用表測(cè)量正弦電壓的讀數(shù)為220V時(shí)，是指該電壓的有效值為220V，其振幅值為×220=311V。此外，各種交流電器設(shè)備銘牌上標(biāo)出的電流、電壓額定值也是有效值。

5.2正弦量的相量表示

由歐拉公式可將復(fù)指數(shù)函數(shù)

表示為

(5.2-1)式(5.2-1)中的實(shí)部即為正弦電流的表達(dá)式，于是有

(5.2-2)其中:

式(5.2-3)中，復(fù)數(shù)的模和輻角恰好分別對(duì)應(yīng)正弦電流的振幅和初相。在此基礎(chǔ)上，再考慮已知的角頻率，就能完全表示一個(gè)正弦量。像這樣能用來(lái)表示正弦量的特定復(fù)數(shù)稱為相量，并在符號(hào)上方標(biāo)記圓點(diǎn)“·”，以與一般復(fù)數(shù)相區(qū)別。稱為電壓相量，同理稱為電流相量。(5.2-3)

相量與復(fù)數(shù)一樣，可以在復(fù)平面上用矢量表示，如圖5.2-1(a)所示。相量在復(fù)平面上的圖示稱為相量圖。有時(shí)為了簡(jiǎn)便，常省去坐標(biāo)軸，只畫(huà)出坐標(biāo)原點(diǎn)和一條表示參考相量的射線，如圖5.2-1(b)所示。圖5.2-1相量圖式(5.2-2)中的ejωt是旋轉(zhuǎn)因子，表示相量或在復(fù)平面上繞原點(diǎn)以角速度ω按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。由于正弦信號(hào)振幅是有效值的倍，因此有

(5.2-4)式中:

分別稱為電流、電壓的有效值相量，將和分別稱為電流和電壓的振幅相量。顯然，振幅相量是有效值相量的

倍。(5.2-5)

必須指出，正弦量是代數(shù)量，并非矢量或復(fù)數(shù)量，所以，相量不等于正弦量。相量必須乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt并取實(shí)部后才等于相應(yīng)的正弦量?？梢?jiàn)，相量與正弦量之間存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系，或變換關(guān)系:

(5.2-6)或者

(5.2-7)

【例5.2-1】試寫(xiě)出下列各電壓的相量，并畫(huà)出相量圖。

(1)u1(t)=10cos(10π·t+30°)V；

(2)u2(t)=20sin(10π·t+135°)V;

(3)u3(t)=－5cos(10π·t+35°)V。

【解】(1)

(2)由于本書(shū)相量用cos函數(shù)表示，所以應(yīng)先把u2(t)表達(dá)式中的sin函數(shù)化為cos函數(shù)，將它改寫(xiě)為

u2(t)=20sin(10π·t+135°)

=20cos(10π·t+135°－90°)

=20cos(10π·t+45°)V

然后得到相量:

(3)先把u3(t)改寫(xiě)為

u3(t)=－5cos(100π·t+35°)

=5cos(100π·t+135°－180°)

=4cos(100π·t－145°)V

所以

以上三個(gè)正弦電壓的角頻率相同，可將其相量圖畫(huà)在同一復(fù)平面上，如圖5.2-2所示。

圖5.2-2例5.2-1圖

【例5.2-2】寫(xiě)出正弦量的時(shí)域形式。

【解】換為振幅形式:

所以時(shí)域可寫(xiě)為：A。

【例5.2-3】已知正弦電流i1(t)=5sin(314t+60°)A，i2(t)=－10sin(314t+60°)A。寫(xiě)出這兩個(gè)正弦電流的電流相量，畫(huà)出相量圖，并求出i(t)=i1(t)+i2(t)。

【解】表示正弦電流i1(t)=5cos(314t+60°)A的相量為

表示正弦電流i2(t)=－10sin(314t+60°)A的相量為

將各電流相量和畫(huà)在一個(gè)復(fù)數(shù)平面上，就得到相量圖，從相量圖上容易看出各正弦電壓或電流的相位關(guān)系。

相量圖的另外一個(gè)好處是可以用向量和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得幾個(gè)同頻率正弦電壓或電流之和。例如,用向量運(yùn)算的平行四邊形作圖法則可以得到電流相量，如圖5.2-3所示，從而知道電流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅為11.18A，初相為123.4°。作圖法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單直觀，但不精確。采用復(fù)數(shù)運(yùn)算可以得到更精確的結(jié)果。計(jì)算如下：圖5.2-3例5.2-3圖

所以有

i(t)=i1(t)+i2(t)=Imcos(314t+ψ)=11.18cos(314t+123.4°)A

從上面的例題可以看出，引入相量概念后，可用復(fù)數(shù)表示正弦量，還可將正弦量的三角函數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算，從而為簡(jiǎn)化正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析提供了條件。

5.3電路定律的相量形式

本節(jié)介紹基本元件的相量形式和相關(guān)定律的相量形式。

5.3.1電路中基本元件的相量形式

1.電阻元件

如圖5.3-1(a)所示，假設(shè)電阻R

的端電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向。設(shè)

i(t)=Imcos(ωt+ψi)由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為

u(t)=Ri(t)=RImcos(ωt+ψi)=Umcos(ωt+ψu(yù))(5.3-1)

