寧波大學(xué)理學(xué)院871高等代數(shù)考研強(qiáng)化模擬題

2017年寧波大學(xué)理學(xué)院871高等代數(shù)考研強(qiáng)化模擬題(一)說明：①本資料為VIP學(xué)員內(nèi)部使用，嚴(yán)格按照2017考研專業(yè)課大綱及歷年?？碱}型出題。 一、填空題設(shè)、為工2卜尸+事=1的外側(cè)，則+1)如位+)(_/+l)dNdx+z(/+1)<Lrdy=【答案】礬【解析】利用高斯公式得+】)/dr=?-y+z2)+3]dv(其中nu2+?+?<]> 設(shè)錐面z=與半球面圍成的空間區(qū)域，￡是。的整個(gè)邊界的外側(cè)，貝IIxdydz+ydzdx+zdxdy= 【答案】(2—j2)7tR3+>dzdx+zdxdy=j|J(l+1+l)dvS n=3jd。]'d"r2sin(pdr(2-V2)7tR33.設(shè)C為上半圓周 y=42x~?從。(0，。)到人(2,0)的弧段，-2y)dx+(x2-V)yeyZdy= 【答案】2-六【解析】補(bǔ)線段布則2>)dx+(x2 1>>^d>[(xe>2-2》)&+(x22>)dx+(x2 1>>^d>(工/'—2少L十(工2—Dy/'d)一I(xe,ic+WJ 志=-用曲-jxdi4.若函數(shù)KxBE方程廣(x)+尸(x)-2f(x)=0及/〃(x)+f(x)=2ex,則Kx)= 【答案】e 【解析】由題意知’函數(shù)f(x)的特征方程為『+「一2=0,則特征根為n=i，乓=一2,故齊次微分方程.尸(x)+r(x)-2f(x)=0的通解為f(x)=Clex+C:e2r,CPC2為任意常數(shù)。再由f(x)+f(x)=2ex得2(7打一弓檢=2"可知q=l,C2=0.故f(x)=e\設(shè)曲線C為圖『+)，2=R2,則線積分"尸”2+『枷= c【答案】2牌【解析】§2巧&=0(奇偶性，對(duì)稱性)C+y+2書)ds=§(/+y2)ds=&2ds=R2?2itR=2江肥c設(shè)讓=(1.2.1J.OS-(-2,-1.1｝則以京,冶為邊的平行四邊形的面積為 【答案】373【解析】由于以兩個(gè)向量為邊的平行四邊形的面積，等于這兩個(gè)向量的向量積的模，貝|応T,oB的向量積為i Jkr)A=1 2 l=3i-3/+3A2 11故以瓜,漆為邊的平行四邊形的面積，即為京，漆的向量積的模 |O4XOB|=v/3f+(-3),+3,=3>/37.曲線\，=X2+X(X<0)上曲率為生的點(diǎn)的坐標(biāo)是 2【答案1(-1.0)【解析】將y'=2x+l.礦'=2代入曲率計(jì)算公式，有K=ly"— 2一(2嚴(yán)卩心+驢］廠2整理有(2x+1)2=1.解得x=0或-1,又xv0,所以x=-1.這時(shí)y=0故該點(diǎn)坐標(biāo)為(10)8.函數(shù)/(x,.y)=x2.y(4-x-y)S由直線；r+y=6,'軸和y軸所圍成的閉區(qū)域D上的最小值為 【答案】-64【解析】由

=2書=2書(4一H—>)—a^y=0得區(qū)域D內(nèi)駐點(diǎn)(2,11在邊界y=0(0W工W6)上，z=0：在邊界i=0(0W.y<6)上，z=0：在邊界z+y=6 6)上z=2xs—12/(0<iW6>’紜=6?-24工。令睛=°，得1=4,此時(shí))=2,八4,2)=—64,八2,1)=4,/(0,0)=0,則Z=f(X,y)在D上的最大(2,1)=一4,最小值為f(4,2)=一64。9.設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為「=%3仞-冬0片)，則L所圍平面圖形的面積是-【答案】§【解析】A=顎產(chǎn)⑹cos2^d^lfjcos2曲=%。10.設(shè)曲面|工|+|刃+|/|=1，則g(i+l刃〉dS=【答案】號(hào)有【解析】由于X是關(guān)于X的奇函數(shù)，且積分曲面|1|+|y|+|紀(jì)|=1關(guān)于yOz對(duì)稱，故°0又因?yàn)榉e分曲面關(guān)于X,y,Z具有輪換對(duì)稱性，則°0又因?yàn)榉e分曲面關(guān)于X,y,Z具有輪換對(duì)稱性，則=iJ(§S(S為曲面面積〉=jX8X^二、選擇題11.f(x)可導(dǎo),F(x)=f(x)(l+|sinx|>則f(0)=0F(x)在x=0可導(dǎo)的(充分必要條件充分條件但非必要條件必要條件但非充分條件既非充分條件又非必要條件【答案】A【解析】(0)=limF(x)-F(0)x-0lim(0)=limF(x)-F(0)x-0lim￡Cr)<l+siar)-/(0)7 1=吧[施；+s半]=r(°〉+/(0).FC(0)=limF(g)_?(。)=]im六尖(】一siar)—之0)7 1—0I- 1=lim[及)嚴(yán))-/(x)平卜/(O)-/(0).當(dāng)f(0)=0時(shí)，mo)=F_(O)，反之當(dāng)《(0)=F「(0)時(shí)，/(0)=0,因此應(yīng)選(AI12.設(shè)平面n位于平面x—2>+z—2=0和平面_r一2y+z—6=0之間,且將二平面間的距離分成1:3,則n之方程為( Ii—2y+z—5=0或工一2y+z—3=0i+2y+w+8=0C?x+2y-4N=0D.x—2jr4-x—8=0【答案】A【解析】由于B、C兩項(xiàng)多給出的平面方程的各項(xiàng)系數(shù)與已知直線不同，故它們與已知直線不平行，故可排除B、C；D項(xiàng)平面與已知直線平行,但是不在兩平面之間(可由常數(shù)項(xiàng)-8任(-2-6)判斷岀)，故H滁D.-13.己知函數(shù)z=f(x,y)滿足京=2J(l,y)=y+Lf(1,y)=y+2,則f(x,y)=().A.x2+(y-l)x+2A.B.x2+(y+\)x+2B.x2+(y+\)x+2C.j+(y-l)x—2D.x2+(y+l)x-2D.【答案】A【解析】由扌j=2知祭=Rdi=2工+<p(y)，由厶(1,》)=了+1知y+1=2+?(’),=、一1,案=2了+(?—1)*=j[2x4-(y-l)]dx=x*+<>-Dx+^>(y).由/(l,y)=y+2知y+2=1+(y—1)歐(y)=2,t=x*+(y—1)x4-2.14.設(shè)lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(014.設(shè)lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(0t0)+2x-y=°則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處()?A.不連續(xù)連續(xù)但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不斑兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在但可微D可微【答案】DI- —/（0,0）-\-2x—y八［解析］由 =咖，-/（0,0）+2工一y=0（p〉（當(dāng)（x,y）一（0,0）時(shí)）八3）—，（。，0）=-2z+y+o（p）由微分的定義可知f（x）在點(diǎn)（0,0）處可微。15.已知。xS+Bxc+cxa=0則必有（ 1&b,c兩兩互相平行ab,c兩兩互相垂直Cab,c中至少有一個(gè)為零向量D.ab,c共面【答案】D【解析】由axi+fexc+cxa=0知（axb）c+（bxc）c+（cxa）c=0X（bxc）c+（cxa}c=0,則（axb）c=。故ab.c共面。16.設(shè)函數(shù)z=f（z,y快點(diǎn)（0.0）處連續(xù)，且心％_提）+廠七則（fx（0.0）不存在f,（0,0）存在但不為零f（x,y）在（0,0）點(diǎn)取極大值f（x,y）在（0,0）點(diǎn)取極小值【答案】C八工，y）【解析】解法一:由口知］二分虧=_2及f（x,y）在點(diǎn)（0,0）處的連續(xù)性知f（0,0）=0,而又由履％。>廠7奈泮虧LTV。及極限的保號(hào)性知存在（0,0）八工，y）― V01—cosvx24-y'而1—cos +丁>0,貝!］，（吋）V0,又f（0,0）=0由極值定頗f（X,y）在點(diǎn)（0,0）取極大值。解法二:由于當(dāng)（工。）-（0,。材1—cosvxM-y?yCx14->2)

iim*IXC）香咽福尊:中廨演陋4.6L邛(一)/國1=”p(s)/T邛I?jtj ?ij?jS'琢&翎還【少釦a［孝新頑*)/：ppjpxp(<^)/T<P°fDXU|J煩3)/JSj用.頃*)/"J?VX )匣"#)/rJ?MJ對(duì)￥傳推謝募?機(jī)(0?(0?0)/u= =a9(如)(心/心叩（”'勺4［罕國（J=叩（W）J『割，詛狗中好燈甲【鳥翻】0聞］21（0，0）」亍珪目丑幼（］

