第一章-物體的受力分析和靜力平衡方程

概述1.1靜力學(xué)基本概念1.2約束和約束反力1.3分離體和受力圖1.4力的投影、合力投影定理1.5力矩、力偶1.6力的平移1.7平面力系的簡化、合力矩定理1.8平面力系的平衡方程1.9空間力系1.0工程力學(xué)是一門研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)以及構(gòu)件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的科學(xué)。第一篇工程力學(xué)基礎(chǔ)概述工程力學(xué)理論力學(xué)材料力學(xué)

靜力學(xué)

運(yùn)動(dòng)學(xué)

動(dòng)力學(xué)第一篇工程力學(xué)基礎(chǔ)力是物體間相互的機(jī)械作用。作用在物體上的力引起兩種效應(yīng)：外效應(yīng)（運(yùn)動(dòng)）：使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變；內(nèi)效應(yīng)（變形）：使物體的形狀發(fā)生變化；靜力學(xué)：研究力的外效應(yīng)中的平衡規(guī)律；材料力學(xué)：研究桿的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題；第一篇工程力學(xué)基礎(chǔ)相關(guān)概念——強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；強(qiáng)度：

指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在外力的作用下發(fā)生斷裂或顯著不可恢復(fù)的變形屬于強(qiáng)度失效。剛度：指構(gòu)件抵抗變形的能力。構(gòu)件上存在較大變形就會(huì)造成剛度失效。穩(wěn)定性：指構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力。1.1靜力學(xué)基本概念一、力的概念及作用形式力的三要素：大小、方向、作用點(diǎn)力是矢量，矢量的長度表示力的大小，矢量的方向表示力的方向，矢量的始端（點(diǎn)O）表示力的作用點(diǎn)。（矢量所沿著的直線表示力的作用線）常用粗體F表示力矢量，而用F表示力的大小力的單位：N(牛頓)，kN(千牛)OF力是物體間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，或使物體發(fā)生變形。關(guān)于力的幾點(diǎn)說明Fqq(x)力按作用方式可分為體積力和表面力兩類；當(dāng)物體間的相互作用面積可以抽象為一個(gè)點(diǎn)（作用點(diǎn)），則力稱為集中力。否則，稱為分布力。分布力大小用分布力集度q(x)（單位長度力的大?。┍硎?，單位為千牛/米（kN/m），當(dāng)q(x)為常數(shù)時(shí)稱為均布力或均布載荷。1.1靜力學(xué)基本概念力系——作用在物體上的一群力。力作用線在同平面的力系叫平面力系，否則叫空間力系。若兩力系作用同一物體而效應(yīng)相同，則稱兩力系等效。這兩個(gè)力系為等效力系。合力（力）與分力（力系）等效。=1.1靜力學(xué)基本概念二、剛體的概念在物體受力后變形相對小的條件下研究物體受力的外效應(yīng)，為了使問題簡化，可以將原物體視為剛體。注意：研究問題時(shí)，若物體的變形為主要因素，則不能看作剛體，應(yīng)視為變形體。剛體——在力的作用下，其內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離始終保持不變的物體。即在任何情況下都不發(fā)生變形的物體。剛體是實(shí)際物體抽象化了的力學(xué)模型（理想化的力學(xué)模型）。1.1靜力學(xué)基本概念三、平衡的概念作用于剛體上的兩個(gè)力平衡的充要條件是這兩個(gè)力等值、反向、共線。(1)二力平衡原理FAFBFA=-FB平衡——物體相對于慣性參考系（如地面）保持靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。1.1靜力學(xué)基本概念二力桿（二力體，二力構(gòu)件）:僅在兩點(diǎn)受力而處于平衡物體或構(gòu)件。

用途：已知兩力的作用點(diǎn)，確定其作用線。F1F2(2)加減平衡力系原理在作用于剛體的任何一個(gè)力系上，加上或減去任一平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用效果。1.1靜力學(xué)基本概念