式中,Um和ψu(yù)是電壓u(t)的振幅和初相。式(5.3-1)表明，在正弦電流的作用下，電阻元件的端電壓是與電流同頻率的正弦量。電阻上電流、電壓波形如圖5.3-1(b)所示。圖5.3-1電阻元件的電流、電壓波形式(5.3-1)的相量形式為

由和可將式(5.3-2)改寫(xiě)成有效值形式:

(5.3-2)(5.3-3)(或或)(或或)由式(5.3-2)和式(5.3-3)可得電阻上電壓、電流的振幅(或有效值)關(guān)系和相位關(guān)系滿足:

(5.3-4)

式(5.3-2)和式(5.3-3)表明了電阻上電壓、電流相量之間的關(guān)系，稱為電阻元件VCR的相量形式。電阻上電流、電壓的相量圖如圖5.3-1(c)所示。

綜上所述，電阻元件VCR的相量形式既反映了元件上電壓、電流振幅或有效值之間的關(guān)系，同時(shí)又體現(xiàn)了電壓、電流同相位的特點(diǎn)。

2.電感元件

假設(shè)電感L

的端電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，如圖

5.3-2(a)所示。設(shè)

i(t)=Imcos(ωt+ψi)

則電感兩端電壓為

(5.3-5)圖5.3-2電感元件的電流、電壓波形

式中,Um和ψu(yù)為電感電壓的振幅和初相。由式(5.3-5)可知，電感電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形如圖5.3-2(b)所示。

根據(jù)微分特性可寫(xiě)出式(5.3-5)對(duì)應(yīng)的相量表達(dá)式:

對(duì)應(yīng)有效值相量為(5.3-6(a))

(或)

式(5.3-6)稱為電感元件VCR的相量形式，該式表明電感電壓在相位上超前于電流90°。(5.3-6(b))

由此可見(jiàn)，電感元件VCR的相量形式不僅表明了電感電壓和電流之間的振幅、有效值關(guān)系，而且也表明了它們之間的相位關(guān)系，用公式表示有

電感元件的相量模型和電感電流、電壓相量圖如圖

5.3-3(a)和(b)所示。(5.3-7)圖5.3-3電感的相量模型和、相量圖

3.電容元件

假設(shè)電容元件C兩端的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向,如圖5.3-4(a)所示。設(shè)電容兩端電壓為u(t)=Umcos(ωt+ψu(yù)),則通過(guò)C的電流為(5.3-8)式中,Im和ψi是電容電流的振幅和初相。式(5.3-8)表明，電容電壓、電流是同頻率的正弦量，其波形如圖5.3-4(b)所示。

根據(jù)微分特性可寫(xiě)出式(5.3-8)對(duì)應(yīng)的相量表達(dá)式:

或

對(duì)應(yīng)有效值相量為

(5.3-9(a))

(5.3-9(b))圖5.3.4電容元件的電壓、電流波形

式(5.3-9)是電容元件VCR的相量形式。該式表明，電容電壓在相位上滯后于電流90°。

由上可見(jiàn)，電容元件VCR的相量形式綜合反映了電容元件電壓、電流的振幅、有效值及相位之間的關(guān)系,用公式表示有

電容元件的相量模型和電流、電壓的相量圖如圖

5.3-5(a)和(b)所示。(5.3-10)

圖5.3-5電容的相量模型和、相量圖

【例5.3-1】將正弦電壓u(t)=10cos(500t+30°)V加到C=1000μF的電容上，求流過(guò)該電容的正弦穩(wěn)態(tài)電流。

【解】電壓振幅相量。

由電容元件VCR有

對(duì)應(yīng)的正弦穩(wěn)態(tài)電流為i(t)=5cos(500t+120°)A。5.3.2基爾霍夫定律的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為

表示成相量關(guān)系為(5.3-11)(5.3-12)這就是KCL的相量形式。式(5.3-12)表明，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對(duì)任一節(jié)點(diǎn)或割集，各相關(guān)支路電流相量的代數(shù)和恒為零。

同理，對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路中的任一回路，KVL的相量形式為

(5.3-13)

式中,n

為回路中的支路數(shù)，和分別為回路中第k條支路電壓的振幅相量和有效值相量。式(5.3-13)表明，沿正弦穩(wěn)態(tài)電路中任一回路繞行一周，各相關(guān)支路電壓相量的代數(shù)和恒為零。

5.4相量模型

5.4.1阻抗與導(dǎo)納

無(wú)源單口電路N如圖5.4-1(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)下的端口電壓相量和端口電流相量之間成比例關(guān)系，這就是相量形式的歐姆定律，它可以用阻抗或?qū)Ъ{來(lái)描述。

1.阻抗

我們定義無(wú)源單口電路端口電壓相量與電流相量之比為該電路的阻抗，記為Z，即

(5.4-1)圖5.4-1阻抗與導(dǎo)納顯然，阻抗的單位為歐姆(Ω)。將式(5.4-1)中的相量表示成極型，可得

(5.4-2)式中，|Z|稱為阻抗模，φz稱為阻抗角。實(shí)部Re［Z］=|Z|cosφz稱為電阻，記為R，虛部Im［Z］=|Z|sinφz稱為電抗，記為X。式(5.4-2)可寫(xiě)成:

Z=R+jX

(5.4-3)