（0*0）J&珪目五％（0'0）JzL金目丑互日豐一玄V?（）。心次）/，早飼価德登壬迫丑”，）JgjwL頷三aav麴EM凰￥珍酒（o'o）草丑以，x）j曲紳劇*電目0=（0,0）7?初’土滂涇覇舌嬰驟習(xí)（"+產(chǎn)）一=（《‘，）/潴

。?拝【答案】C【解析】A【解析】A項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),因?yàn)橄魍烈?1史號(hào);

r=r<1'所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法可知*收斂:B法可知*收斂:B項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)'因?yàn)闉椤?1?+)~擊，又堂±是P級(jí)數(shù)，Pi收斂，根據(jù)比較判別法’知三斂，根據(jù)比較判別法’知三與叫1.土)收斂；C項(xiàng)lii/iyHI=y(?I，

MInn一=Innlii/i根據(jù)萊布尼茨判別法知辭收斂，M[卩發(fā)散，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂定義知,y?Fy?F福;—發(fā)散：D項(xiàng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?n+1)!lifiiIlifiiI(〃,1)!/Tn[7n!(E廣所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法￡丄收斂.n20b‘20b‘3-23-2a1--1設(shè)A.BGD.c均為單位向量，且a+b+c-O,則a?b+b?c+c?a等于(【答案】B【解析】由于a+b+c二0,則(a+b+c)(a+b+c)=0,即Q‘卜8'+c'+2(<l? + =0其中『=/=甘=1則a?b+6?c+c?G=—三、計(jì)算題21.設(shè)f(x)是周期為2n的函數(shù)，它在l-mQ上的表達(dá)式為.f°?xw[-n,0)/，X)=U,xe[0,.)將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。

【答案】f(X)滿足收斂定理的條件,且除了x=u(kEz)外處處連續(xù)。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxex【答案】f(X)滿足收斂定理的條件,且除了x=u(kEz)外處處連續(xù)。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxexsine*sinnxexcosnxdx'cosnxdx=—IcoszixdexirJO_(-1)七宣_1

(n2+1)ir而bn=丄Jf(x)sinnxdx=exsinnxdi=—(exsinnx

ITV于是sinmdp*ecos/(x)=n2+1 n2+1 JxgR\]kir\keZ.\.試決定曲線y=揷+bx2+cx+d中的a.b.c,d,使得x=-2處曲線有水平切線,(1,-10)為拐點(diǎn),且點(diǎn)(24,4)在曲線上?！敬鸢浮縴'=3ax2+2Z?x+c,yn=6ax+2b根據(jù)題意有y(-2)=44.礦(-2)=0,y(l)=-10.y"(l)=0廣2c+d=44、"2m,10?16a+26=0,解此方程組得a=1,b=-3,c=-24,d=16o/V2,2.在第一卦限內(nèi)作橢球面m+很+w=1的切平面，使該切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積最小.求這切平面的切點(diǎn)’并求此最小體積.【答案】徹點(diǎn)為MEo.y。％)，F(xiàn)3j,z)=￡+*+§-1abc〃=（""）=（務(wù)餐號(hào)）曲面在點(diǎn)M處的切平面方程為專（耳-?0）+汐，-y＜））+，z-z0）=0即xoxrorzoz.r+r+ =1a2b2c22l22于是’切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距依次為一，——?——，切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四xoToz0面體的體積為V二丄.些6WqZo在WWg=I的條件下’求V的最小值’即求分母xyz的最大值。作拉格朗日函/b‘cL數(shù)▲3,y，z）=町］+入份+fl+乒-1）令=32+ =0a(9-II)L.=“+綽=0b"(9-12)(9-13)(9-11)?x+(9-12)?y+(9-13)?z，并由約束條件§+ =1，得x2/=^=±q2b2c23從而ab c于是,得可能極值點(diǎn)?”信會(huì)3）。由此問題的性質(zhì)知，所求的切點(diǎn)為"（言萬房），

四面體的最小體積為V=Qabc24.求球面，+y2+?=/含在圓柱面/+,2=q?內(nèi)部的那部分面積?！敬鸢浮咳鐖D所示，上半球面的方程為z=/a2-y2o由曲面的對(duì)稱性得所求面積為TOC\o"1-5"\h\z25.求通過點(diǎn)A(3,0,0)和B(0,0,1)且與xOy面成了靜的平面的方程.X ， Z［答案］設(shè)所求平面方程為一+ ］a b c平面過點(diǎn)A(3,0,0),B(0,0,I),故a=3,c=1.這樣平面方程為它與xOy面成靜，故毎“"I故所求平面為x+^26y+3z=3或％-y26y+3z=3.四、證明題26.ffi-ABC的BC邊五等分，設(shè)分點(diǎn)依次外，〃2?3，以，再把各分點(diǎn)與點(diǎn)A連接.試以屆*，BC二a表示向量,舊，驀'和如【答案】如圖所示，由題意知8D；= =!<1.。2房=ya,D3D^=ya所以D|4=—(+BDI)=-■:a-c=-(4^+HD^)=—a-c-(AR^BD^)=■-ya-cD^A=_(扁+殞)=-^-a-c27.試證函數(shù)F(x,y)=lnx-Iny滿足關(guān)系式F(xy.uv)=F(?tu)+F(x,v)?F(y.u)?F(y.ir)【答案】由題意，得F(.tv,uv)=In(xy)?ln(ui)=(hi.r+Inv)(Inn+hn)=In.v,Inu+In.r?Inr+hiv,\nu+Inv?InrF(x.u)+F(x.v)+F(y.h)+F(y.v)

28.設(shè)f(x)在2，正)內(nèi)連續(xù)，且Iim/(x)=le證明函數(shù)滿足微分方程4—eU牛+y=/(x),并求limy(x)。dx【答案】=e~xVeKf(t)dt+e'x-exf(x)=-y+f(x)dxJ()因此,匸”(兩=J：ey(g+J；e*/(f)d/>fe7(r)dz+J；|e^dr=『<f(f)df+ (工一X。)，故當(dāng)xT+oc時(shí)，從而利用洛必達(dá)法則，有[：/力 exf(x)limy(x)=lim =lim =1Xfg I4<? 礦 Kffg]29.驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)'=lnsinx在區(qū)間偉專上的正確性?！敬鸢浮亢瘮?shù)f(x)=lnsinx在［誇］上連續(xù),在(完)內(nèi)可導(dǎo),又/■(#)=臨嶗=In扣俘)=Insin*Inj.30.證明：(1)由平面圖形旋，0<y</(x)(x),繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V=2^￡xf(x)dx0(2)利用(1)30.證明：(1)由平面圖形旋，0<y</(x)(x),繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為V=2^￡xf(x)dx0(2)利用(1)的結(jié)論，計(jì)算曲線y=sinx(O&或廂x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體積。【答案】(1)取橫坐標(biāo)x為積分變量，在與區(qū)間［&b］上任一小區(qū)間［x,x+dx］相應(yīng)的窄條圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體近似于一圓柱殼，柱殼的高為f(x),厚為dx,底面圓周長為2nx,故其體積近似等于hxf'x)dx,從而由元素法即得結(jié)論。(2)V=2兀ja-sinxdx=/jsinxdx=2tt2.2017年寧波大學(xué)理學(xué)院871高等代數(shù)考研強(qiáng)化模擬題（二）說明：①本資料為VIP學(xué)員內(nèi)部使用，嚴(yán)格按照2017考研專業(yè)課大綱及歷年?？碱}型出題。一、填空題1.已知級(jí)數(shù)￡寸孕二收斂，則a應(yīng)滿足【答案】a>j【解析】由于+1lim+1lim—lim尊旦則原級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)習(xí)土同斂散，而當(dāng)且僅當(dāng)2-*時(shí)級(jí)數(shù)笠上才收斂。2.=12.=1，取逆時(shí)針方向,貝虬（9/+府）（卜協(xié)+裕）【答案】216n【解析】1=Jc(9x2*4/)(|,|&"d>)=36fc(7*j)(lyldx^xdy)

