2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：01.（填空題，4分）兩個(gè)平面最多可以將空間分成___部分．2.（填空題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直線與直線BA1成異面直線的共有___條．3.（填空題，4分）設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是___．4.（填空題，4分）已知正方形邊長為1，把該正方形繞著它一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為___．5.（填空題，4分）已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為___．6.（填空題，4分）袋中有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，則取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率為___．7.（填空題，5分）若正四棱臺(tái)的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則它的側(cè)面積為___．8.（填空題，5分）在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中點(diǎn)，過E，D，C1作正方體的截面，則該截面的面積是___．9.（填空題，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，，AA1=4，則球O的體積是___．10.（填空題，5分）異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點(diǎn)C、D分別在直線a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，則CD=___．11.（填空題，5分）已知棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為___．12.（填空題，5分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD上的定點(diǎn)，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分別將△ABE，△CDF沿著AE，CF向矩形所在平面的同一側(cè)翻折至△AB'E與△CD'F處，且滿足B'D'⊥AB，分別將銳二面角B'-AE-D與銳二面角D'-FC-B記為θ1與θ2，則cos2θ1+cos2θ2的最小值為___．13.（單選題，5分）直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a與直線c的位置關(guān)系是（）A.相交B.平行C.異面D.以上都有可能14.（單選題，5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為（）A.8πB.8πC.12πD.10π15.（單選題，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，，E為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則D1E+CE的最小值為（）A.B.C.D.16.（單選題，5分）如圖，平面OAB⊥平面α，OA?α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA⊥PB，記直線OP與平面OAB所成角為θ，則tanθ的最大值是（）A.B.C.D.17.（問答題，0分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB||CD，DC=CB=AB=2，PA=2．

（1）求證：PA⊥平面ABCD；

（2）求異面直線AB與PD所成角的余弦值；18.（問答題，0分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，設(shè)M、N分別為PD、AD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面CMN||平面PAB；

（2）求三棱錐A-CMN的側(cè)面積．19.（問答題，0分）如圖，“中國天眼”是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長為C．

（1）求球冠所在球的半徑R（結(jié)果用h、r表示）；

（2）已知球冠表面積公式為S=2πRh，當(dāng)S=65000π，C=500π時(shí)，求的值及球冠所在球的表面積．20.（問答題，0分）如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD與CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱錐B-ACED的體積為，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．求：

（Ⅰ）CE的長度；

（Ⅱ）求證：AF||平面BDE；

（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCE．21.（問答題，0分）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，AB=4，EF||AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=．

（1）求二面角A-EF-C的大??；

（2）求三棱錐A-BDF的體積；

（3）點(diǎn)N在直線AD上，滿足AN=mAD（0＜m＜1），在直線CF上是否存在點(diǎn)M，使NF||平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2021-2022學(xué)年上海市楊浦區(qū)控江中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：01.（填空題，4分）兩個(gè)平面最多可以將空間分成___部分．【正確答案】：[1]4【解析】：對(duì)兩個(gè)平面的位置關(guān)系情況進(jìn)行討論，得出其將空間分成幾部分，比較所得的結(jié)果即可得到最多可分成幾部分

【解答】：解：兩個(gè)平面的位置關(guān)系是平行與相交，

若兩個(gè)平面平行，則可將空間分成三部分，

若兩個(gè)平面相交，可將空間分成四部分，

故答案為：4．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，解答本題，關(guān)鍵是了解兩個(gè)平面的位置關(guān)系，根據(jù)每種情況下的位置進(jìn)行討論，得出最多可分成幾部分．2.（填空題，4分）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，其所在的直線與直線BA1成異面直線的共有___條．【正確答案】：[1]6【解析】：由異面直線的定義可以直接得到結(jié)果．

【解答】：解：正方體ABCD-A1B1C1D1的共有12條棱中，

BA1成異面直線的有：

AD，DC，B1C1，C1D1，CC1，DD1，共6條．

故答案為：6．

【點(diǎn)評(píng)】：在本題考查異面直線的條數(shù)的求法，考查異面直線的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3.（填空題，4分）設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是___．【正確答案】：[1]矩形【解析】：利用三角形中位線定理可得四邊形EFGH是平行四邊形．根據(jù)AC⊥BD，可得EF⊥EH．即可判斷出四邊形EFGH的形狀是矩形．