推論力的可傳性原理:作用于剛體上的力，可以沿其作用線滑移，而不改變對剛體的作用效果。F2FABF1F2AB-F1=F2=F1.1靜力學(xué)基本概念四、作用和反作用定律GGTTT‘任何兩物體間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，并且等值、反向、共線，分別同時(shí)作用在兩個(gè)相互作用的物體上。注意：作用力和反作用力同平衡力的區(qū)別。作用和反作用定律對剛體和非剛體系統(tǒng)均適用。1.1靜力學(xué)基本概念1.2約束和約束反力主動(dòng)力：主動(dòng)使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變或形狀發(fā)生變化的力。工程中常把主動(dòng)力稱為載荷。自由體：位移不受限制的物體。非自由體：位移受限制的物體。約束：對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體。約束反力（反力）：約束對物體作用的力。注意：約束反力的方向必與該約束所能夠阻礙的位移方向相反。

在靜力學(xué)中，約束反力和物體受到的其它已知力（主動(dòng)力）組成平衡力系，因此，可用平衡條件求出未知的約束反力。以下為工程實(shí)際中常見的約束類型及其反力：(1)柔索約束柔軟的繩索、鏈條、綱絲或皮帶等柔性體對物體的約束。GGF柔性體約束只能承受拉力，所以它們的約束反力是作用在接觸點(diǎn)，方向沿柔性體軸線，背離被約束物體。是離點(diǎn)而去的力。T1T2T1’T2’1.2約束和約束反力(2)理想光滑面約束理想光滑是指物體表面的摩擦可忽略不計(jì)約束反力作用在接觸點(diǎn)處，方向沿公法線，指向受力物體，是向點(diǎn)而來的力。FNFN1公切線FN2公法線FNAFNBAB1.2約束和約束反力(3)圓柱鉸鏈約束（圓柱鉸、中間鉸）圓柱鉸鏈由銷釘將兩個(gè)鉆有同樣大小孔的構(gòu)件連接而成。銷釘只限制兩構(gòu)件間相對移動(dòng)，而不限制相對轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，約束反力的方向往往預(yù)先不能確定，但是，其作用線必垂直于銷釘（接觸點(diǎn)公法線）并通過銷釘中心。1、銷釘2、構(gòu)件FN公法線局部放大圖約束反力方向不定1.2約束和約束反力方向不確定的約束反力通常用兩個(gè)未知的正交分力Fx和Fy表示。FxFyFy’Fx’1.2約束和約束反力①固定鉸支座1、銷釘2、構(gòu)件3、固定部分FxFy底座固定在支承面上的鉸支座稱為固定鉸支座。1.2約束和約束反力②可動(dòng)鉸支座FR底座下面安放輥軸的鉸支座稱為可動(dòng)鉸支座，基特點(diǎn)是只能限制物體沿支承面法線方向的運(yùn)動(dòng)而不限制沿支承面的運(yùn)動(dòng)。所以約束反力的方向垂直支承面。1.2約束和約束反力1.3分離體和受力圖在求解之前，首先要確定構(gòu)件受幾個(gè)力，及其位置和作用方向。此過程稱力物體的受力分析。將研究對象從與其有聯(lián)系的物體中分離出來（使之成為自由體），叫做取研究對象（分離體）。將所受的全部主動(dòng)力和約束反力畫分離體上。表示分離體及其受力的圖形稱為受力圖。[例1-1]畫出梁的受力圖（不計(jì)梁自重）。30oFCAB解

取AB梁為研究對象，主動(dòng)力為F、梁的A端為固定鉸支座，B端為可動(dòng)鉸支座，其受力圖如下圖所示。FCABFxAFyA30oFRB1.3分離體和受力圖[例1-2]分別畫出圓及桿AB的受力圖（不計(jì)桿自重）。解：GACBGFN1FN2FxAFyAFN2ABFBC注意：畫約束反力時(shí)，一定要按照約束的固有性質(zhì)畫圖，切不可主觀臆斷！1.3分離體和受力圖[例1-3]曲柄沖壓機(jī)的受力分析。AFT1FT2BGFxAFyAFBABQFT1FT2CBCFCFBQCFCFN1.3分離體和受力圖

