備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-§9-4-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

§9.4直線與圓、圓與圓的

位置關(guān)系第九章平面解析幾何1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)

相離相切相交圖形

量化方程觀點(diǎn)Δ

0Δ

0Δ

0幾何觀點(diǎn)d

rd

rd

r<<>>＝＝2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)

圖形量的關(guān)系外離

__________外切

__________相交

________________d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切

__________內(nèi)含

__________d＝|r1－r2|d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝__________.(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,則|MN|＝________________________.1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.(2)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解).判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離.(

)(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切.(

)(4)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑.(

)××√√1.直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是A.相交

B.相切C.相離

D.相切或相交√2.直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，√3.若圓C1：x2＋y2＝16與圓C2：(x－a)2＋y2＝1相切，則a的值為A.±3 B.±5C.3或5 D.±3或±5√當(dāng)兩圓外切時(shí)，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.探究核心題型第二部分命題點(diǎn)1

位置關(guān)系的判斷例1

(1)(2021·新高考全國(guó)Ⅱ改編)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法不正確的是A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切√題型一直線與圓的位置關(guān)系若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為A.相交、相切或相離

B.相交或相切C.相交

D.相切√方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(diǎn)(1,2).因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交.方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.所以直線與圓相交.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.思維升華命題點(diǎn)2

弦長(zhǎng)問題例2

(1)(2022·北京模擬)已知圓x2＋y2＝4截直線y＝k(x－2)所得弦的長(zhǎng)度為2，那么實(shí)數(shù)k的值為√圓x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑r＝2，(2)(2023·滁州模擬)已知過點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|＝

時(shí),直線l的方程為___________________.x＝0或3x＋4y－4＝0因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化為(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圓心為(－1,3)，半徑為r＝2，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)圓心(－1,3)到直線x＝0的距離為1，滿足條件；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y＝kx＋1，此時(shí)直線l的方程為3x＋4y－4＝0，綜上，所求直線的方程為3x＋4y－4＝0或x＝0.弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝

.思維升華命題點(diǎn)3

切線問題例3

已知點(diǎn)

，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.∴點(diǎn)P在圓C上.(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng).∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外.當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，∴直線x＝3是圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，即3x－4y－5＝0.綜上，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.思維升華命題點(diǎn)4

直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題例4

(2023·龍巖模擬)已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PAOB的面積的最小值為________.∵點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，∴P(x0,4－x0)，涉及與圓的切線有關(guān)的線段長(zhǎng)度范圍(最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長(zhǎng)度表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.思維升華A.相切

B.相交C.相離

D.相交或相切√所以直線與圓相交或相切.√題型二圓與圓的位置關(guān)系例5

(1)(2023·揚(yáng)州聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和兩點(diǎn)A(0,－m)，B(0,m)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得AP⊥BP，則m的最大值為A.5 B.6 C.7 D.8√因?yàn)閮牲c(diǎn)A(0，－m)，B(0，m)，點(diǎn)P滿足AP⊥BP，故點(diǎn)P的軌跡C1是以A，B為直徑的圓(不包含A，B)，故其軌跡方程為x2＋y2＝m2(x≠0)，則|4－|m||≤3≤4＋|m|，解得|m|∈[1,7]，則m的最大值為7.(2)圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0與圓C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程為______________，公共弦長(zhǎng)為______.x－2y＋4＝0兩式相減并化簡(jiǎn)，得x－2y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2023·齊齊哈爾模擬)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關(guān)系為A.內(nèi)含

B.相交

C.外切

D.外離√圓M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑R＝2.圓N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圓心N(1,0)，半徑r＝2，故兩圓是相交關(guān)系.(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程_____________________________________________________________________________________.x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需寫出上述三個(gè)方程中的一個(gè)即可)如圖，因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3,4)，半徑r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1.②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過兩圓圓心的直線l對(duì)稱.則點(diǎn)O(0,0)到l2的距離為1，即7x－24y－25＝0.易知t>0，則點(diǎn)O(0,0)到l3的距離為1，即3x＋4y－5＝0.綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4與直線3x＋4y＋5＝0的位置關(guān)系為A.相離