阻抗模、阻抗角、電阻和電抗之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(5.4-4)式(5.4-4)表明，無(wú)源單口電路的阻抗模等于端口電壓與端口電流的有效值之比，阻抗角等于電壓與電流的相位差。φz>0時(shí)，電壓超前電流，電路呈電感性；φz<0時(shí)，電壓滯后電流，電路呈電容性；φz=0時(shí)，電抗為零，電壓與電流同相，電路呈電阻性。

將式(5.4-1)改寫(xiě)為

(5.4-5)式(5.4-5)與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。根據(jù)式(5.4-5)畫(huà)出的相量模型如圖5.4-1(b)所示。如果無(wú)源單口電路內(nèi)部?jī)H含單個(gè)元件R、L

和C

，則對(duì)應(yīng)的阻抗分別為(5.4-6)其中，XL(=ωL)稱為感抗。當(dāng)L

的單位為H，ω的單位為rad/s時(shí)，XL的單位為Ω。式(5.4-6)表明，感抗XL與L

或ω成正比。對(duì)于給定的電感L，當(dāng)電流I一定時(shí)，ω愈高，XL愈大，要求電感端電壓U

愈高；反之，ω愈低,則要求U

也愈低。也就是說(shuō)，電感對(duì)高頻電流呈現(xiàn)阻力大，對(duì)低頻電流呈現(xiàn)阻力小。這種阻礙作用是由電感中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)反抗電流變化而產(chǎn)生的。電子線路中應(yīng)用的高頻扼流圈就是利用這一原理制成的。在直流情況下,ω=0，XL=0，故U=0，此時(shí)電感L

相當(dāng)于短路。

XC稱為容抗，當(dāng)C

的單位為F，ω的單位為rad/s時(shí)，XC

的單位為Ω。式(5.4-6)表明，容抗模|XC|(

)與C

或ω成反比。對(duì)于給定的電容C，當(dāng)U

一定時(shí)，ω愈高，|XC|愈小，I

就愈大，表示電流愈容易通過(guò)；反之，ω愈低，電流將愈不容易通過(guò)。換言之，電容元件對(duì)低頻電流呈現(xiàn)的阻力大，對(duì)高頻電流呈現(xiàn)的阻力小。所以，在電子線路中常用電容旁通高頻信號(hào)。在直流情況下，ω=0，|XC|=∞，電容相當(dāng)于開(kāi)路，故電容具有隔直流的作用。

2.導(dǎo)納

我們定義無(wú)源單口電路端口電流相量與電壓相量之比為該電路的導(dǎo)納，即導(dǎo)納為阻抗的倒數(shù)，記為Y，即

或

(5.4-7)(5.4-8)

導(dǎo)納的單位為西門(mén)子(S)。將式(5.4-8)中的電流、電壓相量表示成極型:

(5.4-9)式中，|Y|稱為導(dǎo)納模，φy稱為導(dǎo)納角。實(shí)部Re［Y］=

|Y|cosφy稱為電導(dǎo)，記為G，虛部Im［Y］=|Y|sinφy稱為電納，記為B。式(5.4-9)可寫(xiě)成:

Y=G+jB

(5.4-10)

導(dǎo)納模、導(dǎo)納角、電導(dǎo)、電納、阻抗模和阻抗角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(5.4-11)式(5.4-11)表明，無(wú)源單口電路的導(dǎo)納模等于電流與電壓的有效值之比，也等于阻抗模的倒數(shù)；導(dǎo)納角等于電流與電壓的相位差，也等于負(fù)的阻抗角。若φy>0，則表示滯后，電路呈電容性；若φy<0，則表示超前，電路呈電感性；若φy=0，則表示與同相，電路呈電阻性。

將式(5.4-7)改寫(xiě)為(5.4-12)式(5.4-12)也常稱為歐姆定律的相量形式。該相量模型如圖5.4-1(c)所示。如果無(wú)源單口電路內(nèi)部?jī)H含單個(gè)元件R、L

和C，則對(duì)應(yīng)的導(dǎo)納分別為

式中，BL稱為感納，BC稱為容納。(5.4-13)

5.4.2阻抗(導(dǎo)納)的串并聯(lián)

無(wú)源元件或無(wú)源單口電路的阻抗在串聯(lián)或并聯(lián)時(shí)，其總阻抗或?qū)Ъ{可以用類似電阻串并聯(lián)等效的方法求出。

對(duì)于由n個(gè)阻抗串聯(lián)而成的電路，其等效阻抗Z

為

Z=Z1+Z2+…+Zn(5.4-14)各個(gè)阻抗的分壓公式為

式中,為n個(gè)串聯(lián)阻抗的總電壓相量，為第k個(gè)阻抗Zk的電壓相量。

同理，對(duì)于由n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)而成的電路，其等效導(dǎo)納為

Y=Y1+Y2+…+Yn(5.4-16)

(5.4-15)各個(gè)導(dǎo)納的分流公式為

式中,為n個(gè)并聯(lián)導(dǎo)納的總電流相量,為第k個(gè)導(dǎo)納Yk的電流相量。

對(duì)于同一無(wú)源電路N，如圖5.4-2(a)所示，我們既可以把它等效成由電阻R

和電抗X

串聯(lián)組成的阻抗Z，如圖(b)所示,也可以將它等效成由電導(dǎo)G

和電納B

并聯(lián)組成的導(dǎo)納Y，如圖(c)所示。(5.4-17)圖5.4-2阻抗與導(dǎo)納的等效轉(zhuǎn)換顯然，阻抗Z

與導(dǎo)納Y

也是互為等效的，R、X與G、B之間滿足一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。若將阻抗等效轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納，則由式(5.4-8)可得