=36jcl》|dx+舛解法一：再用參數(shù)方程化為定積分：x=2cos￡)=3smt,￡e[0,27r],則有/=36I[3|?inr|2(-sinr)?2com/?3coM]<lr36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0?”36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0?”)=2I6tt解法二：為了去掉絕對(duì)值，把c分成兩段：q（i=L2）,分別位于上半平面與下半平面，并配上坐標(biāo)軸部分，分別構(gòu)成閉曲線4（1=1，2），均為逆時(shí)針方向，見下圖。2 236gjyIdx?xdy=36R'|y|<lx?idy其中坐標(biāo)軸部分取積分兩次，但方向相反抵消了。W=l，2)圍成的區(qū)域記為4?=1,2),它們的面積相等為3兀在2(uL2)上用格林公式得/=36(jydx?xdy?J-ydx?xd>)=36(Jo<la?Jldcr)=36x2x3u=2l6n解法三：直接利用對(duì)稱性C關(guān)于X軸對(duì)稱,P(x,y)=\y\對(duì)y為偶函數(shù)，貝Ijjc^x=o于是原積分=Jc36移=216兀3.函數(shù)y=火］)由方程In山+寸=arctan乎所確定’則謬=【答案］2尸+匕)【解析】構(gòu)造函數(shù)FGr,y)=yln(x2+/)-arctan。則■T —,/工.業(yè)=_烏=-Z±Z_1±(2^L=山drF,y 】/z x—>N+bl+(yWcfy=仁+」｝'=(1+」)(〔一>)-(i+y)(l一J)=2(/+/)<Lr:~\j--yL- (x-y): <x-y)Jt—1y—22—3 X+2y—1z4.設(shè)有直線L】:〒=%-=-q-,&飛一=%—=廠則過Li且與L2平行的平面方程為【答案】(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0【解析】設(shè)所有平面的法向S^k,由題設(shè)知：mix“」10i21

由于所求平面過1,則點(diǎn)(1,2,3)在所求平面上，則所求平面為(x-l)-3(^-2)f(r-3)=0.5.級(jí)數(shù)￡名的和為 fl=iJ9【答案】y【解析】令則有S(x)= ,(lx|<1)?-1 援目則有S(x)= ,(lx|<1)?-1 援目=蜻-嚀6.1血(2-業(yè)約%—°I。x【答案】Jx-ta(Ux)【解析】晚［2.嘩邛啊半)］律「r哩單』7.設(shè)￡=-3吁)+R(于)’其中f、g均可微,則靜= 【答案】必+y,-/‘【解析】設(shè)廠|為函數(shù)/(如V風(fēng)第一中間變量的偏導(dǎo)，廣2為函數(shù)f(払V)對(duì)第二中間變量的偏導(dǎo)，g'為函數(shù)g對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。貝uJn_a/(_ry口/y)〔3—*/工)M Bx=fi?y+gz(—y/r1)=f一聲，8.(1)函數(shù)f(x)在［a,b］上有界是f(x)在［a,b］上可積的 條件，而f(x)在［a,b］上連續(xù)是f(x)在［a,b］上可積的 條件；(2)對(duì)［a,E)上非負(fù)、連續(xù)的函數(shù)f(x),它的變上限積分［7(。力在［a,E)上有界是反常積分［'fMdx收斂的 牛。

（3）絕對(duì)收斂的反常積分'/⑴心一 °【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收斂y為有9.第二類曲線積分+Qdzdx+Rdxdy化成第 類曲面積分是 ,其中a,向曲面乏在點(diǎn)〈X，y,z）處的 y為有【答案】JJ（Pcosa+Qcos"+/?cos〃dS,法向量。 10?間荷尸一【答案】y（V2-l） ［解析］晰分鴻，得J3K-^=d.r=甘：7^如=抑-1）二、選擇題11.有物質(zhì)沿函數(shù)X=IC：b=f/2(0<f<1)

?=e/3分布,其線密度為“=角，則它的質(zhì)量m=（ 1 A. A.￡/vTTTT^dz B.J\+—+廠山 C C?[+Hdf D.vTT7T?"d/【答案】A【解析】 yrr+yr+tfd/(1)xdy-ydxxdx+ydy(1)xdy-ydxxdx+ydy(3).. 12.下列曲線積分。⑵ Ix+y⑷ 中,有平面線D：x2+），2>0上與路徑無關(guān)的有（個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)1234A.B.C.D.【答案】Bfzdy—yAx dP<9Q【解析】對(duì)于］■+}在D內(nèi)雖有祈=而;成立。但不能斷定該線積分在D內(nèi)與路徑無關(guān)，因?yàn)镈不是單連通域，而§?？`'=§idy—<y&=jj(1+l)tLrd>=2芥尹0fxdv—ydx則線積分J=f車亍一在D上與路徑有關(guān)。而對(duì)于(2)和(3),由于普濬=diin(x2+皿竺竺些=d+y2 Vx2+y2idz+ydyfxdj+ydv即其被積式在d上是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，則線積分疽廠",匕..」在dfxdv+ydx上與路徑無關(guān)。而對(duì)線積分|「2*y2I，由于3,工、=工2+一一2了2=-T

d^x2+yz)_(x2+y)2_&2+—)23(y.=F+. 2,=了2一了2x2+y2)~ (x2+/)2 ~(x2+j2)2r)P fxdv4-vcLr即挙壬*則線積分Iw節(jié)戸5。不與路徑有關(guān)。13.設(shè)函數(shù)代x,y)?且對(duì)任意x,y都有”判>0,堂舊〃<0,則使得/(.%..“</(七,方

3dy成立的一個(gè)充分條件是( XXj>x2,V|<y2%>.v?.V|>y.f<5<vo.xl<x2,yl>y2【答案】d

【解析】竺業(yè)＞0,竺1丑＜()表示對(duì)于固定的y，函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量X是單調(diào)遞ox oy增的：對(duì)于固定的X,函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量y是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)，＜七且'：＞.土?xí)r,必W/(ApyI)＜/(x2,y2).合214.設(shè)u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)’在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足￥提0及蕓+與經(jīng)=0,及蕓+與經(jīng)=0,則(dx2dy2u(x,u(x,u(x,u(x,【答案】【解析】y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域d的邊界上y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域d的內(nèi)部)的最大值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上)的最小值點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上A由于u(x,y)在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，故u(x,y)在D內(nèi)必然有最大值和最小值，并且若在內(nèi)部存在駐點(diǎn),即三=*=0，則在這個(gè)點(diǎn)處合3d'ud~uc'uA=裁,C=苛，8=葯=磕，由條件知，AC-B＜。，貝lJu(x,y)不是極彳直點(diǎn)，當(dāng)然也不是最值點(diǎn)，故u(x,y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在區(qū)域D的邊界上。.下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是( ).e+2式2+y2=0表示橢圓拋物面.x2,2y2=1+3『表示雙葉雙曲面/+y2-(x-I)2=0表示圓錐面注=5.t表示拋物柱面【答案】B【解析】X2+2子=1+3,2表示單葉雙曲面..設(shè)l'(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),f(0)=0,ESQ由柱面.F+y2=/"＞()間兩平面=0,Z=1所圍成’則lim4ffff(x2+j2所等于( 1/rf(0)/rf(0)-f(0)2yf'(0)

