2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的傾斜角為，則（

）A． B．1 C． D．2．已知直線與圓相切，則（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．5．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn).則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．火電廠的冷卻塔常用的外形之一是旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，可以看成是由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面的一部分（如圖1），它的優(yōu)點(diǎn)是對流快?散熱效果好.某火電廠的冷卻塔設(shè)計(jì)圖紙比例（長度比）為（圖紙上的尺寸單位：），圖紙中單葉雙曲面的方程為（如圖2），則該冷卻塔的占地面積為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓，從上任意一點(diǎn)向軸作垂線段為垂足，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．8．如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于曲線，則（

）A．曲線不可能表示直線B．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則其焦距為D．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則其長軸長為10．如圖所示，在長方體中，分別在棱和上，，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線與所成角的余弦值為C．直線和平面所成角的正弦值為D．若為線段的中點(diǎn)，則直線平面11．已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線與直線及軸分別交于點(diǎn)，則（

）A．的周長為10B．直線的斜率之積為定值C．當(dāng)時(shí)，線段的中點(diǎn)到直線的距離為D．若，則的取值范圍是三、填空題（本大題共3小題）12．在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為.13．已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，若，則雙曲線的方程為.14．已知，拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是直線l與x軸的交點(diǎn)，過拋物線上一點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，直線PF與MQ相交于點(diǎn)N，若，則△AMN的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為所在直線的方程為所在直線的方程為.(1)求直線的方程；(2)求的面積.16．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn).(1)若的面積為，求的方程；(2)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是斜率的倍，求的最大值.18．已知圓的圓心在以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，圓的所有過點(diǎn)的弦中最短弦長為.(1)求圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).19．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，已知，為雙曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的長為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，記的面積為，的面積為，若，求的取值范圍；(3)已知點(diǎn)在軸上方，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，若的延長線與交于點(diǎn)，問是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案1．【正確答案】D【詳解】依題意，.故選：D2．【正確答案】B【詳解】由題意，得圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以，解得.故選：B3．【正確答案】C【分析】由題意得到，，結(jié)合得到方程，求出的值.【詳解】由題意得，，其中，故，解得或8，故選C.4．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：C5．【正確答案】D【詳解】取橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為,連接，則四邊形為平行四邊形，設(shè)，由橢圓的對稱性得，其中，即，所以，令，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或3時(shí)，，即的取值范圍是.故選：D

6．【正確答案】B【詳解】令，可得出，這是一個(gè)半徑為的圓，根據(jù)比例尺得出實(shí)際圓的半徑長為，所以占地面積為.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可得，代入橢圓方程得，其中.故選：C8．【正確答案】A【詳解】因?yàn)槠矫妫?，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接，則、，設(shè)，其中，所以，，則點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，因?yàn)?，所以，則.所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故選：A.9．【正確答案】BC【詳解】對于A，當(dāng)，時(shí)，方程為，即或，此時(shí)方程表示直線，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)榍€表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，所以，則，故B正確；對于C，因?yàn)榍€表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，將方程化為，依題意，焦距，故C正確；對于D，因?yàn)榍€表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，將方程化為，依題意，橢圓長軸長為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)橛炙杂?，所以又，所以綜上可知：分別為所在棱的三等分點(diǎn)，由于直線不平行于平面，所以兩點(diǎn)到平面的距離不相等，所以兩個(gè)三棱錐的體積不相等，故A正確；對于B，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，則直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線和平面所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；對于D，連接，交于點(diǎn)，連接，則，又平面平面，從而平面，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】BD【詳解】如圖，橢圓，長軸長，短軸長，焦距，對于A，直線過橢圓的左焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，則的周長為，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)Mx1,所以，同理，所以直線的斜率之積為，故B正確；對于C，將直線與聯(lián)立得，設(shè)Nx2,y2線段的中點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；設(shè)，由共線得，即，同理由共線得，所以，而，則，所以，又，則，故D正確.故選：BD.12．【正確答案】【詳解】直線的斜率為，所以與垂直的直線斜率為，又直線過點(diǎn)，可得所求直線的方程為，即.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，由已知可得，即，因?yàn)?，所以，所以，故雙曲線的方程為.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】如圖，由，得，又因?yàn)镕1,0為，的中點(diǎn)，所以，即N為PF的三等分點(diǎn)，且，又因?yàn)?，所以，且，所以．不妨設(shè)Px0,y0，且在第一象限，，因?yàn)辄c(diǎn)Px所以，所以△AMN的面積．故答案為.15．【正確答案】(1)(2)5【詳解】（1）由點(diǎn)在上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的中點(diǎn)在直線上，于是，解得，即，所以直線的方程為，即.（2）由（1）可得，又點(diǎn)到直線的距離.所以的面積.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?又平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）解：因?yàn)椋譃橹悬c(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，所以平面，所以兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【正確答案】(1)或(2)【詳解】（1）解：由題意知，易知的斜率不為，設(shè)，聯(lián)立，得，所以.所以，由，解得，所以的方程為或.（2）由（1）可知，因?yàn)榈男甭适切甭实谋叮?，?所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)證明見解析，【詳解】（1）設(shè)線段的垂直平分線斜率為，則，所以.又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段的垂直平分線方程為，即，則圓心的坐標(biāo)在上，所以.因?yàn)?，圓的所有過點(diǎn)的弦中最短弦長為，易知最短弦垂直于，所以,所以，則圓的方程為.（2）證明：顯然直線的斜率存在，設(shè)其方程為，與圓的方程聯(lián)立并消去得，設(shè)，則，直線的方程為，令，得，所以.同理得，所以線段的中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，是一個(gè)定點(diǎn).19．【正確答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，得①因?yàn)?，所以，得②，又③，由①②③得，，所以雙曲線的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?，，所以?由，得，即，又，則，解得，所以，即的取值范圍是；