《電路分析基礎(chǔ)》課件1第8章

8.1LC電路中的正弦振蕩

8.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

8.3GLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)

8.4一般二階電路的分析

第8章二階電路分析

我們首先研究僅由一個電容和一個電感組成的電路，設(shè)電容的初始電壓uC(0－)=U0，電感的初始電流iL(0－)=0，如圖8-1所示。若開關(guān)在t=0時閉合，考慮開關(guān)閉合后的零輸入響應(yīng)uC(t)和iL(t)。8.1LC電路中的正弦振蕩圖8-1LC電路對電路做定性分析可知：

(1)當t=0+時uC(0+)=U0，iL(0+)=0；

(2)當0<t<t1時電容放電，uC(t)↓，iL(t)↑；

(3)t=t1時，uC(t1)=0，iL(t1)=I0;

(4)當t1<t<t2時，電感電流不能跳變，電感對電容反向充電，iL(t)↓，uC(t)負上升；

(5)當t=t2時,uC(t2)=－U0，iL(t2)=0；

(6)當t2<t<t3時，電容對電感放電，|uC(t)|↓，iL(t)反向增大；

(7)當t=t3時，uC(t3)=0，iL(t3)=－I0。如此循環(huán)得波形如圖8-2所示?？梢姡捎陔娔芎痛拍芟嗷マD(zhuǎn)換，電路兩端的電壓及電流不斷改變大小和方向——產(chǎn)生電磁振蕩。電磁振蕩現(xiàn)象是電能和磁能相互轉(zhuǎn)換的結(jié)果。圖8-2uC(t)和iL(t)的波形由電路圖8-1有

(8-1)

(8-2)

將式(8-2)代入式(8-1)得

(8-3)將式(8-1)代入式(8-2)得

(8-4)

式(8-3)和式(8-4)的特征方程均為

(8-5)

特征根均為

(8-6)故

(8-7)

將初始值

，

代入式(8-7)有

解得

所以

(8-8)可以得到以下結(jié)論：

(1)無耗的LC電路，在初始儲能作用下產(chǎn)生等幅振蕩。(2)振蕩周期由LC確定。振蕩角頻率。

(3)振蕩幅度與初始儲能uC(0+)和iL(0+)有關(guān)。

在圖8-3的RLC串聯(lián)電路中，已知uC(0－)=U0，iL(0－)=0，t=0時開關(guān)閉合，分析t≥0后uC(t)和iL(t)。8.2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)圖8-3零輸入RLC電路

t≥0時由KVL得

uL(t)+uR(t)+uC(t)=0

即

(8-9)因為

故式(8-9)為

(8-10)特征方程為

LCs2+RCs+1=0

(8-11)

特征根為

(8-12)

令，，有

(8-13)則

(8-14)

下面討論：

(1)若α>ω0，特征根為不相等的負實根，則

，t≥0

uC(t)按指數(shù)衰減，非振蕩過程，稱為過阻尼。

(2)若α=ω0，特征根為相等的負實根，則

，t≥0

是臨界過程，稱為臨界阻尼。

(3)若α<ω0，特征根為一對實部為負值的共扼復(fù)根。令，，則s1,2=－α±jωd，解為

或

，t≥0

1.過阻尼α>ω0(R2>4L/C)

在圖8-3所示電路中，令L=1H，R=3Ω，C=1F，

uC(0－)=0V，iL(0－)=1A，求t≥0時的uC(t)、iL(t)。

解因為，,α>ω0，故特征根為微分方程的解為

，t≥0①

由題已知

代入①式可得

uC(0+)=K1+K2=0

uC′(0+)=s1K1+s2K2=1

解得

所以

相應(yīng)的波形如圖8-4所示。圖8-4uC和iL的波形

2.臨界阻尼α=ω0(R2=4L/C)

在圖8-3所示電路中，令，R=1Ω，C=1F，uC(0－)=－1V，iL(0－)=0A，求t≥0時的iL(t)。

解因為,

,α=ω0,故特征根為

微分方程的解為

，t≥0①

由題已知

代入①式可得

iL(0+)=K1=0

iL′(0+)=s1K1+K2=4

解得

所以

iL(t)=4te－2t，t≥0

相應(yīng)的波形如圖8-5所示。圖8-5臨界阻尼時的零輸入響應(yīng)iL的波形

3.欠阻尼α<ω0(R2<4L/C)

在圖8-3所示電路中，令L=1H，R=1Ω，C=1F，uC(0－)

=1V，iL(0－)=1A，求t≥0時的uC(t)。

解因為,

,α<ω0，令，故特征根為

微分方程的解為

，t≥0①

由題已知

代入①式可得

解得

所以

相應(yīng)的波形如圖8-6所示。圖8-6欠阻尼時的uC、iL波形如圖8-7所示GLC并聯(lián)電路，設(shè)iL(0－)=I0，不難得到微分方程

(8-15)8.3GLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)將方程(8-15)與RLC串聯(lián)電路的方程(8-10)對比可知，兩電路具有對偶性質(zhì)。不難得到

圖8-7GLC并聯(lián)零輸入電路

【例8-1】如圖8-8所示電路,已知L=1H，C=1F，R1=1Ω，R2=10Ω，us=10V，uC(0－)=1V，iL(0－)=1A，求t≥0時的uC(t)。8.4一般二階電路的分析圖8-8例8-1圖

解

(1)編寫電路微分方程。

該支路電流參考方向如圖8-8(a)所示。由KCL、KVL及元件的VAR得方程如下

us=R1i+uC

①

②

③將③式代入①式得

④

由④式解出iL，代入②式，整理并代入元件值得電路的微分方程為

⑤

(2)求解響應(yīng)。

先求初始值uC(0+)和uC′(0－)。由題意有uC(0+)=uC(0－)=1V，當t=0+時電路如圖8-8(b)所示，可得

求微分方程的齊次解uCh(t)，對應(yīng)的特征方程為

s2+11s+11=0

解得特征根為s1=－1.12，s2=－9.89，故

uCh(t)=K1e－1.12t+K2