可得(5.4-18)同理，將導(dǎo)納等效轉(zhuǎn)換為阻抗得

可得

(5.4-19)

由式(5.4-18)和式(5.4-19)可見(jiàn)，一般情況下，阻抗中的電阻與導(dǎo)納中的電導(dǎo)以及阻抗中的電抗與導(dǎo)納中的電納都不互為倒數(shù)關(guān)系。

【例5.4-1】求圖5.4-3(a)所示電路的等效阻抗，以及圖5.4-3(b)所示電路的等效導(dǎo)納。

【解】(a)Z=ZR+ZL+ZC=3+j8－j4=3+j4=5

53.13°Ω

(b)圖5.4-3例5.4-1圖

5.4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型

在前幾章的電路模型中，電流和電壓都是隨時(shí)間變化的量，稱為時(shí)域模型。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，把時(shí)域模型中的電源元件用相量模型代替，無(wú)源元件用阻抗或?qū)Ъ{代替，電流、電壓也用相量表示(其參考方向與原電路相同)，這樣得到的電路模型稱為相量模型。例如，對(duì)于圖5.4-4(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路(時(shí)域模型)，設(shè)正弦電流源角頻率為ω，其相量模型如圖5.4-4(b)所示。從圖中可以看出，相量模型與時(shí)域模型具有相同的電路結(jié)構(gòu)。圖5.4-4時(shí)域模型和相量模型對(duì)于正弦穩(wěn)態(tài)電路，在引入相量、阻抗、導(dǎo)納和相量模型概念的前提下，電路KCL、KVL和元件端口VCR的相量形式與直流電路的相應(yīng)關(guān)系完全相同。因此，分析直流電路的所有方法也都適用于分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型。

【例5.4-2】電路如圖5.4-5(a)所示。已知R1=30Ω，R2=100Ω,C=0.1μF，L=1mH，。求電壓u(t)和ab兩端的等效阻抗Zab。圖5.4-5例5.4-2圖【解】XL=ωL=105×1×10－3=100Ω

設(shè)電感L支路的阻抗為Z1，R2C串聯(lián)支路的阻抗為Z2，即

電流i2的相量為

ab兩端的電壓相量為由KCL有

電阻R1上的電壓相量為

由KVL有

則ab兩端的等效阻抗為

Zab呈電感性。

u(t)的表達(dá)式為

5.5電路的相量分析方法

利用電路的相量模型，求變量的相量解，從而確定穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)的方法稱為相量分析。由于引入了阻抗和導(dǎo)納的概念，把動(dòng)態(tài)元件的微積分伏安特性變成了代數(shù)伏安特性，使得無(wú)源元件的特性均可用歐姆定律的形式統(tǒng)一起來(lái)，從而采用相量分析和求解正弦穩(wěn)態(tài)電路響應(yīng)要比時(shí)域方法簡(jiǎn)便得多。本節(jié)所示電路的基本變量是電流相量和電壓相量，分析的對(duì)象是相量模型電路。正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法與電阻電路的分析方法相同，其常用方法有方程法和等效法兩類。一般步驟如下:

(1)計(jì)算L、C元件的阻抗或?qū)Ъ{，寫(xiě)出已知正弦電源的相量，將電路時(shí)域模型變?yōu)橄嗔磕Ｐ汀?/p>

(2)選擇適當(dāng)?shù)那蠼夥椒?，即用方程?如節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法、回路法)、等效法(如戴維南定理、諾頓定理、阻抗串并聯(lián)、導(dǎo)納串并聯(lián)等)或疊加定理求得所需的電流、電壓相量。

(3)根據(jù)題目要求將求得的電流、電壓相量表示為時(shí)域表達(dá)式，或進(jìn)一步求得所需要的功率。5.5.1方程法分析

對(duì)有三個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)、三個(gè)網(wǎng)孔的正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路，可以分別列出相量模型電路的節(jié)點(diǎn)方程與網(wǎng)孔方程如下:(5.5-1)(5.5-2)

式(5.5-1)中,

(i=1,2,3)稱為第i節(jié)點(diǎn)的電位相量；Yii(i=1,2,3)稱為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納，它等于與i節(jié)點(diǎn)相連各支路的導(dǎo)納之和；Yij(i,j=1,2,3,i≠j)稱為第i、j節(jié)點(diǎn)間的互導(dǎo)納，它等于i、j節(jié)點(diǎn)之間所有相連支路的導(dǎo)納之和；(i=1,2,3)稱為流入i節(jié)點(diǎn)的等效電流源，它等于流入該節(jié)點(diǎn)的各電流源的代數(shù)和，即流入i節(jié)點(diǎn)的電流源取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。

式(5.5-2)中，(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流相量；Zii(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔的自阻抗，它等于第i網(wǎng)孔內(nèi)各支路阻抗之和；Zij(i,j=1,2,3,i≠j)稱為第i、j網(wǎng)孔間的互阻抗，它等于第i、j

網(wǎng)孔間各公共支路上的阻抗之和，且當(dāng)兩網(wǎng)孔電流流經(jīng)公共支路方向一致時(shí)取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；