【答案]【答案]D【解析】由題意得fdo[y(，)rdr|*dz [/XrOrdr-limE山一: =2klim厶一~;——=2吧幣”可鏟=亨如穿紅訂(3設(shè)向量a,b.c滿足關(guān)系式0??=a.c.則( X必有a=0或D=c B.必有。h6—c=0C.當(dāng)。尹0時(shí)必有b=c D.必有。丄(》一。)【答案】D【解析】由a?8=g?c可知。?b—a?c=0故a?(b-c)=O.a丄(b-c).設(shè)/(x)=則f(x)在x=1處的((A)左、右導(dǎo)數(shù)都存在(B)左導(dǎo)數(shù)徳，右懿不存在(C)左導(dǎo)數(shù)祐在，右弱存在(D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存在【答案】B【解析】旦f尸-⑴f也二格=limL廠 匸土Z-工_1=limg? y=lim爭x2+工+1)=2；l廠3 x-1e3A<1)=lim ⑴=hm——工_] t工_故該函數(shù)左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在，因此應(yīng)選(B\19.設(shè)函數(shù),，「IA.a<-2I<x<ex^v19.設(shè)函數(shù),，「IA.a<-2I<x<ex^v若反常積分丨，則()?a>2-2<a<00<a<2【答案】D【解析】因?yàn)?(x)(h=^f(x)dx+ /(x)<lx(1)先討論 =I,(；］)「山.當(dāng)adSO時(shí)，即*1時(shí)為詼分；當(dāng)全1>0時(shí)，|― 血.為無界函數(shù)的反常積分，且當(dāng)企1<1,即1<a<2時(shí)收斂;Jt(xT)當(dāng)21時(shí)，即a?2時(shí)發(fā)散.(2)再討論反常積分［》(罰&=［*因?yàn)楫?dāng)a>0時(shí)，此反常積分收斂；當(dāng)把0時(shí)’此反常積分發(fā)散。由(1)(2)知，若反常積分［'/■(?>■)&收斂，則0<a<2.8.設(shè)收斂，則(1〃戸19A.?“收斂，2】8B??“發(fā)散glIim。=0n-w8當(dāng)&>0時(shí)’必收斂?=i【答案】D【解析】當(dāng)&>0,級(jí)數(shù)、(紐I?為正項(xiàng)級(jí)數(shù)’由于該級(jí)數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列11“S.=(a：4-a?)+(g十右) ++。丄)有上界，從而可知正項(xiàng)級(jí)數(shù)3 UU?”的部分和數(shù)列S“=心+七+…日布上界，則級(jí)數(shù)必收斂。?-1 n-l三、計(jì)算題.求下列函數(shù)的極值：y=2x3-6x2-18x+7；j=x-ln(l+x)；y=-x4+2x2；

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

l+3x

尸而*

3x2+4x+\

x2+x+(7)y=excosx；(8)y=3-2(x+l)3；x+tanx.(y=3-2(x+l)3；x+tanx.y=【答案］(|)>*=6x2-12x-18.y?=12x-12令史=0,得駐點(diǎn)為=一1，丐=3由”|z=-24<0知y”|z=l7為極大值,郵》=24>0知)，牝廣77為極小值。(2)函數(shù)的定義域?yàn)?一1,+/),在(一1,+00)內(nèi)可導(dǎo)，且y'=l——.v"=—(x>-I),1+x- (1+x)2令y'=o,得駐點(diǎn)x=0,由yt=o=1>0知y|日=o為極小值。(3)y'=-4r3+4x=-4-rfx2-1),y"=-l2.r+4令.v'=0,融點(diǎn)E=T，?弓=1，*3=0由y"|A=_l=-8<0知y"L=1為極大值，由y"|z=-8<o知如=1為極大值,由)，”島=4>0知y|z=。為極小值。(4)函數(shù)的定義域?yàn)?一8,I］,在(一皿一I)內(nèi)可導(dǎo)，且y_i=逆三二-1...丄..；令礦=。融點(diǎn)七,由匚廠2<0知令礦=。融點(diǎn)七,由匚廠2<0知y”為極大值。七43/4干5?—(1+3”?-,性_5J—圾)= 2/砧誕_12—5工_ _5_'4+5尸 (4+5尸)3“一(4+5/尸‘令)疽=0得駐點(diǎn)?，=與當(dāng)f 時(shí),尸>0,因此函數(shù)在(-8費(fèi)上單調(diào)增加當(dāng)顋<x<xo時(shí)W<0,因此函數(shù)在I§,心上單調(diào)減少,從而y(烏=魚為極大值。5 。 5 10,A、，—(6。?1)⑵I1)(3.二Ik+4)_ 」JT2)()， (Ththp (P+tttp令y'=°,得駐點(diǎn)X］=-2,X2=0當(dāng)-ccvx<_2,yyo,因此函數(shù)在(-00,-2］上單調(diào)減少：當(dāng)-2<x<0,y'〉0,因此函數(shù)在［一20］上單調(diào)增加：當(dāng)0<X<心時(shí),y'v0,因此函數(shù)在［0,+oo）上單調(diào)減少。從而可知V（-2）=?為極小值，y（0）=4為極大值。（7） y'—e7cos.r—e'sin.r~ex（cosh—sin.r）,j'，=—2ezsin.r令y'=0,得駐=2如+號(hào)，匕~~2人犬+于JT（人=0,土1,土2,…）由.y〃|,f,十=一姪寸1<0知y|—2HU=yez*r*^以=0.土1?±2.…〉為極大值。由偵I小*丫=屈4￥>0知 = 極小值。（8） 函數(shù)的定義域?yàn)椋?,Ir）,在（0,Is）內(nèi)可導(dǎo)，且?'=（〈*"'）'=e%‘?^^=工卜2（］一拍x）令『=0,得駐點(diǎn)x=e當(dāng)0<x<e時(shí)礦>0,因此函數(shù)在（0,e］上單調(diào)增加;當(dāng)。<工<*8時(shí)y'vO,因此函數(shù)在［e,+co）上單調(diào)減少，從而可知\,（e）=°；為極大值。（9） 當(dāng)"一1,礦=一：?一土<0.又工=T時(shí)函數(shù)有定義。因此可知函數(shù)在（一皿+8）內(nèi)3（x+lF單調(diào)減少,從而函數(shù)在（一00,+s）內(nèi)無極值。（10） 由y'=l+sec2x>0知所給函數(shù)在（一8,+oo）內(nèi)單調(diào)增加，從而函數(shù)在（一皿內(nèi)無極值。.求對(duì)數(shù)螺線p=M（-冒方）及射線〃小所圍成的圖形的面積.【答案】A=匸號(hào)國燦=￥［『］、=號(hào)（*一廠2?）..設(shè)a=（2,-1,-2）,b=（LLz｝問z為何值時(shí)（，3）最小?并求岀此最小值.,個(gè)、a-b （2,-1,-2）-（1,1,z）［答案］cos（a.b）=-j_ri-—= , = -Z7T .ZMH心2+（-1）2—（-2）2.J12?12“21-2z= 二 3/2+z2〃、1*M3）=E'則 -2/2+V-（1-2z）,-2+z2廣⑴=2+z2令f'(z)=0得z=—4.由于0W()W：時(shí).cos(<3)為單調(diào)遞減函數(shù)J(Z)取得最大值時(shí)，0=(達(dá)到最小值. ?-經(jīng)驗(yàn)證z=-4時(shí)，f(z)達(dá)到最大值，此時(shí)但=(a3)達(dá)到最小值且由e(姦)5=令知=arccos^=-~.24.設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且橫大于零，其中H(t)=(x,y,z)\x2+/+z2C/2|,D(Z)=I(x,y)|x2+y2Ct2\(1)討論F(t)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)t>0時(shí)，F(xiàn)(/)>^-G(0o【答案】(1)利用球面坐標(biāo)，W利用極坐標(biāo)，有P(rP(r2)rdr求物