【解答】：解：如圖所示，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，

∴EFAC，HGAC，

∴EFHG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又AC⊥BD，

∴EF⊥EH．

則四邊形EFGH的形狀是矩形．

故答案為：矩形．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形、矩形，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.（填空題，4分）已知正方形邊長為1，把該正方形繞著它一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為___．【正確答案】：[1]π【解析】：先確定旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為圓柱，由圓柱的體積公式求解即可．

【解答】：解：由題意，該正方形繞著它一條邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為圓柱，

其中圓柱的底面半徑r=1，高為1，

所以圓柱的體積公式為V=π×12×1=π．

故答案為：π．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了空間旋轉(zhuǎn)體的理解與應(yīng)用，圓柱的體積公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體是圓柱，考查了空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.（填空題，4分）已知一圓錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側(cè)面積為___．【正確答案】：[1]2π【解析】：利用圓錐的側(cè)面積即為側(cè)面展開圖的扇形的面積，求解即可．

【解答】：解：因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖是一半徑為2的半圓，

所以該圓錐的側(cè)面積為=2π．

故答案為：2π．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了圓錐的側(cè)面積的求解，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積即為側(cè)面展開圖的扇形的面積，考查了邏輯推理能力與化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6.（填空題，4分）袋中有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，則取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率為___．【正確答案】：[1]【解析】：基本事件總數(shù)n==10，取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球包含的基本事件個(gè)數(shù)m==7，由此能求出取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率．

【解答】：解：袋中有2個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，

基本事件總數(shù)n==10，

取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球包含的基本事件個(gè)數(shù)m==7，

∴取出的兩個(gè)球中至少有1個(gè)黑球的概率為P==．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7.（填空題，5分）若正四棱臺(tái)的上底邊長為2，下底邊長為8，高為4，則它的側(cè)面積為___．【正確答案】：[1]100【解析】：利用高、斜高、兩個(gè)對(duì)應(yīng)的邊心距構(gòu)成一個(gè)直角梯形，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出斜高，代入側(cè)面積公式運(yùn)算．

【解答】：解：∵上底的邊心距為1，

下底的邊心距為4，

高是4，

∴斜高為==5，

故側(cè)面積等于4××5=100．

故答案為：100．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正棱臺(tái)的側(cè)面積求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出斜高是解題的關(guān)鍵．8.（填空題，5分）在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中點(diǎn)，過E，D，C1作正方體的截面，則該截面的面積是___．【正確答案】：[1]【解析】：過E，D，C1作正方體的截面，是等腰梯形，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，求出截面圖形的面積．

【解答】：解：正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中點(diǎn)，

過E，D，C1作正方體的截面，是等腰梯形DEFC1，如圖所示：

其中F是BB1的中點(diǎn)，EF=DC1=×6=3，DE=FC1==3；

所以梯形底面上的高為h==，

則該截面的面積是S=×（6+3）×=．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了正方體截面面積的計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9.（填空題，5分）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB⊥BC，AB=1，，AA1=4，則球O的體積是___．【正確答案】：[1]【解析】：把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為長方體，求出長方體的對(duì)角線長，可得外接球的半徑，代入球的體積公式得答案．

【解答】：解：由題意可知，三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，

將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成長方體，則長方體的外接球即為直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球，

半徑R滿足，則R=，

故球O的體積．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查多面體外接球體積的求法，訓(xùn)練了分割補(bǔ)形法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．10.（填空題，5分）異面直線a、b所成角為，直線c與a、b垂直且分別交于A、B，點(diǎn)C、D分別在直線a、b上，若AC=1，AB=2，BD=3，則CD=___．【正確答案】：[1]或【解析】：首先作出圖形，轉(zhuǎn)化異面直線a，b所成的角為∠CAE=或，再利用余弦定理和勾股定理求CD．

