2024-2025學年青海省西寧市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年青海省西寧市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化直線一般式方程為斜截式，求出直線的斜率，由傾斜角的正切值等于直線的斜率求得傾斜角.由，得，設直線的傾斜角為，則，，故選D.本題主要考查直線的斜截式方程的應用以及直線斜率與直線傾斜角的關(guān)系，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于簡單題.2.已知圓過點，則圓的標準方程是（）A.B.C.D.【正確答案】A【分析】由題意可得圓心，半徑，即可得圓的標準方程.由在圓上，故圓心在直線上，由在圓上，故圓心在直線上，即圓心，半徑，故方程為.故選：A.3.已知向量，，，若，，共面，則（）A.4 B.2 C.3 D.1【正確答案】D【分析】根據(jù)共面定理得，即可代入坐標運算求解.因為，，共面，所以存在兩個實數(shù)、，使得，即，即，解得.故選：D4.已知圓，圓，則圓的位置關(guān)系為（

）A.內(nèi)含 B.外切 C.內(nèi)切 D.相交【正確答案】C【分析】利用圓心距與半徑之差相等，可以判定兩圓相內(nèi)切.由圓得：，所以圓的圓心坐標為，半徑，又由圓得：，所以圓的圓心坐標為，半徑，則圓心距，由于，所以，則圓的位置關(guān)系為內(nèi)切.故選：C.5.在三棱柱中，記，，，點P滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的線性運算求出結(jié)果．三棱柱中，記，，，如圖所示：故．故選：D．6.點在圓上運動，點在直線上運動，若的最小值是2，則的值為（）A.10 B. C.20 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離以及的最小值求得.圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，由于的最小值是，所以直線與圓相離，所以的最小值為.故選：D7.已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】D【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案.，即，故，，因為B∈0,π，所以，故，因為，所以，故為等腰直角三角形.故選：D8.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值的正負確定選項.設，則，故為奇函數(shù)，A，D符合，排除B，C.又，所以當時，恒成立，故A滿足，D排除.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則向量在向量上的投影向量【正確答案】ACD【分析】代入的值，得到向量的坐標，利用向量的坐標運算，判斷向量的平行垂直，求向量夾角的余弦和投影向量的坐標.向量若，則，，所以，A選項正確；若，，，不滿足則，B選項錯誤；若，，則，C選項正確；若，，則向量在向量上的投影向量:，D選項正確.故選：ACD10.已知直線，圓，則（）A.過定點B.圓與軸相切C.若與圓有交點，則的最大值為0D.若平分圓，則【正確答案】ABD【分析】利用直線方程與的取值無關(guān)，求解定點判A，利用直線與圓的位置關(guān)系判斷B，C,先發(fā)現(xiàn)直線必過圓心，后將圓心代入直線，求解參數(shù)，判斷D即可.對A，整理直線的方程，得，令，解得，當時，直線方程與的取值無關(guān)，又，解得，即必過定點，故A正確；對B，整理圓的方程，得，易知圓心到軸的距離為，又，故得圓與軸相切，故B正確；對C，若與圓有交點，設圓心到直線的距離為，可得，解得故C錯誤；對D，若平分圓，則必過圓心，易知圓心為?2,3，將?2,3代入直線的方程，得，解得，故D正確.故選：ABD.11.函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)在上增函數(shù)C.若把函數(shù)的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)是奇函數(shù)D.，若恒成立，則的最小值為.【正確答案】ACD【分析】對A，由函數(shù)圖像即可算出函數(shù)的周期，由,即可求出，再代入一個最高點即可求出函數(shù)的解析式；對B、C，由圖像的平移變換即可求得變換后的圖像，然后根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性即可判斷；對D，通過分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，再利用三角函數(shù)知識即可求得的最小值.對A，由題意知，，，，即，（），（），又，，，所以A正確；對B，把的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數(shù)，，，在上不單調(diào)遞增，故B錯誤；對C，把的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)為，是奇函數(shù)，故C正確；對D，對，恒成立，即，恒成立，令，，則，，，，，的最小值為，故D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.12.已知函數(shù)則______.【正確答案】3【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式直接代入求函數(shù)值即可.，，故313.已知空間向量，且，則等于________．【正確答案】2【分析】根據(jù)題意結(jié)合空間向量垂直的坐標運算求解.因為，則，解得.故2.14.過點的直線被圓截得的弦長為，則直線的方程為________.【正確答案】或【分析】注意分斜率不存在和存在兩種情況進行討論，結(jié)合點到直線的距離公式以及垂徑定理即可求得答案.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，此時直線l截圓所得弦長為，滿足題意，設直線l的方程為，即.由垂徑定理，得圓心到直線l的距離，結(jié)合點到直線距離公式，得，化簡得，解得，即直線l的方程為.故或.15.在棱長為的正四面體中，點為平面內(nèi)的動點，且滿足，則直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為______.