所以在區(qū)間(0,+8)內(nèi),F'”)>0,故F(t)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加。(2)因?yàn)閒(X2)為偶函譬,故￡/(x2)dx=2^/(x2)dx=2p(r2)dr所以G(￡)G(￡)=j[帆/(，)rdr r2)rdr2j[/(r2)drP(r2)dr要證明t>0時(shí)，F(xiàn)(r)>-G(t),即證只需證當(dāng)t>0時(shí)，2j[/(r只需證當(dāng)t>0時(shí)，2j[/(r2)r2dr2^/(?)rdr

睥2)rdr 典)dr=f/(、)，dr.[/I，)打_[g/(r2)rdrj2>0。r2)dr由于H(0)=0,且H'(t) …)2擊>0所以H(t)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)增加，又H(t)在〔0,+8)上連續(xù)，故當(dāng)t>0時(shí)因此當(dāng)t>0時(shí)，有H(t)因此當(dāng)t>0時(shí)，有財(cái)>項(xiàng))7T25.設(shè)有一截錐體’其高為h,上下底均為橢圓，橢圓的軸長分別為2a、2b和2A、2B,求這截錐體的體積。[答案】用與下底相距z且平行于底面的平面去截該立體得到f橢圓，記其半軸長分別為u、V,則M=^.v+A,賀=爭1+8,該橢圓面積為4宇")(學(xué)X+8)，因此體積為S「(砂+A)(碧+可心=§M[2(瀝+AB)+u3+6A].四、證明題26.驗(yàn)證函數(shù)\=C"+C2/'(a，G，Q是常數(shù))滿足關(guān)系式:y"-22j=0o【答案】因?yàn)槁氁籆我e*，/=GA2e^+C2A2e,故y-^y=CiX2^+CU,e”f(C,『+Ge*)=0.27.如果三重積分|J/(xty,z)dxdydz的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f3(z)的乘積，即/3,y,z)二人3)E(>)厶3)，積分區(qū)域Q=((x,y.z)laWxWb,cWyWd,/WzWm)，證明這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積,即3)/2(*)/3(z)d4d：rdz= & J厶(z)dzn【答案】驢(心(y)?3(z)dxdydz=f ■心如*)/3(，同時(shí)&=Uf(人⑴/2(y)-「Mz)也)妃&=f【(腳期?(仏⑴飪)時(shí)]&=(pA(z)&)?f[/q)?p2(〉)dy]&=j厶(z)&?]/i(V)dy?、/■](%)&=右端28.設(shè)f(x),g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，且|/'(x)|<g'(x),證明:當(dāng)X>a時(shí)l/(x)-/(a)|<Af<T)-K<?).分析:要證X>a時(shí)，頃工)一六a)iy)-g(u)即gffi-r/cU)-K<a)J</(x)-f(?)<x<x)-K<?)亦即?lE./<r)—g(x)<f(a)—g(a),f(^)-Fg(.r)>f(a)-pg(a)【答案】取F(x)=/(x)-g(i),G3)=/M)+g(.r)口￡(u?+■—)由\f\x)\<g\x)知廣⑴-g'(.v)<0及廣⑴+g3>0故FXx)=f\x)-g\x)<Q.GG)=/3+g>0即當(dāng)x>a時(shí)函數(shù)F(x)單調(diào)減少,G(x)單調(diào)增加。因此F(x)<F(a)RG(x)>G(a)(xx)從而/CO</(a)-g(a)?/(.v)+g(x)>/(a)+g(a)(x>a)即當(dāng)x>a時(shí)，|/(z)—/(d)|<g(x)g(a)29.設(shè)在半平面x>0內(nèi)有力F=一*(衣+〃袍成力場?其中k為常數(shù)，p=丿/+,2P證明：在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)。［答案】半平面x>0是單連通區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)，P=_勇，Q二■了具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且dQ3kxydP

袞=芝=dy故在此區(qū)域內(nèi)，場力F沿曲線L所作的功，即1 1P與路徑無關(guān)。30.根據(jù)題意證明：x2-9y=—為當(dāng)x->3時(shí)的無窮?。粁+3y=xsin丄為當(dāng)x->0時(shí)的無窮小。x【答案】(1)因?yàn)榧?=卜_3|，所以對(duì)">0,取$=￡，則當(dāng)0<|x-3|<<W.就有TOC\o"1-5"\h\z2 x+3 'I三二凱即蘭為當(dāng)XT3時(shí)的無窮小。x+3 x+3(2)因?yàn)閤sin-<|x|,所以對(duì)X/￡>0,取$=￡,則當(dāng)0<\x\<5時(shí)，就有工血丄<￡，X X即xsin丄為當(dāng)X->0時(shí)的無窮小。 2017年寧波大學(xué)理學(xué)院871高等代數(shù)考研強(qiáng)化模擬題（三）說明：①本資料為VIP學(xué)員內(nèi)部使用，嚴(yán)格按照2017考研專業(yè)課大綱及歷年?？碱}型出題。 一、填空題 臨,，+七， r-FX—巧+y【答案】0【解析】由于 °< 1< =出+出其中（工'+寸22|巧|），且 再結(jié)合夾逼定理可得如p =°，即艷7^虧片=0L” r—>2.當(dāng)a= ,b= 時(shí)(ax》一/)dx+<jrs+蛀y)dy恰為函數(shù)u(x.y)= 的全 微分。【答案】3.—2.x.設(shè)在坐標(biāo)系［O;i，j，k］中點(diǎn).設(shè)在坐標(biāo)系［O;i，j，k］中點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)依次為；和，咒，Z0:和（x，y，z），則在［A；i，j，k］坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，向量洞的坐標(biāo)為 .【答案】（x-xo，>-〉o，z-%）,（宀>.》）；【解析】點(diǎn)M的坐標(biāo)為3-和J-為，-zo）,向勒祈的坐標(biāo)為（x-心+?%,）-為+>0,Z-Zq+勺）=（1,y,Z）.曲面Z=77和平面y=0的交線繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 【答案】x=y+Z2［解析】本題可看作是在在二維坐標(biāo)系XOZ中，求解曲線M=“繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得的曲面方程，貝II所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為士石W=石,即I=丁+m【解析】若要使p心+叫恰為某函數(shù)的全微分，則需滿足癸=蓊。結(jié)合題意知，需要滿足3/+如=ax'—2y,解得a=3,b=—2,則du=(3x2y—yl)dr+(j1—2xy)dy則u(j.jf)=j3x2?Odx+j(x3—2ry)dyxxiy—xyl+Co 5.設(shè)D為不等式0WE3,0勻匹1所確定的區(qū)域?則Jjmin(x,y)如也二 【答案】J【解析】由?B知jJni.n(T.v)chdv=￡d^jvd^4-￡dy￡xdx=y6.點(diǎn)(1.L-l)關(guān)于平面_r一2y+z—4=0的對(duì)稱的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 。【答案】(3,-3.1〉【解析】設(shè)所求點(diǎn)為QCr，3，N),過點(diǎn)P(l.l.-l)與平面Ti：i-2y+z—4=0垂直的直線方程為厶=1=匕旦=￡±2：1 -2 1即x=?+】，)=—2f+l,x?=t—I將其代入平面方程得1=1,故直線I在平面TI的投影點(diǎn)為M(2,—1,0),則M是線段PQ的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得1=2X2—1=3,y—1X2-1=-3,r=0X2+1=)即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3.-3,1)7.設(shè)滇有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，貝ijrot(gradw)= 【答案】0- ,i)udu■【解析】gradu=｛云，萬，靈％則rot(gradu)3

da:

du

3xrot(gradu)3

da:

du

3x3

dud3zduw=(翥-姦/+(隸-殺/+(続-姦卩=08.設(shè)L為橢圓號(hào)+扌=1，其周長記為1，則?(9/2+4/一3z)di= 【答案】36/【解析】因?yàn)榍€方程為亨+扌=1，故曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，貝！1丄一3xds=0o又由曲線方程可知9xf+47=36.將此式代入積分式，得原式=§+4，')ds—§3xds=《36(13=36/