(i=1,2,3)稱為第i網(wǎng)孔等效電壓源，它等于第i網(wǎng)孔內(nèi)各電壓源的代數(shù)和，當(dāng)網(wǎng)孔電流由電壓源正極性端流出時(shí)取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。

【例5.5-1】已知圖5.5-1(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路中,

A，V,R1=10Ω，R2=10Ω,R3=1Ω,L=5mH,C=1000μF。求節(jié)點(diǎn)1、2的電壓。圖5.5-1例5.5-1【解】ZL=jωL=j103×5×10－3=j5Ω

畫(huà)電路相量模型如圖5.5-1(b)所示。列出節(jié)點(diǎn)方程為節(jié)點(diǎn)1:

節(jié)點(diǎn)2:

將代入，得

計(jì)算方程組的系數(shù)行列式

解得：

故得節(jié)點(diǎn)1、2的電位分別為

【例5.5-2】如圖5.5-2(a)所示的正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知V,R1=200Ω，R2=400Ω，R3=50Ω，L=250mH，C=2μF,求電流i1、i2。圖5.5-2例5.5-2圖

【解】畫(huà)出相量模型電路如圖5.5-2(b)所示。圖中:

設(shè)網(wǎng)孔電流、的參考方向如圖(b)所示。將電路中受控電壓源看成電壓為的獨(dú)立電壓源，列出網(wǎng)孔方程:網(wǎng)孔1:

網(wǎng)孔2:

由于受控電壓源控制變量未知，因此需要增加一個(gè)輔助方程，將該式代入上式，整理后得

則

5.5.2等效法分析

保留原電路中與待求變量有關(guān)的局部電路，先對(duì)電路的剩余部分進(jìn)行等效化簡(jiǎn)，然后將化簡(jiǎn)后的部分電路與保留的局部電路重新組合，并分析得到待求變量的解的方法稱為等效分析法。等效分析法適用于求解電路中的部分變量。

【例5.5-3】正弦穩(wěn)態(tài)相量模型電路如圖5.5-3(a)所示，

已知Z1=Z2=－j30Ω,Z3=30Ω,Z=45Ω,求

。

圖5.5-3例5.5-3圖

【解】畫(huà)戴維南等效電路如圖5.5-3(c)所示。

開(kāi)路電壓:

等效電阻:

Zo=Z1∥Z3+Z2=(15－j45)Ω

則可求得

5.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

5.6.1復(fù)功率

在引入復(fù)功率的概念之前，我們先介紹單口電路的瞬時(shí)功率、平均功率(有功功率)和無(wú)功功率的概念。如圖5.6-1(a)所示的單口電路N，其端口電流i、電壓u采用關(guān)聯(lián)參考方向。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè)端口電流、電壓分別為

式中,φ=ψu(yù)－ψi,是端口電壓超前于電流的相位。(5.6-1)(5.6-2)

在任一時(shí)刻t，電路N

的瞬時(shí)吸收功率(簡(jiǎn)稱瞬時(shí)功率):

(5.6-3)(5.6-4)

畫(huà)出i、u

和p的波形如圖5.6-1(b)所示。由圖可見(jiàn)，隨著電流i和電壓u的變化，瞬時(shí)功率p(t)有時(shí)為正，有時(shí)為負(fù)。當(dāng)u>0，i>0或u<0，i<0時(shí)，p(t)>0，說(shuō)明此時(shí)電路N從外電路吸收功率：當(dāng)u>0，i<0或u<0，i>0時(shí)，p(t)<0，此時(shí)電路N向外電路發(fā)出功率。圖5.6-1單口電路的瞬時(shí)功率

式(5.6-3)還表明，單口電路的瞬時(shí)功率由兩部分組成：一部分是恒定量，且始終大于或等于零()，它是瞬時(shí)功率中的不可逆部分，表示在任一時(shí)刻，電路N均存在大小為UIcosφ的吸收功率；另一部分隨時(shí)間t

的增長(zhǎng)按正弦規(guī)律變化，其值正負(fù)交替，其角頻率為2ω。顯然，在電流或電壓的一個(gè)周期內(nèi)，這部分吸收功率的平均值為零。這一結(jié)論也是容易理解的，以無(wú)源單口電路為例，設(shè)其等效阻抗為Z，通常由電阻和電抗分量組成。在p(t)>0時(shí)，由外電路輸入單口電路的能量，一部分由電阻分量消耗，另一部分以電場(chǎng)能量或磁場(chǎng)能量形式存儲(chǔ)在電抗分量中。在p(t)<0時(shí)，原來(lái)存儲(chǔ)在電抗分量中的能量將交還給外電路。在能量交換過(guò)程中，電阻分量始終消耗能量。因此就單口電路整體而言，討論正弦穩(wěn)態(tài)功率時(shí)，除考慮電路中電阻分量的能量消耗外，還需考慮電抗部分與外電路之間能量的交換情況。

瞬時(shí)功率的實(shí)際意義不大，且不便于測(cè)量。因此在工程上常用下面幾種功率。

1.平均功率P

單口電路的平均功率又稱有功功率，它是瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值，即

式中,T

為正弦電流(或電壓)的周期。在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，平均功率除與電壓、電流的有效值有關(guān)外，還與電壓、電流的相位差有關(guān)。平均功率的單位是瓦(Ｗ)。(5.6-5)如果電路N為無(wú)源電路，則在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可將它等效成阻抗Z，此時(shí)電壓、電流的相位差φ等于阻抗角φz，式(5.6-5)可寫(xiě)為