【解答】：解：過點(diǎn)A作AE||BD，且AE=BD，連結(jié)ED，CE，

因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成角為，所以∠CAE=或，

AC=1，AE=3，當(dāng)∠CAE=時(shí)，CE2=12=7，解得：CE=，

當(dāng)時(shí)，，解得：CE=，

因?yàn)锳E||BD，且AE=BD，所以四邊形AEDB是平行四邊形，即：DE=2，

又因?yàn)閏⊥a，c⊥b，即DE⊥AE，且DE⊥CE，AC∩AE=A，

所以DE⊥平面ACE，

所以DE⊥CE，

當(dāng)CE=，DE=2時(shí)，CD=，

當(dāng)CE=，DE=2時(shí)，CD=，

故答案為：或．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了異面直線所成角的作法以及利用余弦定理進(jìn)行簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．11.（填空題，5分）已知棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1，M是正方形BB1C1C的中心，P是△A1C1D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長度為___．【正確答案】：[1]【解析】：滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，根據(jù)P是△A1C1D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，可得點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST，T在中點(diǎn)，S在4等分點(diǎn)，利用余弦定理，求出ST即可．

【解答】：解：

滿足PM=PD的點(diǎn)P的軌跡是過MD的中點(diǎn)，且與MD垂直的平面，

因?yàn)镻是△A1C1D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P的軌跡是兩平面的交線ST，T為DC1中點(diǎn)，

S在4等分點(diǎn)時(shí)，SD=3，

SM==3，滿足SD=SM，

所以SD=3，TD=2，

所以ST2=（3）2+（2）2-2×=14，

所以ST=，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查軌跡的求解，考查余弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬中檔題．12.（填空題，5分）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD上的定點(diǎn)，且∠BAE=45°，∠DCF=30°，分別將△ABE，△CDF沿著AE，CF向矩形所在平面的同一側(cè)翻折至△AB'E與△CD'F處，且滿足B'D'⊥AB，分別將銳二面角B'-AE-D與銳二面角D'-FC-B記為θ1與θ2，則cos2θ1+cos2θ2的最小值為___．【正確答案】：[1]【解析】：根據(jù)題意，作B′在底面的射影O，D′在底面的射影Q，找到兩個(gè)銳二面角的平面角，從而得到，，∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，設(shè)BL=y，將所求式子表示成y的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最小值，即可求得答案．

【解答】：解：如圖①作BH⊥AH，B′在底面投影為O，

∴，

同理，D′Q⊥面ABCD，DM⊥CF，

又∵B′D′⊥AB，∴QO⊥AB，

還原到平面圖形如圖②HK、OL⊥AB、QJ、MI⊥CD，

可求得BK=1，設(shè)BL=y

∴，同理可求得，

，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值，

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查立體幾何中的翻折問題、二面角的概念、函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解的關(guān)鍵是利用平行條件進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化，屬于難題．13.（單選題，5分）直線a與直線b相交，直線c也與直線b相交，則直線a與直線c的位置關(guān)系是（）A.相交B.平行C.異面D.以上都有可能【正確答案】：D【解析】：根據(jù)題意，由空間直線間的位置關(guān)系，分析可得答案．

【解答】：解：根據(jù)題意，直線a與b相交，b與c相交，

直線a與直線c可能相交、平行、異面，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查空間直線間的關(guān)系，涉及直線位置關(guān)系的定義，屬于基礎(chǔ)題．14.（單選題，5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的側(cè)面積為（）A.8πB.8πC.12πD.10π【正確答案】：A【解析】：由圓柱的軸截面是面積為8的正方形，可得圓柱的高和底面圓的直徑，根據(jù)圓柱的側(cè)面是以圓柱的高為寬，底面圓的周長為長的矩形，即可得解．

【解答】：解：由題意知，圓柱的軸截面是面積為8的正方形，

∴圓柱的高為2，圓柱底面圓的直徑為2，

∴底面圓的周長為2π，

∴側(cè)面積S=2×2π=8π．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓柱中的簡單計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A柱的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15.（單選題，5分）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，，E為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則D1E+CE的最小值為（）A.B.C.D.【正確答案】：D【解析】：作出幾何體的圖形，連接D1A，并延長至點(diǎn)G，使得AG=AD，連接C1B，并延長至點(diǎn)F，使得BF=BC，連接GF，連接D1F，則D1F為D1E+CE的最小值，利用勾股定理求解即可．