9.設(shè)L是柱面.『+尸=1和平面y+z=。的交線，從Z軸正向往負(fù)向看是逆時(shí)針方向，則曲線積分￡zdr+ydz= .【答案】K【解析】平面￡：y+x=O,取方向?yàn)樯蟼?cè)，得法向量為n={0,1.1},計(jì)算得，法向量的單位向量為5。齢有斯托克斯公式得j'Pdr+Qdv+Rdz=jj因此爭zdr+ydz爭zdr+ydz=jjd=卽dS=卦/1+0+_］）也如=K其中％={（x,”F+yyi}..若數(shù)列{4}收斂，則級(jí)數(shù)Z（%廠為）= rr?l【答案】收斂［解析］級(jí)數(shù)吏（jLS>6勺部分和數(shù)列為S,=（a2—ai）+（a3—⑶）+…+（a?+i一心）=5—%二、選擇題.設(shè)apO（n=l,2,3,…），且收斂’常數(shù)"（0,丄；r），則級(jí)數(shù)￡（—l）”（〃tan4）%n=i 2 "=i nA絕對(duì)收斂條件收斂發(fā)散D.斂散性與入有關(guān)【答案】A【解析】由于“為正項(xiàng)級(jí)數(shù)且收斂,則級(jí)數(shù)?：收斂，而(—1)"(man~)a2nI=(man^-)a2nTOC\o"1-5"\h\zn n(ntan-^-)a2?lim =A7^0—Qu3 3則〉2(〃tanf)s“收斂，(-l)"(wtan斗)如絶對(duì)收斂。12.設(shè)g(x)是可微函數(shù)，y=f(x)的反函數(shù)，且f(1)=0,J；M(x以r=1006，則(頃/的值為( 10201220132100【答案】B【解析】利用分部積分法，得=4。g(&d—j0^g[/(x)]//(x)dx=°— /(x)dj：=—jx2d/(x)=_工2/(工)+2,x/(x)<Lr=2￡x/(x)dx=201213.?/,>()(//=I.2.???),.% +???+七.則數(shù)列｛、,侑界數(shù)列｛〃,｝收斂的( ).充分必要條件充分非必要彖牛必要非充分條件既非充分也非蠣條件【答案】B【解析】由于4>°，｛?、'，｝是單調(diào)遞增的’可知當(dāng)數(shù)列｛?〔｝有界時(shí),｛畠｝收斂,即limM是存在的，此時(shí)有敗〃啊伐_$1)=慚"_網(wǎng)5丄=0,,即皿｝收斂.反之，收斂，｛、，｝卻不一定有界，例如：令=1，顯然有皿｝收斂，但S”=〃是無界的，故數(shù)列｛?』有界是數(shù)列｛q,｝收斂的充分非必要條件.14.設(shè)有向量?=漢,,= =三點(diǎn)不共線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，n為過三點(diǎn)的平面。則fi=aXg+AXy+yX<i必滿足（ IK.n//k B.rJ.rC?（■..）=十D.■在二上【答案】A【解析】由題意知，三向量在坐標(biāo)系內(nèi)的關(guān)系如下圖所示，則yOz平面即為平面TT的法向量,則有=aSx=（'一o）X（y-，）=，XY-oXy+dXg”xy+yx<i+ax，=■15.設(shè)流體的流速卩=（./+丁）/+化一1）疋2為錐面z=Jf+?。╫《z41），取下側(cè)，則流體穿過曲面2的體積流量是（ \A.—4D.7T【答案】B【解析】該流體穿過￡的體積超是0.=k'dS=II（八/）dzdx+（z-1）&dy1s解法一：用高斯公式，E不封閉，添加輔助面EI：z=l(1),法向量朝上，￡與￡|圍成區(qū)域Q，取外側(cè)。注意￡與zox平面垂直=g+>2比*=°。又在￡止，=1=>。”一1加/)，=0。在。上利用高斯公式，則Q=J(x2+y2)dzdx+(z-1)dxdy=J(?y2)dxdx+(z-1)dxdy1 XuXi=f[^(?+y2) =他”』"=0+*=孚n, n n這里’。關(guān)于zOx平面對(duì)稱，紂對(duì)丫為積函數(shù)，J"yw=o，jpw=圓錐體。的體積。解法二：直接計(jì)算，并對(duì)第二類面積分利用對(duì)稱性。￡關(guān)于zOx平面對(duì)稱，x2+y2對(duì)丫為偶函數(shù)nJJ(j+y2“汕=o。又￡在xOy平面上的投影區(qū)域+Q=g(z-1)dxdy=_g(JB?孕-1)dxdyT：岫，-旻=-2“(！_!)=胃其中，E取下側(cè)。解法三：直接投影到XOy平面上代公式。[~2 2 & V由￡的方程z=,+y。旬=&；+任,又E在xOy平面的投影區(qū)域DA?,:x2+y2<L則=+ff。+y2(kdy-g(-/x2+y2-1)dxdy=0-p/x2+y2-Ddxdy=y這里由于％關(guān)于X軸對(duì)稱，yj/+y2對(duì)丫為積函數(shù)，所以!"時(shí)廳翊=°。TOC\o"1-5"\h\z16.設(shè)區(qū)域D由曲線VsinX,I--號(hào),y=l圍成’則<ry-l)drdv=( )汗2-2-n【答案】D【解析】區(qū)域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再弓|入曲線"-si"將區(qū)域分為打，*R四部分.由于外。，關(guān)于y軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于x的奇函積分為零，故口。'認(rèn)心=0；? 外心.又由于"，口關(guān)于X軸對(duì)稱，可知在久UR上關(guān)于y的奇函物為零，故』,江如)=0.因此脾/-1)翊=』她.D D利用圖形割補(bǔ)的方法知，區(qū)域D的面積等于以長為;F、寬為1的長方形面積，即||dxdy=n17.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)’頃)=pyp(x)dx,則F'⑵=()。2f(2)f(2)-f(2)0【答案】(B)【解析】

解法一：由于考慮F(2>故可設(shè)t>1。對(duì)所給二重積分交換積分次序,得R E 邳F(￡)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx于是，r(F(￡)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx解法二：設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為G(x),貝1」有F(t)=j j[G(t)-C(y)]dy=G(，)fd*-fG(y)dy=(r-l)G(O-fc(y)dy.求瀚礦(g)=C⑴+(<-D/(0-C(:)=(?-D/(0因此礦(2)=/(2)18.設(shè)曲線L為橢圓二+與=1,其周長為/,則扒*等于((a+b)/(a>b2)/a2b2Zab/【答案】C【解析】由題意知^(62x2+2abxy+a2>2)ds==a2b2lL.已知fx(0,0)=2,fy(0.0)=3則(XA.f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)B，4fU>)l(00)=2dr+3Jy— =2cosa+3cos/?f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處沿x軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為-2【答案】D【解析】設(shè)cos?，cosp為x軸負(fù)方向余弦，則cos=—1,cos/?=0由方向?qū)?shù)定義知，f(x,y)在(0,0)點(diǎn)處沿x軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)為邪ZSf?)■■八。，。)