P=UIcosφz=Sλ

(5.6-6)

式中:

λ=cosφz

(5.6-7)

S=UI

(5.6-8)

λ稱為功率因數(shù)；S稱為視在功率，其單位為伏安(V·A)。如果單口電路N是純電阻電路，則φz=0，P=UI；如果N

是純電抗電路，則由于，因此P=0。

對(duì)于電阻性電氣產(chǎn)品或設(shè)備，由于φz=0，λ=1，因此其額定功率常以平均功率形式給出，例如10W節(jié)能燈、600W電水壺等。但對(duì)于發(fā)電機(jī)、變壓器這類設(shè)備，其功率因數(shù)大小取決于負(fù)載情況，因此額定功率以視在功率形式給出，表示設(shè)備允許輸出的最大功率容量。例如，某發(fā)電機(jī)標(biāo)稱的額定功率為5kV·A，就是指該設(shè)備的視在功率S=5kV·A。如果負(fù)載為純電阻，則發(fā)電機(jī)正常運(yùn)行時(shí)可以輸出5kW有功功率；如果外接電感性負(fù)載，設(shè)λ=0.7，那么發(fā)電機(jī)只能輸出3.5kW有功功率。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，為了充分利用設(shè)備的功率容量，應(yīng)盡可能地提高功率因數(shù)。

2.無(wú)功功率Q

在工程中還引用無(wú)功功率的概念，用大寫(xiě)字母Q表示，定義為

Q=UIsinφ(5.6-9)

它是單口電路內(nèi)部與外界能量交換的最大速率。為了與平均功率相區(qū)別，無(wú)功功率的單位是乏(var)。如果電路N為無(wú)源電路，φ=φz，則式(5.6-9)可寫(xiě)成:

Q=UIsinφz(5.6-10)

顯然，當(dāng)N為電阻性電路時(shí)，Φz(mì)=0，Q=0，表示N與外電路沒(méi)有發(fā)生能量交換現(xiàn)象，流入N的能量全部被電阻消耗；當(dāng)N為電感性電路時(shí)，φz>0，Q>0；當(dāng)N為電容性電路時(shí)，φz<0，Q<0。后兩種情況中，Q≠0，表示電路N與外電路之間存在能量交換現(xiàn)象。

3.復(fù)功率

工程上為了計(jì)算方便，將有功功率P

與無(wú)功功率Q

組成復(fù)功率，用表示，其定義為

(5.6-11)

復(fù)功率的單位是伏安(V·A)。將式(5.6-5)和式(5.6-9)代式(5.6-11)中，可得

式中,為端口電流相量的共軛值。(5.6-12)

若電路N為無(wú)源單口電路，φ=φz，則式(5.6-12)可表示為

引入復(fù)功率后，可以直接利用電流、電壓相量計(jì)算功率。復(fù)功率使平均功率、無(wú)功功率、視在功率和功率因數(shù)的表示和計(jì)算更為簡(jiǎn)便。但應(yīng)注意，復(fù)功率只是一個(gè)計(jì)算量，它不代表任何物理意義。(5.6-13)

【例5.6-1】圖5.6-2(a)所示的負(fù)載電路接在220V、50Hz的正弦電源上。已知R1=50Ω，R2=2Ω，L=10mH。

(1)求負(fù)載電路的平均功率、無(wú)功功率、視在功率、功率因數(shù)和電源電流。

(2)若功率因數(shù)λ<0.85，則應(yīng)在負(fù)載電路a、b端并接多大電容C，才能使功率因數(shù)提高到0.85?試計(jì)算此時(shí)的電源電流(要求保持負(fù)載電路的平均功率不變)。圖5.6-2例5.6-1圖

【解】(1)畫(huà)出電路相量模型,如圖5.6-2(b)所示。設(shè)電源V，則的共軛值為

復(fù)功率：

所以電路的平均功率、無(wú)功功率和視在功率分別為

P=7.97kW,Q=11kvar,S=13.6kV·A

電路功率因數(shù):

λ＝cosφz=cos54.1°≈0.59

(2)設(shè)電路并接電容后的功率因數(shù)角為，總電流為，則

由可得

根據(jù)相量圖5.6-2(c)，求得電容電流:

由于

IC=UsωC

所以計(jì)算結(jié)果表明，原電路呈電感性，其功率因數(shù)為0.59，電源電流為62A。并接電容元件后，功率因數(shù)提高至0.85，電源電流降低為42.6A。在電力系統(tǒng)中，電源電流變小，意味著輸電線損耗減少。根據(jù)平均功率P=UIcosφz，為保證負(fù)載獲得一定功率且減小線路電流，就應(yīng)提高電壓U和功率因數(shù)cosφz。因此，高壓輸電和提高功率因數(shù)是電力系統(tǒng)降低損耗、提高輸電效率的重要措施。5.6.2最大傳輸功率