【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件先確定出在平面內(nèi)的軌跡，然后通過建立空間直角坐標系，根據(jù)兩直線方向向量夾角的余弦值結(jié)合三角函數(shù)值的范圍，計算出兩直線所成角的余弦值的取值范圍.記在底面內(nèi)的投影為，則底面，又、平面，故、，則，，又，則，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標系：設，，，所以，所以，設直線與直線的所成角為，所以.故答案為.方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.四、解答題：本題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸.16.已知△ABC的三個頂點為，，．求：（1）AB所在直線的方程；（2）AB邊上的高所在直線的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的點斜式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，先得到AB邊上的高所在直線的斜率，再由直線的點斜式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】依題意，直線AB的斜率，所以直線AB的方程為，即．【小問2詳解】由（1）知，直線AB的斜率為2，所以AB邊上的高所在直線的斜率為，所以AB邊上的高所在直線的方程為，即．17.已知函數(shù)．（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）任取，作差，分析每一個因式的正負，進而得到，可判斷單調(diào)性；（2）根據(jù)第一問得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式，解不等式即可得到答案.【小問1詳解】任取，則，因為，則，，，則，故在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）得，上單調(diào)遞減，所以，，解得，所以，即所求范圍是.18.已知圓C：，點．（1）若，過P的直線l與C相切，求l的方程；（2）若C上存在到P的距離為1的點，求m的取值范圍．【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）對直線l的斜率是否存在討論，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列式運算；（2）要使圓C上存在到點P的距離為1的點，則圓心C到的距離滿足，，運算得解.【小問1詳解】因為，所以圓C的方程為①當l的斜率不存在時，l的方程為，與圓C相切，符合題意；②當l的斜率存在時，設l的方程為，即，圓心C到l的距離，解得，則l的方程為，即，綜上可得，l的方程為或．【小問2詳解】由題意可得圓C：，圓心，半徑，則圓心C到的距離，要使C上存在到P的距離為1的點，則，即，解得，所以m的取值范圍為．19.為了慶祝黨的二十大勝利召開，培養(yǎng)擔當民族復興的時代新人，某高中在全校三個年級開展了一次“不負時代，不負韶華，做好社會主義接班人”演講比賽．共1500名學生參與比賽，現(xiàn)從各年級參賽學生中隨機抽取200名學生，并按成績分為五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖，且第五組中高三學生占．（1）求抽取的200名學生的平均成績（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）若在第五組中，按照各年級人數(shù)比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從中選取2人組成宣講組，在校內(nèi)進行義務宣講，求這2人都是高三學生的概率；（3）若比賽成績（為樣本數(shù)據(jù)的標準差），則認為成績優(yōu)秀，試估計參賽的1500名學生成績優(yōu)秀的人數(shù)．參考公式：，（是第組的頻率），參考數(shù)據(jù)：【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得抽到的高三學生的人數(shù)，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，利用方差的計算公式，求得，結(jié)合，求得相應的概率，即可求解.小問1詳解】由頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：，所以抽取的200名學生的平均成績．【小問2詳解】由于第五組總共要抽取7人，高三學生占，所以抽到的高三學生應該有人，這7個人中，不是高三學生設為，其中3個高三學生設為，從7人中抽取2人，共有：，，共有21種抽法，其中這2人都是高三學生為：，共有3種抽法，由古典概型得，這2人都是高三學生的概率為．【小問3詳解】依題意，由方差的計算公式，可得：，所以優(yōu)秀的比賽成績應該，而比賽成績在90,100的頻率為，因為，故參賽的1500名學生成績優(yōu)秀的人數(shù)為105人．20.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）建立空間直角坐標，求平面法向量，利用法向量和的關(guān)系可得線面垂直.（2）求兩個平面的法向量，利用公式可求得二面角的余弦值.【小問1詳解】以原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，∴，，，設平面的法向量為，則，取，由得，平面.小問2詳解】由題意得，，，設平面的法向量為，則，取，∴，由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.已知線段AB的端點B的坐標是，端點A的運動軌跡是曲線C，線段AB的中點M的軌跡方程是.（1）求曲線C的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)（異于原點O），直線OE，OF的斜率分別為，且，①證明：直線l過定點P，并求出點P的坐標；②若，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值.【正確答案】（1）（2）①證明見解析；定點②詳見解析.【分析】（1）利用相關(guān)點法求軌跡方程；（2）①首先設直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理表示，即可求解定點坐標；②由幾何圖形可知，，再利用直角三角形，協(xié)辦的中線等于斜