【解答】：解：作出幾何體的圖形如圖所示，連接D1A，并延長至點(diǎn)G，使得AG=AD，

連接C1B，并延長至點(diǎn)F，使得BF=BC，連接GF，

則四邊形ABFG為正方形，

連接D1F，則D1F為D1E+CE的最小值，

所以D1E+CE的最小值為D1F==．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了兩條線段之和最小值的求法，考查了空間中線線、線面、面面間位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力、空間想象能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.（單選題，5分）如圖，平面OAB⊥平面α，OA?α，OA=AB，∠OAB=120°．平面α內(nèi)一點(diǎn)P滿足PA⊥PB，記直線OP與平面OAB所成角為θ，則tanθ的最大值是（）A.B.C.D.【正確答案】：A【解析】：過B作BH⊥OA的延長線，垂足為H，連接PH，OP，取AH的中點(diǎn)E，連接PE，過點(diǎn)P作PF⊥OA，垂足為F，由已知證明∠AOP就是直線OP與平面OAB所成角θ，再證明PA⊥PH，可得點(diǎn)P的軌跡是平面α內(nèi)以線段AH為直徑的圓（A點(diǎn)除外），設(shè)OA=a（a＞0），由已知可得AB=a，AH=，PE=，當(dāng)且僅當(dāng)PE⊥OP，即OP是圓E的切線時(shí)，角θ有最大值，tanθ有最大值，再由tanθ=求得tanθ的最大值．

【解答】：解：如圖，過B作BH⊥OA的延長線，垂足為H，

連接PH，OP，取AH的中點(diǎn)E，連接PE，

過點(diǎn)P作PF⊥OA，垂足為F，

∵平面OAB⊥平面α，且平面OAB∩平面α=OA，BH?平面OAB，PF?α，

∴BH⊥α，PF⊥平面OAB，

∴OP在平面OAB上的射影就是直線OA，故∠AOP就是直線OP與平面OAB所成角θ，

即∠AOP=θ，

∵AP?α，∴PA⊥BH，

又∵PA⊥PB，PB∩BH=B，∴PA⊥平面PBH，則PA⊥PH．

∴點(diǎn)P的軌跡是平面α內(nèi)以線段AH為直徑的圓（A點(diǎn)除外）．

∵OA=AB，且∠OAB=120°，

∴∠BAH=60°，設(shè)OA=a（a＞0），則AB=a，從而AH=AB?cos60°=．

∴PE=，

當(dāng)且僅當(dāng)PE⊥OP，即OP是圓E的切線時(shí)，角θ有最大值，tanθ有最大值．

tanθ的最大值為=．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查空間中直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．17.（問答題，0分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，∠PAD=∠ABC=90°，AB||CD，DC=CB=AB=2，PA=2．

（1）求證：PA⊥平面ABCD；

（2）求異面直線AB與PD所成角的余弦值；【正確答案】：

【解析】：（1）求出線面垂直的判斷定理所需的條件即可；

（2）異面直線中作其中一條直線的平行線，轉(zhuǎn)化為相交直線，利用余弦定理求出相交直線的余弦值，進(jìn)而得到異面直線的余弦值．

【解答】：（1）證明：∵PA⊥CD，PA⊥AD，CD∩AD=D，

∴PA⊥平面ABCD，

（2）∵AB||CD，

∴∠PDC為異面直線AB與PD所成的角或其補(bǔ)角，

∵PA⊥平面ABCD，

∴在Rt△PAD中，，，

∴，

∴，

∴異面直線AB與PD所成角的余弦值為：．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．18.（問答題，0分）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1，設(shè)M、N分別為PD、AD的中點(diǎn)．