!im°。=_Hm久f虹厶‘外-人(。，0)=一2.設(shè)S：x2+y2+e=a2(z>Q),Si為S在第一卦限中的部分’則(1A.jjxdS=4jJxdSss、B.J]ydS=4jJydSTOC\o"1-5"\h\zs slc.jjzds=4j"dss s,D.jj.tyzJS=4jjxyzdSs s,【答案】c【解析】由于S關(guān)于yOz面和xOz面都對(duì)稱，而f(x,y)二z關(guān)于x和y都是偶函數(shù)則三、計(jì)算題,求下列不定積分：⑴(2)jx>Jxdxi⑶儲(chǔ)(4)jx2\fxdx：⑸J糸(6)j濘如⑺J5必；j(x2-3x+2)dxi\-^=(g是常數(shù))：J(.『+l)認(rèn)：(IDJ(x/x+l)(V?-l)dr：(片"：J\lxj(2e'+-)dx：(14)(16)(17)廣,)dx：3i+rj3WB：J3>dx;(18)secMsecx-tanx)dx:(19)cos'(20)(21)(22)(23)Jl+cos2.rrcos2x,J :_:Jcosx-sinxrcos2x,—;~ :Jcos*a:sinxJcot2xdx；jcosQ(tan0+sec0)d0:tx2,j空d.Jr+l【答案】⑵Ij-7xdr=Jdr=y^-j.r^+,+C=-|x^+C(3)壕了m"+c⑷jj?，芥dr=J盤dx=y^〔"+0=巴/+C京卷="&=峑，卄，+C=Y，T+C.m(7)j5r,dr=^jX,H+C=YJ,+C(24)(25)(26)J(^—3j-+2)dr=jFdr—3jjdr+2jdr=y—|+2r+CJWr急宀=盅脇+c膽+c.(10)J<y+l)Jdr=J(y+2?+Ddri/'d.i-2pdr+jdr=苓+釦+工+仁(11)J("+D(Z?T〉<k=j《,+丄—)心=j亍&+I|Z^dr-jdr(8)(9)3'5" 3*([2)J。尸>?&=J(ji_2i++L,)(tr=jxJdr—2jjz'-dr=*撰一§日+2』+仁J(2e*+y)dr=2jezdx+3j亨=2k+3ln|】|+C.卩畝-烏)&=3j島句烏=3arcianj—2arcsinx+C.(15)jN(l_^)dr=Je_Jr+dr=k_2H+C.(⑹]成心=J&)'&=齢+0辭+仁(17)[土心1&=2[&_5[(音)*=宀習(xí)(g+c=&_爲(wèi)器)'+c.(18)[sec./(secj--：anj)<Lr=JserxcLr—|secTian；(Ij=tanx—secx+C.(19)Jco—fdz=J1±弩&=yim+c.fdxfsec^x,tan?ri八?, [cos2x,fcos^j—sin:x. 丄廠⑵)J成了贏7&一或土7心-ss-cou+C.[-T2^dr=f hcscJ-se石)&k7Jcosxsin*xJCOSzsinrJ=jcstrjdr-js?rjdr=-(coix+tanx)+CJcot2xdr=Jcsrxdr-Jdr^~cotj~x+C.Jcos^(tan^+sec0)d^=j*sin^cW+j*曲=—co初+0+C.Jjdr=j<￡r—j貝知&=工-arcianr+Gj~r^Y~dr=J3x2dj~jdx+j孩、&=工，-z+arcianx+C2>求從頂點(diǎn)C所引22.已知△ABC的頂點(diǎn)為A(3,2,-1>B(5,-4,7)和2>求從頂點(diǎn)C所引【答案】設(shè)AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(和，>o,%)，由3+5. 2-4 , 7-1丄。一-j-二4,>0=2 =T"。= 2從而頂點(diǎn)C所引中線的長度d=/(441)2+(-1-1)24(3-2)2=y/3023.對(duì)圖所示的函數(shù)f(x),求下列極限，如極限不存在，說明理由.(|)郵W；lim/W；W(x)［答案】(I)阿⑴=olim/(x)=-l1削'⑴不存在，因?yàn)?(0+)”(0一)。24.某種合金的含鉛量百分比(%)為P，其溶解溫度(°C)為0,由實(shí)驗(yàn)測得p與0的數(shù)據(jù)如下表：p/%36.946.763.777.884.087.50/'C181197235270283292適用最小二乘法建立0與P之間的經(jīng)驗(yàn)公式0=ap+b。【答案】設(shè)M是各個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和’即M=￡[饑-(apj+6)]2t■1票=-*2p』們-(op.+6)]=0

器=-再2[。-(硏+6)]=。整理，得

計(jì)算，得馬p?=28365.28,負(fù)P，計(jì)算，得馬p?=28365.28,負(fù)P，=396.68 6V0iPi=101176.3, =1458代入方程組，得28365.28a+396.6b=101176.3396.6a+66=!458解得4802.5?2150.02—―54普95.33O所以經(jīng)驗(yàn)公式為0=2.234p+95.33。25.在曲面z=xy上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程。【答案】設(shè)所求點(diǎn)為M（和,為,布），曲面在該點(diǎn)處的一個(gè)法向量為〃=（&，和，T），平面的法向量為（1,3，以按題意，n垂直于平面，故有Zoxo-1 = S 1 3 1求得和=-3,y0=-I,%=xoro=3o于是所求點(diǎn)為M(-3,-1,3)，法線方程為x+3 y41_z_3~T~四、證明題26.設(shè)f四、證明題26.設(shè)f（X）,g（X）在［a,b］上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)證明在（a.b）內(nèi)有一點(diǎn)§.（f）|s炊I加丨f（a）f（x）g。）g（x）使Ig(u)【答案】取函數(shù)F（x）=，由f（x）,g（x）在［&bl上連續(xù),在（&b）內(nèi)可導(dǎo)知f（X）在［&bl上連續(xù)，在（ab）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知至少存在一點(diǎn)Se心）,使F（b）-F（a）=F\^b-a）即F(奸/(a)F(奸/(a)/(/>)F(a)=/(?)/(u)=0g(a>g(。)r(x)=【°S[+|0g<x)l/(a)/<x)lf(a)/(x)lg(">/(x)|/(?)g(d)f(b)g'/(?)g(d)f(b)g'(￡〉27.求過點(diǎn)(3,1,-2)且通過直線三4二守=；的平面方程.【答案】利用平面束方程，過直線守二守二幸的平面束方程為守_守叫守廿。將點(diǎn)(3,1,-2)代入上式得人=；；).因此所求平面方程為=0x-4y+3ll/y+3=01 +20(—8x-9y-22z-59=028.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，并且對(duì)［0,1］上任一點(diǎn)x有0了(X)<L試證明［0,1］中必存在一點(diǎn)C(C成為函數(shù)f(X)的不動(dòng)點(diǎn)\【答案】設(shè)F(x)=f(x)—X,則F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-l<0若F(0)=0或F(1)=0,則0或1即為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；若F(0)>0且F(1)<0。貝U由零點(diǎn)定理，必存在s(0,l),使F(c)=0,即f(c)=c,這時(shí)c為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。29.已知b=(、6,也)，c=(cx,r,,cf),試?yán)眯辛惺降男再|(zhì)證明(axb)*c=(bxc)?a=(cxa)*b【答案】因?yàn)?axb)?c=(cxa)?b=(axb)?c=(cxa)?b=而由行列式的性質(zhì)知(axb)-c=(bxc)a=(cxa)-b30.利用高斯公式推證阿基米德原理浸沒在液體中的物體所受液體的壓力的合力(即浮力)的方何鉛直向上,其大小等于這物體所排開的液體的重力.【答案】取液面為xOy面，z軸鉛直向上。設(shè)液體的密度為卩。在物體表面取面積元素dS,M(x,y.z)為dS上的一點(diǎn)匹0),￡在點(diǎn)M處的夕卜法線向量的方向余弦為cosa,cop,cosy,則dS所受液體的壓力指向內(nèi)法線方向(—cosq,-cosp.一cos?),壓力在x軸、y輒z軸上的分量分別為pzcosadS,pzcosfidS,pzcosydS￡所受的液體的總壓力在各坐標(biāo)軸上的分量等于上列各分量元素在￡上的積分，由高斯公式可算得F;=兀=rIS=佇=F;=兀=rIS=佇=IIS=.皿切汚dz(V為。的體積)，故合力F=pVk此力的方向鉛直向上，大小等于被物體排開的液體的重力。2017年寧波大學(xué)理學(xué)院871高等代數(shù)考研強(qiáng)化模擬題(四)說明：①本資料為VIP學(xué)員內(nèi)部使用，嚴(yán)格按照2017考研專業(yè)課大綱及歷年?？碱}型出題。一、填空題1?經(jīng)過平面芻財(cái)>+1=0,巧*2>+2z=Q的交線，并且與平面沔2x-y-z=0垂直的平面方程是 O【答案】3x+4y+2z+2=0【解析】解法一：設(shè)平面E與TT2的交線L的方向向量為1J*?=|?,Xnt-II0-=2i-2/+kI22求出L上的一個(gè)點(diǎn)：聯(lián)立m、T12方程jx+>4-1=0]x+2,y4-2z=0令x=0,得點(diǎn)Mn(0,-1,1)0所求平面Ti過Mo點(diǎn)與s及叫=(2,-1,一1)平行，因此，TI的方程是y+1r—1TOC\o"1-5"\h\z—2 1 =02-1 -1即3x+4y+2z+2=0解法二：也可用平面束方程來考慮：設(shè)所求平面n的方程為A(J-+>+D+^(z+2y+2c)-0 (1)即(A+p)x+(A4-2“)《y+ +A=0因?yàn)門T垂直于TT3,所以”?s=0,即2(A+“)-(人+2“)一2〃n0取4=2,得以=1,將4=2,“=1.代入(1)式，得出ti的方程3工+4y+2會(huì)+2=0.(4j*+2y+3室=62-通過直線+y=° 且與球面丄'+/+/A4相切的平面方程為 【答案】Z=2[解析】由于所求平面經(jīng)過已知直線，故可設(shè)所求平面方程為(2x+y)+A(4x4-2^4-3z-6>=0(2+42)工+(1+22”+3左一6義=0