受力圖的畫法和注意事項(xiàng)取分離體：根據(jù)問題的要求確定研究對象，將它從周圍物體的約束中分離出來，單獨(dú)畫出研究對象的輪廓圖形；畫已知力：載荷，特意指明的重力等，不特意指明重力的構(gòu)件都是不考慮重力的；畫約束反力：確定約束類型，根據(jù)約束性質(zhì)畫出約束反力。確定反力的方向時(shí)，可借助于以下各點(diǎn)：是否與二力構(gòu)件相連，是，則由二力構(gòu)件的分離體圖確定。二力構(gòu)件的連接點(diǎn)受力方向，而它的相反方向（反作用力的方向）就是所求方向;根據(jù)主動(dòng)力系和約束的性質(zhì)確定反力方向。1.3分離體和受力圖[練習(xí)]圖示為不計(jì)自重的三鉸剛架，試分別畫出剛架AC和剛架CB的受力圖。ACBPCBFCFBPFxAFyAFC’1.3分離體和受力圖PFC’AFA三力平衡匯交定理：剛體受三力作用而平衡，若其中的兩個(gè)力的作用線匯交于一點(diǎn)，則三力必須在同一平面內(nèi)，且第三個(gè)力的作用線通過匯交點(diǎn)。1.3分離體和受力圖1.4力的投影、合力投影定理力系的簡化是用一個(gè)簡單的等效力系代替作用在剛體上一個(gè)較復(fù)雜的力系。研究力系的簡化和平衡一般有幾何法和解析法兩種。一、力的投影概念A(yù)FBx’αxab力在軸上的投影是代數(shù)量，其符號(hào)可直觀判斷。二、力在直角坐標(biāo)軸上投影（1-1）已知力的投影Fx、Fy，則力的大小和方向?yàn)椋海?-2）AFBαxabFyFxFxFya’b’1.4力的投影、合力投影定理三、合力投影定理若一個(gè)力對剛體的作用效果與一個(gè)力系等效，這個(gè)力稱為該力系的合力，該力系中各個(gè)力稱為這個(gè)合力的分力。合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這個(gè)關(guān)系稱為合力投影定理。設(shè)有一力系F1、F2…、Fn，其在直角坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx1、Fx2…、Fxn，

Fy1、Fy2…、Fyn，該力系的合力為FR，其在直角坐標(biāo)的投影為FRx

、

FRy。1.4力的投影、合力投影定理O

Fn

F3

F2

F1

xFR

O

F1

F2

F3

Fny（1-3）1.4力的投影、合力投影定理作業(yè)1-41-51-61.4力的投影、合力投影定理1.5力矩、力偶力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的物理量稱為力F

對O點(diǎn)的力矩。O稱為力矩中心。O點(diǎn)到力的作用線的垂直距離稱為力臂。力F對O點(diǎn)之矩：力矩一、力矩F矩心力臂（1-4）力矩的單位：牛頓米(N·m)或千牛頓米(kN·m)+-力矩的方向：逆時(shí)針：順時(shí)針：1.5力矩、力偶力F對O點(diǎn)之矩不僅取決于力的大小，同時(shí)還與矩心的位置有關(guān)；力F對任一點(diǎn)之矩，不會(huì)因該力沿其作用線移動(dòng)而改變，因?yàn)榇藭r(shí)力臂和力的大小均未改變；力的作用線通過矩心時(shí)，力矩等于零；互相平衡的二力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零；作用于物體上的力可以對物體內(nèi)外任意點(diǎn)取矩計(jì)算。力矩的特點(diǎn)：1.5力矩、力偶二、力偶與力偶矩(1)概念大小相等、方向相反、作用線互相平行的兩個(gè)力叫做力偶。并記為(F,F′)。力偶中兩個(gè)力所在的平面叫力偶作用面。兩個(gè)力作用線間的垂直距離叫力偶臂。1.5力矩、力偶力偶對剛體只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而沒有移動(dòng)效應(yīng)。力偶矩：力偶對物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量。力偶中任一力F的大小與力偶臂d的乘積Fd，稱為力偶矩，M(F,F′)，或簡記為M。力偶矩的單位同力矩的單位。+-（1-5）yxoF’dF力偶無合力1.5力矩、力偶(2)力偶的性質(zhì)力偶中兩力對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩的代數(shù)和恒等于力偶矩，而與矩心位置無關(guān)。(自行證明)