（1）求證：平面CMN||平面PAB；

（2）求三棱錐A-CMN的側(cè)面積．【正確答案】：

【解析】：（1）先利用平面幾何性質(zhì)證明CN||AB，MN||PA，從而利用線面平行判定定理證明線面平行，再證明面面平行，

（2）分別求三個(gè)三角形的面積即可．

【解答】：證明：（1）∵∠ACD=90°，N為AD的中點(diǎn)，∴AN=CN，

又∵∠CAD=60°，∴△ACN為等邊三角形，

∴∠ACN=60°，∴∠BCN=∠BCA+∠ACN=30°+60°=90°，即CN⊥BC，

又∵AB⊥BC，∴CN||AB，

∴CN||平面PAB，

∵M(jìn)、N分別為PD、AD的中點(diǎn)，∴MN||PA，

∴MN||平面PAB，

又∵M(jìn)N∩CN=N，MN?平面CMN，CN?平面CMN，

∴平面CMN||平面PAB．

（2）∵PA⊥平面ABCD，MN||PA，∴MN⊥平面ABCD，且MN=PA=1，

AN=NC=NC=2，CM==，AM==，

∴S△AMN=×1×2=1，S△ACN=×22=，S△ACM=×2×=2，

故三棱錐A-CMN的側(cè)面積為1++2=3+．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了立體幾何中平行與垂直的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題．19.（問答題，0分）如圖，“中國天眼”是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、世界最大單口徑、最靈敏的球面射電望遠(yuǎn)鏡，其反射面的形狀為球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為球冠的底，與截面垂直的球體直徑被截得的部分為球冠的高，設(shè)球冠底的半徑為r，球冠的高為h，球冠底面圓周長為C．

（1）求球冠所在球的半徑R（結(jié)果用h、r表示）；

（2）已知球冠表面積公式為S=2πRh，當(dāng)S=65000π，C=500π時(shí)，求的值及球冠所在球的表面積．【正確答案】：

【解析】：（1）直接利用勾股定理的應(yīng)用求出結(jié)果；

（2）利用球冠的表面積公式和球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．

【解答】：解：（1）如圖所示：

依題意：設(shè)OB垂直于球冠的底面，顯然O1B=h，OO1=R-h，O1A=r，

利用在Rt△OO1A中，，

整理得：R2=（R-h）2+r2，

解得．

（2）由于球冠的底面圓的周長為500π，

所以r=，

球冠的表面積為S=2πRh，

且S=65000π，

所以h=，

由，

即，

解得R=650．

所以，

球的表面積為，

所以，S球=1690000π．

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：球冠的表面積和球的表面積公式，勾股定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．20.（問答題，0分）如圖所示，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD與CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱錐B-ACED的體積為，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．求：

（Ⅰ）CE的長度；

（Ⅱ）求證：AF||平面BDE；

（Ⅲ）求證：平面BDE⊥平面BCE．【正確答案】：

【解析】：（I）證明AB⊥平面ACED，可得AB為四棱錐B-ACED的高，利用四棱錐B-ACED的體積為，即可求出CE的長度；

（Ⅱ）作BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD，由三角形中位線定理，及平行四邊形判定定理可得四邊形GFAD為平行四邊形，進(jìn)而AF||GD，再由線面平行的判定定理得到AF||平面BDE；

（Ⅱ）由AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)可得AF⊥BC，結(jié)合GF⊥AF及線面垂直的判定定理可得AF⊥平面BCE進(jìn)而由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCE．

【解答】：（Ⅲ）解：四邊形ACED為梯形，且平面ABC⊥平面ACED．

∵BC2=AC2+AB2，∴AB⊥AC．

∵平面ABC∩平面ACED=AC，

∴AB⊥平面ACED，…2分

即AB為四棱錐B-ACED的高，

∵，

∴CE=2．…4分

（Ⅱ）證明：取BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD，則GF為三角形BCE的中位線，

∴GF||EC||DA，，

∴四邊形GFAD為平行四邊形，∴AF||GD．

又GD?平面BDE，AF?平面BDE，

∴AF||平面BDE．…8分

（Ⅲ）證明：∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．

又∵GF⊥AF，BC∩GF=F，∴AF⊥平面BCE．

∵AF||GD，∴GD⊥平面BCE．

又GD?平面BDE，

∴平面BDE⊥平面BCE．…12分

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定．是中等題．21.（問答題，0分）中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣．芻，草也．甍，屋蓋也．”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條樓．芻字面意思為茅草屋頂．”現(xiàn)有一個(gè)芻如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個(gè)全等的等腰梯形，AB=4，EF||AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=．

（1）求二面角A-EF-C的大小；

（2）求三棱錐A-BDF的體積；

（3）點(diǎn)N在直線AD上，滿足AN=mAD（0＜m＜1），在直線CF上是否存在點(diǎn)M，使NF||平面BDM？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】：

【解析】：（1）根據(jù)二面角的定義