又所求平面與已知球面相切，則球心到所求球面的距離等于該球面的半徑2,根據(jù)點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算公式可得成2+4人滬+（1+2人尸+（3人滬解得…丄故所求平面方程為Z=2.2之2之（二1）小2”的收斂半徑為n【答案】方2,+(—D-2,+(—D-則R /級(jí)數(shù)卻奇次項(xiàng)）'故該幕級(jí)數(shù)的收斂5則R /級(jí)數(shù)卻奇次項(xiàng)）'故該幕級(jí)數(shù)的收斂54.設(shè)閉區(qū)域〃=|（r）質(zhì)+在&2},則+#）&d：化【答案】￥（》%）【解析】用極坐標(biāo)計(jì)算：0=\（p,0）|0W,WR.0W8W2E愕+誹汕』崢+罕-=r（啰+制峋w=孕佶喘）亨（》=）5.設(shè)￡球面尸+y2十/=］在第一卦限部分的下側(cè)，則【答案】-僉【解析】jjjyz&dy=_JJh,>/1—x2—j2djrdyp'cos^sin。p'cos^sin。>/l—p'pdp cosQsinOdojp'Jj_寸dp15* 6.已知曲線L為曲面京2-宀寸與J+y2=］的交線，則時(shí)，元2用= K【答案】3【解析】將二+J=1代入z=/2-P-y得z=l貝|」曲線l的參數(shù)方程為x=cosrvy=sinZz=1 ^r2y2z2d5=jcos七sir?￡ —sin/)2+(cost)24-02d/=4Jcos2tsin2/dt=4J(1—sin2r)sin2zdrf.JL(sin%—sin4Z)d/丄.匹—旦2*TI7.由曲線八“繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)《0,療,収）處指向外側(cè)的單位法向lz=0量為 【答案】｛。鶴調(diào)［解析】根據(jù)曲線繞y軸形成的旋轉(zhuǎn)曲面的計(jì)算方法可計(jì)算得到，旋轉(zhuǎn)曲面的方程為3#+2寸+3丁=12而旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)Mo（%,火，&）處的切平面的法向量為?=其中F=3?+2>2+3/—12.故在點(diǎn)（0扃據(jù)）處曲面指向外側(cè)的法線向量為?=（0.273,3^｝將其單位化，得八｛。髓黑x=arctant,8.曲線丿 .~上對(duì)應(yīng)于t=l的點(diǎn)處的法線方程為 y=lnVl+r【答案】y+x-^-lnV2=0

【解析】由題中函數(shù)表達(dá)式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法線為y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量場 =xyl【解析】由題中函數(shù)表達(dá)式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法線為y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量場 =xyli+y.j+xln(l+zf)Jt在點(diǎn)P(1,1,O)處的散度divA= ?[答案】2【解析】divA=京(巧\)+土(W>+余[招11，1+/)]=[/+八2口/《1+zfpci.i.o>10.設(shè)函數(shù)Z=Z(x,y)由方程(￡+y)‘=X.V確定’則仁dx(1.2)【答案】2(1-ln2)【解析】設(shè)F(x,y,z)=(z+y)*-xy，則Ft(x.y.z)=(z+y)4ln(z+y)-y.F??y.z)=x(z+y)*1所以-=-k(z+G'InG+y)x(z+yY'又z(1,2)=0,得=2(1—In2)二、選擇題|二、選擇題|角411.設(shè)〃.b2電_y_缶z-c3X_,y-b,z-c,則直線刊r砂r商與直線子『廠礦亍評(píng) 、A相交于一點(diǎn)重合平行但不重合異面直線【答案】A【解析】設(shè)（釦，毎心），顯然M”M3分別在兩已知的直線上，-（%一，也—b[1）,又

?|—Of8—biCl—。0 0 0- 站一6jct—ct=ot—<ij6：— cttj=0ai~fli板~b\ —Cia>— bi—bic,—c.因此，兩已知直線共面。缶Ci—"zb\—bic缶Ci—"zb\—bict—ct勾缶仁=at~<ijb2— ct—ca> 缶 C|故KX與兩直線共面,可知，上式第二個(gè)行列式的第一、12.已知級(jí)數(shù)》(?1)"麻血丄絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)、條件收斂，則()Vi■| n 〃A.O<a<:1<a<A2-^-<a<22【答案】D【解析】因?yàn)榧?jí)數(shù)亍(-1)"亦血丄絕對(duì)收斂，則力歷sin土收斂，而當(dāng)n-8時(shí),TOC\o"1-5"\h\z= n ?=? 〃7nsin— rI由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知級(jí)數(shù)\'―收斂，根據(jù)級(jí)數(shù)的收斂條件有Q-丄>1K廠 2計(jì)算得a>號(hào)又由2(二A)眞件收斂知2-a>0,即a<2.it-1nlim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2綜上得言<a<213lim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2則下述四個(gè)選項(xiàng)中正確的是( )點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極大值點(diǎn)點(diǎn)(0,0)是f(x,y)的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷(0.0)是否為f(x,y)的極值點(diǎn)

【答案1(A)【解析】令；子,則由題設(shè)可知/(%,*)=尤〉+p4+0(p4)當(dāng)(x,y)->(0,0)時(shí)，p—0。由于f(x,y)在(0,0)附近的值主要由xy決定，而xy在(0,0)附近符號(hào)不定，故點(diǎn)(0,0)不是f(x.y)的極值點(diǎn)，即應(yīng)選(A、本題也可以取兩條路徑y(tǒng)=x和尸=一乂來考慮。當(dāng)丨xI充分小時(shí)，f(x9x)=%2+4x4+o(x4)>0,/(x,-x)=-.2+4x4+o(x4)<0故點(diǎn)(O.O)TSf(X.y)的極值點(diǎn)，因此答案選(A\14.設(shè)L為雙酒 =択2(?一寸)(犬>0),則丄|)|ds=()eA./?2(2-V2) B.2RU1-初C.3R，(2-晅) D.2RH2一血)【答案】D【解析】由積分曲線方程(F十寸尸=R2(7一礦)(択>0)可知，該積分曲線關(guān)于X,y軸都對(duì)稱,貝(JjJ>|^=4yds。其中，J是L在第一象限的部分，在極坐標(biāo)，有 y=r(8)siM=x/R^cosM?siMds=^(ff)+rfi(ff)dff(其中r1=R'cos28)|y|ds4「R/cos2伽MjR*g20+(七 dff|y|dssiWtM=2R*(2-V2)15.設(shè)a,b為非零向量，且滿足(a+3b)丄(7a-5b),(a-4b)1(7a-2b),則a與b的夾角8=01-7T01-7T【答案】c【解析】由兩向量垂直的充要條件得+黒,:“一次!(Q—40)?K/a—40)］7|。：2+16。?3一15|6|'=0 (1)即|7|aP-30。?b+8|b|z=0 (2)(1)-(2)得。?b=￥，(1) (2)x15得a?b=冬.1AEK由上兩式得a=IM從而。.七-工丄，即。一*何礦1，廠216.du=Uxcosy—ysiruOdi+Uycoskr—fsinyldy的函數(shù)U(X,y)等于( 1—cosx+t2cosy+Cylcosy+j