平面力偶的等效定理：作用在剛體上同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，則兩力偶必等效。力偶不能與一個(gè)力平衡。力偶不能與一個(gè)力等效。也就是說力偶沒有合力。1.5力矩、力偶推論（適用于剛體）只要保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不變，力偶可以在作用面內(nèi)任意移動(dòng)，而不影響它對剛體的作用效果；

保持力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向不改變的條件下，可以任意改變力和力偶臂的大小，而不改變對剛體的作用效果。力偶可以移到與其作用面平行的平面內(nèi)，而不會(huì)改變對剛體的作用效果。1.5力矩、力偶由上可知：力偶也有三要素，即力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用面?？梢杂眯D(zhuǎn)符號(hào)表示力偶。（見上一張幻燈片圖示）1.5力矩、力偶1.6力的平移所謂“力的平移”，就是把作用在剛體上的一個(gè)力，從原位置平行移到該剛體上另一位置。A

B

F加減平衡力系原理A

B

FF1F1’dA

B

F1M附加力偶F和F1’組成力偶力的平移定理：作用在剛體上的力F可以平移到剛體內(nèi)任一點(diǎn)，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對新作用的矩。（1-6）圖中單手攻絲時(shí)，由于力系（FR’

，MO）的作用，不僅加工精度低，而且絲錐易折斷。1.6力的平移1.7平面力系的簡化、合力矩定理如果作用在物體上諸力的作用線都分布在同一平面內(nèi)，不匯交于同一點(diǎn)，也不互相平行，這種力系稱為平面一般力系（簡稱平面力系）。FnF3F2F1一、平面力系的簡化OF1F2F3FnF1F2F3FnM2OM1M3MnFR’OMOO——簡化中心FR’——主失量，F(xiàn)R’=ΣFi，與簡化中心無關(guān)

MO——主矩，等于各附加力偶矩的代數(shù)和，即MO=ΣMO(Fi)，與簡化中心有關(guān)（1-9）1.7平面力系的簡化、合力矩定理

討論主矢量FR’可在x、y軸上的投影F’Rx、F’Ry為：（1-7）

根據(jù)力與投影的關(guān)系可求得主矢量FR’的大小與夾角α：FR’OMOF’RyF’Rxyxα（1-8）1.7平面力系的簡化、合力矩定理

平面力系簡化結(jié)果的應(yīng)用現(xiàn)在討論一種常見的約束類型——固定端約束FABFABFABFyAFxAMA固定端約束反力有三個(gè)分量：

兩個(gè)正交分力FxA、FyA，一個(gè)反力偶MA。1.7平面力系的簡化、合力矩定理二、平面力系簡化結(jié)果FR’≠0，MO=0。原力系為一作用在簡化中心的合力，與簡化中心位置有關(guān)

；

FR’=0，MO≠0。原力系為一力偶系，與簡化中心位置無關(guān)；平面力系簡化后，得主失量FR’和主矩MO，簡化結(jié)果有四種可能。MO用力偶（FR，F(xiàn)R’’）表示力大小等于FR’’O1O

FRFR’FR’’dO

FR’MO減去平衡力系FRO1O

d1.7平面力系的簡化、合力矩定理三、合力矩定理3.FR’≠0，

MO≠0。此為普遍情況，還可繼續(xù)簡化為一作用在O1點(diǎn)的合力FR

，即為原力系的合力;FR’=0，MO=0。原力系為一平衡力系。（1-10）將式（1-9）代入，有：

合力矩定理：平面力系對作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于各分力對同點(diǎn)之矩的代數(shù)和。1.7平面力系的簡化、合力矩定理F1F2F3FnM2OM1M3MnFR’OMOMO用力偶（FR，F(xiàn)R’’）表示力大小等于FR’’O1O

FRFR’FR’’dO

FR’MO減去平衡力系FRO1O

d

合力矩定理圖示說明OF1F2F3Fnd3d1d2dn1.7平面力系的簡化、合力矩定理[例1-4]圖示水平梁AB受線性分布載荷作用，載荷集度的最大值為q(N/m)，梁長為L。試求分布載荷合力的大小及其作用線的位置。解：

距A端為x的微段dx上作用力的大小為q(x)dx，其中q(x)=q/L，設(shè)合力F到A點(diǎn)的距離xC合力的大小為yA

FxB

qxCq(x)Ldxx合力對A點(diǎn)的矩可由合力矩定理得：三角形面積作用線過載荷圖形心1.7平面力系的簡化、合力矩定理FR2FR1x1x2[思考題]已知q1，q2，L。求FR作用線的位置xC。解：將梯形分布載荷分解為均布載荷和三角形分布載荷。