在信號(hào)處理等實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常需要從有源單口電路中提取出最大功率。如圖5.6-3(a)所示，在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，一個(gè)有源單口電路向阻抗為ZL的負(fù)載傳輸功率，下面討論負(fù)載獲得最大功率的條件。根據(jù)戴維南定理，圖5.6-3(a)可簡(jiǎn)化為圖(b)所示的等效電路。圖5.6-3最大功率傳輸條件

設(shè)等效電源的電壓相量為，等效電源的內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jXs，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL。由圖(b)可知，電路中的電流:

其有效值為(5.6-14)

所以負(fù)載獲得的功率:

下面分兩種情況討論負(fù)載改變時(shí)，從給定電源獲得最大功率的條件以及獲得的最大功率。(5.6-15)

1.共軛匹配條件

設(shè)負(fù)載阻抗中的RL、XL均可獨(dú)立改變，即模與幅角均可變。由式(5.6-15)可見(jiàn)，若先固定RL，只改變XL，則因(Xs+XL)2是分母中非負(fù)值的相加項(xiàng)，故Xs+XL=0時(shí)PL達(dá)最大值，把此條件下PL的最大值記為PLm，則有

(5.6-16)在固定XL=－Xs的條件下，再改變RL，使PLm達(dá)最大。為此，可求出PLm對(duì)RL的導(dǎo)數(shù)并令其為零，即

式中,Us及分母項(xiàng)均非零，所以有：

(Rs+RL)2－2RL(Rs+RL)=0

解得

RL=Rs

當(dāng)RL和XL均可獨(dú)立改變時(shí)，負(fù)載獲得最大功率的條件為

(5.6-17)式(5.6-18)稱為負(fù)載從給定等效電源獲得最大功率的共軛匹配條件。將該條件代入式(5.6-16)，求得負(fù)載吸收的最大功率為

(5.6-18)

2.模值匹配條件

設(shè)等效電源內(nèi)阻抗和負(fù)載阻抗分別為

(5.6-19)式中，|Zs|、ψs為電源內(nèi)阻抗的模和輻角；|ZL|、ψL為負(fù)載阻抗的模和輻角。將Zs和ZL代入式(5.6-15)，得負(fù)載吸收功率:(5.6-20)設(shè)負(fù)載阻抗角ψL固定，模值|ZL|可以改變。因?yàn)槭?/p>

(5.6-20)中只有分母中前面兩項(xiàng)與有|ZL|有關(guān)，所以若能使這兩項(xiàng)的和值最小，則負(fù)載吸收功率PL將達(dá)最大。于是，將這兩項(xiàng)對(duì)|ZL|求導(dǎo)并令其為零，即

解得

將式(5.6-21)代入式(5.6-20)得此時(shí)負(fù)載的吸收功率為

在固定ψL且允許改變|ZL|的情況下，當(dāng)負(fù)載阻抗的模值等于電源內(nèi)阻抗的模值時(shí)，負(fù)載阻抗可以獲得最大功率PLm2。式(5.6-21)稱為模值匹配條件。(5.6-21)

(5.6-22)

如果負(fù)載為純電阻RL，則可把選RL使負(fù)載獲得最大功率的問(wèn)題看成是模值匹配的特殊情況。按式(5.6-21)選取電阻值為

時(shí)，就可獲得最大功率。式(5.6-22)中令ψL=0，求得該最大功率為

(5.6-23)

(5.6-24)

【例5.6-2】如圖5.6-4(a)所示的電路，在下列情況下，負(fù)載阻抗為何值時(shí)能獲得最大功率?試計(jì)算該最大功率。

(1)負(fù)載為純電阻RL，其值可以任意改變。

(2)負(fù)載為電感性阻抗，其輻角ψL=30°(固定)，模值|ZL|可以改變。

(3)負(fù)載為電容性阻抗，其輻角ψL=

－30°(固定)，模值|ZL|可以改變。

(4)負(fù)載阻抗ZL的模值|ZL|和輻角ψL均可獨(dú)立改變。

【解】自a、b處斷開(kāi)ZL，得到單口電路如圖(b)所示。利用串聯(lián)電路分壓公式求得等效電源開(kāi)路電壓(參考方向如圖中所示)：

將圖(b)中的電壓源短路，應(yīng)用阻抗串并聯(lián)等效，求得等效電源內(nèi)阻抗:

于是，畫(huà)出戴維南等效電路如圖(c)所示。圖5.6-4例5.6-2圖

(1)負(fù)載為純電阻時(shí)，根據(jù)模值匹配條件可知，當(dāng)RL=|Zs|=5Ω時(shí)，負(fù)載獲得最大功率。這時(shí)，流經(jīng)負(fù)載的電流為

其有效值：

因此，負(fù)載吸收的功率：或由式(5.6-24)得：

(2)記電感性負(fù)載阻抗

，其中|ZL|可變。根據(jù)模值匹配條件，當(dāng)ZL=|Zs|=5Ω時(shí)，負(fù)載|ZL|吸收功率最大，其值由式(5.6-22)確定，考慮到ψL=30°，故有

(3)記電容性負(fù)載阻抗，其中|ZL|可變。按照情況(2)中同樣的理由，當(dāng)|Zs|=5Ω時(shí)，可獲得最大功率:

(4)此時(shí)，負(fù)載阻抗的模值和輻角均可獨(dú)立改變，由共軛匹配條件可知，當(dāng)時(shí)，負(fù)載吸收功率最大。由式(5.6-18)得