B.相切

C.相交

D.不確定√1234567891011121314由題意知，圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心為(－1,2)，半徑r＝2，所以直線3x＋4y＋5＝0與圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是相切.2.(2023·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是A.外離

B.相交

C.外切

D.內(nèi)切√12345678910111213141234567891011121314由題意知，圓O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圓心坐標(biāo)O1(1,0)，半徑r1＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圓心坐標(biāo)為O2(0,2)，半徑r2＝2，所以圓O1與圓O2相交.3.(2022·沈陽模擬)已知圓C的圓心在直線l1：x＋2y－7＝0上，且與直線l2：x＋2y－2＝0相切于點(diǎn)M(－2,2)，則圓C被直線l3：2x＋y－6＝0截得的弦長(zhǎng)為1234567891011121314√設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，解得a＝－1，b＝4.123456789101112131412345678910111213144.(2023·滁州模擬)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是A.－2或1 B.2或1C.－1或2 D.－1或－2√5.(2022·深圳模擬)若圓C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距離為1的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.(－18,6] B.[－2,6]C.[－2,18] D.[4,18]√12345678910111213141234567891011121314將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18.因?yàn)閳AC上有到(－1,0)的距離為1的點(diǎn)，所以圓C與圓C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，解得－2≤m≤18.12345678910111213146.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點(diǎn)P，使過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是√1234567891011121314由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，則圓心為C(2,0)，半徑r＝2，過點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，連接AC，BC(圖略)，12345678910111213147.(2023·陽泉模擬)若直線(m＋1)x＋my－2m－1＝0與圓x2＋y2＝3交于M，N兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|的最小值為______.21234567891011121314直線MN的方程可化為m(x＋y－2)＋x－1＝0，所以直線MN過定點(diǎn)A(1,1)，因?yàn)?2＋12<3，即點(diǎn)A在圓x2＋y2＝3內(nèi)，當(dāng)OA⊥MN時(shí)，圓心O到直線MN的距離取得最大值，12345678910111213148.(2022·雞西模擬)過點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則△PAB外接圓的方程是___________________.由圓x2＋y2＝4，得到圓心為O(0,0)，由題意知O，A，B，P四點(diǎn)共圓，△PAB的外接圓即四邊形OAPB的外接圓，又點(diǎn)P(4,2)，從而OP的中點(diǎn)坐標(biāo)(2,1)為所求圓的圓心，

為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.(x－2)2＋(y－1)2＝59.已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？1234567891011121314兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，則圓心分別為(1,3)，(5,6)，1234567891011121314兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.(2)當(dāng)m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).123456789101112131410.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.(1)若直線l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，證明：無論m為何值，直線l都與圓C相交；1234567891011121314轉(zhuǎn)化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，所以直線l恒過點(diǎn)(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，得點(diǎn)(2,3)在圓內(nèi)，即直線l恒過圓內(nèi)一點(diǎn)，所以無論m為何值，直線l都與圓C相交.1234567891011121314(2)若過點(diǎn)P(1,0)的直線m與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值，并求此時(shí)直線m的方程.1234567891011121314由C的圓心為(3,4)，半徑r＝2，易知此時(shí)直線m的斜率存在且不為0，故設(shè)直線m的方程為x＝my＋1(m≠0)，直線m的一般方程為my－x＋1＝0，1234567891011121314所以△ABC面積的最大值為2，此時(shí)直線m的方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.123456789101112131411.若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為綜合提升練√1234567891011121314點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由題意知，反射光線所在的直線一定過點(diǎn)(2，－3).設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.123456789101112131412.(2022·合肥模擬)已知圓O：x2＋y2＝4與圓C：x2＋y2－x＋

y－3＝