由合力矩定理得：A

FRB

q2LxCq1均布載荷：三角形載荷：∴梯形載荷的合力：1.7平面力系的簡化、合力矩定理[練習(xí)]圖示結(jié)構(gòu)中，各構(gòu)件的自重不計(jì)，求支座A的約束反力。解

受力分析如圖，對CB分析得對ACD分析得（可以根據(jù)三力平衡匯交定理先確定約束反力方向）B

lMA

C

D

lllFRBFCF’CFRDFxAFyA1.7平面力系的簡化、合力矩定理作業(yè)1-81-91.7平面力系的簡化、合力矩定理1.8平面力系的平衡方程平面任意力系平衡的充要條件是力系的主矢量和力系對任意點(diǎn)的主矩都等于零。即：（1-11）由式(1-8)得：（1-12）式(1-12)即為平面力系的平衡方程，前兩式為投影方程，表示所有力對任選的直角坐標(biāo)系中每一軸上投影的代數(shù)和等于零；第三式為力矩方程，表示所有力對任意點(diǎn)力矩的代數(shù)和等于零。由于這三個(gè)方程相互獨(dú)立，故可用來求解三個(gè)未知量。二矩式（1-13）其中矩心A、B的連線不與x軸垂直。三矩式（1-14）其中矩心A、B、C三點(diǎn)不位于同一條直線上。1.8平面力系的平衡方程由平面力系的平衡方程，可以推出幾個(gè)平面特殊力系的平衡方程。（1-15）①平面力系中所有力的作用線匯交于一點(diǎn)，稱為平面匯交力系。其平衡方程為：②若平面力系中各力學(xué)量均為力偶，稱該力系為平面力偶系。其平衡方程為式(1-12)中的第三式。（1-16）③若平面力系中所有力的作用線互相平行，稱該力系為平面平行力系。其平衡方程為（如各力平行y軸）：注意：平衡方程有幾個(gè)，就只能求解幾個(gè)未知量。[例1-5]圖于為三鉸剛架。A、B、C三處均為圓柱鉸鏈連接，設(shè)剛架自重不計(jì)，試求在力水平力F作用下剛架在A、B兩處所受的約束反力。ACBFaaa解取剛架整體為研究對象，畫受力圖，由平衡方程得：

CFFxAFyAFxBFyBFxAFyAFxCFyC取AC為研究對象，畫受力圖[例1-6]自重不計(jì)的簡支梁AB受力如圖，M=Fa,試求。yA

xB

q2a4aMFFyAFxAFRB解：受力分析，取坐標(biāo)軸如圖：

[例1-7]自重為P=100kN的T字形剛架，l=1m，M=20kNm，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m，試求固定端A的約束反力。解受力分析如圖所示：

A

C

B

q3lMF60ollPFyAFxAMA

求解物體平衡問題的解題方法和步驟確定研究對象，取分離體，畫受力圖。要注意剛體之間作用力和反作用力的關(guān)系。選取合適的坐標(biāo)軸，列靜力平衡方程。為了便于計(jì)算，坐標(biāo)軸的方位應(yīng)盡量與較多的力平行或垂直；矩心盡量選在未知力的作用線的交點(diǎn)上。解平衡方程，求出未知量。[練習(xí)]由桿AC和CD構(gòu)成的復(fù)合梁通過鉸鏈C連接，它的支承和受力如圖所示。已知均布載荷集度q=10kN/m，力偶矩M=40kNm，a=2m，不計(jì)梁重。試求支座A、B、D的約束反力以及鉸鏈C所受的力。yA

xB

qaMaaaC

D

[練習(xí)]剛架由AC和BC兩部分組成，所受載荷如圖所示。試求A，B和C處約束力。A

q2B

q12aaaC

a1.9空間力系若作用在物體的力系中各力的作用線不在同一平面內(nèi)，則稱該力系為空間力系。一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影（1-17）cosα、cosβ、cosγ稱為力F的方向余弦。（1-18）

一次投影法zy