求解結(jié)果表明，前面三種情況下的負(fù)載均滿足模值匹配條件，在等效電源一定時(shí)，負(fù)載獲得的最大功率值取決于電源內(nèi)阻抗與負(fù)載阻抗之間的輻角差值。第四種情況下的負(fù)載滿足共軛匹配條件，此時(shí)將獲得真正“最大”的吸收功率。一般來(lái)說(shuō)，模值匹配條件下的最大功率PLm1要小于共軛匹配時(shí)的最大功率PLm1。

5.7串聯(lián)電路的諧振

在具有電感和電容元件的電路中，電路兩端的電壓與其中的電流一般是不同相的。如果我們調(diào)節(jié)電路的參數(shù)或電源的頻率使它們同相，這時(shí)電路中就會(huì)發(fā)生諧振現(xiàn)象。對(duì)圖5.7-1所示的RLC串聯(lián)組合，可寫(xiě)出其阻抗為

Z的電抗成分X與ω有關(guān)，當(dāng)外加的信號(hào)頻率使得電抗X=0時(shí)，稱電路發(fā)生諧振現(xiàn)象。因?yàn)榘l(fā)生在串聯(lián)電路中，所以稱為串聯(lián)諧振。使電路產(chǎn)生諧振的頻率稱為諧振頻率。串聯(lián)諧振電路的諧振頻率為

(5.7-1)

即當(dāng)電源頻率f與電路參數(shù)L和C之間滿足式(5.7-2)的關(guān)系時(shí)，發(fā)生諧振。可見(jiàn),調(diào)節(jié)L、C或電源頻率f均能使電路發(fā)生諧振。

圖5.7-2畫(huà)出了電抗X隨f變化的曲線。其中,XL為感抗，XC為容抗，而總電抗X=XL+XC。當(dāng)f<f0時(shí)，XL<|XC|，X<0，阻抗Z呈容性；當(dāng)f>f0時(shí)，XL>|XC|，X>0，阻抗Z呈感性；當(dāng)f=f0時(shí)，Z=R,為純電阻。(5.7-2)

圖5.7-1串聯(lián)諧振電路圖5.7-2電抗曲線串聯(lián)諧振具有下列特征：

(1)電路的阻抗模，其值最小。

電路中的電流為

因此，在電源電壓不變的情況下，電路中的電流將在諧振時(shí)達(dá)到最大值。

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相，因此電路對(duì)電源呈現(xiàn)電阻性。電源供給電路的能量全被電阻所消耗，電源與電路之間不發(fā)生能量的互換。能量的互換只發(fā)生在電感線圈與電容器之間。

(3)由于XL=XC，因此UL=UC。與在相位上相反，互相抵消，對(duì)整個(gè)電路不起作用，因此電源電壓

。但是，和的單獨(dú)作用不容忽視，因?yàn)?5.7-3)當(dāng)XL=XC>R時(shí)，UL和UC都高于電源電壓Us。當(dāng)電壓過(guò)高時(shí)，可能會(huì)擊穿線圈和電容器的絕緣層。因此，在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。但在無(wú)線電工程中則常利用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓，電容或電感元件上的電壓常高于電源電壓幾十倍或幾百倍。所以,串聯(lián)諧振也稱電壓諧振。

UL或UC與電源電壓U的比值通常用Q來(lái)表示，即

Q稱為電路的品質(zhì)因數(shù)。在式(5.7-4)中，它表示的意義是在諧振時(shí)電容或電感元件的端電壓是電源電壓的Q倍。例如,Q=200，U=5V，那么在諧振時(shí)電容或電感元件上的電壓就高達(dá)1000V。

串聯(lián)諧振在無(wú)線電工程中應(yīng)用較多，如在接收機(jī)里被用來(lái)選擇信號(hào)和抑制干擾等。

(5.7-4)

【例5.7-1】將一線圈(L=4mH，R=50Ω)與電容器(C=160pF)串聯(lián)，接在U=25V的電源上。

(1)當(dāng)f0=200kHz時(shí)發(fā)生諧振，求電流與電容器上的電壓；

(2)當(dāng)頻率增加10%時(shí)，求電流與電容器上的電壓。

【解】(1)當(dāng)f0=200kHz電路發(fā)生諧振時(shí):

(2)當(dāng)頻率增加10%時(shí)：

可見(jiàn),偏離諧振頻率10%時(shí)，I和UC就大大減小。

5.8并聯(lián)電路的諧振

對(duì)圖5.8-1所示的RLC并聯(lián)組合，可寫(xiě)出其阻抗為

(5.8-1)

當(dāng)將電源角頻率ω調(diào)到ω0時(shí)，，

或時(shí)，發(fā)生并聯(lián)諧振。并聯(lián)諧振具有下列特征：

(1)由式(5.8-1)可知，諧振時(shí)電路的阻抗模為

其值最大，因此在電源電壓U一定的情況下，電流I將在諧振時(shí)達(dá)到最小值，即

阻抗模與電流的諧振曲線如圖5.8-2所示。

(5.8-2)(5.8-3)

圖5.8-1并聯(lián)諧振電路圖5.8-2|Z|和I的諧振曲線

(2)由于電源電壓與電路中的電流同相(φ=0)，因此電路對(duì)電源呈現(xiàn)電阻性。諧振時(shí)電路的阻抗模|Z0