2025屆湖南省婁底市名校聯(lián)考高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.故選：A2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，則，解得，所以，，所以，從而.故選：D.3.已知向量與是非零向量，且滿(mǎn)足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以鈍角，且.故選：A4.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬?，則平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如題圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C.5.定義：滿(mǎn)足為常數(shù)，）的數(shù)列稱(chēng)為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故n的最小值為8，故選：B6.已知函數(shù)，若滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是定義在上的偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增，又，則，且，則不等式可化為，即，且是定義在上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則，即，即，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7.在中，角所對(duì)的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為，所以，即.若，此時(shí)能取到最小值，即，代入可得，滿(mǎn)足要求；若取不到最小值，則需滿(mǎn)足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故A正確；因?yàn)榈牡忍?hào)成立條件不成立，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選：AD10.已知定義域在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：是奇函數(shù)，且，當(dāng)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的周期 B.C.在上單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】由于是奇函數(shù)，所以，則又，則，所以，所以的周期為8，A錯(cuò)誤，，，故B正確，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，，作出函數(shù)圖象為：由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C正確，由于的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤故選：BC11.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AD所成角為D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BD的距離最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，,則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面PGC．因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，A錯(cuò)誤．因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AD所成角即為直線(xiàn)PC與直線(xiàn)BC所成角，為，C正確．如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BD距離最小時(shí)，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，即為中點(diǎn),平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn),可知N為QA的中點(diǎn)，故，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．13.已知函數(shù)，若的最小值為，則________．【答案】【解析】，，所以，或，，所以．14.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互平行且分別交軸于、兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，，因此，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）若，，求的面積；（2）求的最小值，并求出此時(shí)的大?。猓海?）由題意得，因?yàn)?，所以，故，又，所以．因?yàn)?、是的?nèi)角，所以為鈍角，所以，所以，所以是等腰三角形，則，所以．（2）由（1）可知，中，，即為鈍角，則，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，結(jié)合鈍角，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是5，此時(shí)．16.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半球相切．設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．（1）用分別表示線(xiàn)段BC和PD長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡(jiǎn)得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的側(cè)面積S的最小值為．17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求實(shí)數(shù)的值.（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，則，解得.（2），由題設(shè)可知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的附近的符號(hào)發(fā)生變化.令，則，若，則，則為0,+∞上為增函數(shù)，在0,+∞上至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若，則，故在上為增函數(shù)，若，則，故在上為減函數(shù)，故，故.又且，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)；下證當(dāng)時(shí)，總有.令，則，當(dāng)時(shí)，，故為上的減函數(shù)，故，故成立.令，則，故當(dāng)時(shí)，有，取，則當(dāng)時(shí)，有，故，故在上，存在實(shí)數(shù)，使得，由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性可知可得在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求；（2）已知且，若數(shù)列是等比數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求使得成立的的取值范圍．解：（1）①②②-①得，，得．當(dāng)時(shí)，①式為，得，也滿(mǎn)足上式．，數(shù)列an是等差數(shù)列，所以．（2），則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，又，得，得．令，即，即．當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，（*）式滿(mǎn)足要求．令，則，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，式不成立．使得成立的的取值范圍是．19.牛頓法(Newton'smethod)是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過(guò)程如下：如圖，設(shè)r是的根，選取x．作為r的初始近似值，過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)L，L的方程為.如果，則L與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，稱(chēng)為r的一階近似值．再過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，并求出切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記為，稱(chēng)為r的二階近似值．重復(fù)以上過(guò)程，得r的近似值序列：，根據(jù)已有精確度，當(dāng)時(shí)，給出近似解．對(duì)于函數(shù)，已知.（1）若給定，求r的二階近似值；（2）設(shè)①試探求函數(shù)h(x)的最小值m與r的關(guān)系；②證明：.解：（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，當(dāng)時(shí)，，同理，而，所以.（2）①由（1）知，，則，，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，由，得，且，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得最小值.②由①知，，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，因此，所以.湖南省婁底市名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為在第一象限.故選：A2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，則，解得，所以，，所以，從而.故選：D.3.已知向量與是非零向量，且滿(mǎn)足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以鈍角，且.故選：A4.最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類(lèi)”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬瑒t平地降雪厚度的近似值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如題圖所示，可求得器皿中雪表面的半徑為，所以平地降雪厚度的近似值為.故選：C.5.定義：滿(mǎn)足為常數(shù)，）的數(shù)列稱(chēng)為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】由題意知二階等比數(shù)列的二階公比為，則，故，將以上各式累乘得：，故，令，由于，故，即，又的值隨n的增大而增大，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故n的最小值為8，故選：B6.已知函數(shù)，若滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是定義在上的偶函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，則，所以在單調(diào)遞增，又，則，且，則不等式可化為，即，且是定義在上的偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，則，即，即，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A7.在中，角所對(duì)的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，故選：D.8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值恰為，則所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇藭r(shí)的最小值為，所以，即.若，此時(shí)能取到最小值，即，代入可得，滿(mǎn)足要求；若取不到最小值，則需滿(mǎn)足，即，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿(mǎn)足條件的的積屬于區(qū)間，故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，故A正確；因?yàn)榈牡忍?hào)成立條件不成立，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選：AD10.已知定義域在R上的函數(shù)滿(mǎn)足：是奇函數(shù)，且，當(dāng)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的周期 B.C.在上單調(diào)遞增 D.是偶函數(shù)【答案】BC【解析】由于是奇函數(shù)，所以，則又，則，所以，所以的周期為8，A錯(cuò)誤，，，故B正確，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合，，作出函數(shù)圖象為：由圖象可知：在上單調(diào)遞增，C正確，由于的圖象不關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤故選：BC11.在四棱錐中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)M使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AD所成角為D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BD的距離最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，D，M作截面交PB于點(diǎn)N，則四棱錐的體積是【答案】BCD【解析】如圖1，取AD的中點(diǎn)G，連接GC，PG，BD，,則，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，平面，則．又因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面PGC．因?yàn)槠矫鍼GC，平面PGC，所以不成立，A錯(cuò)誤．因?yàn)椤鰽PD為等腰直角三角形，將四棱錐的側(cè)面APD作為底面一部分，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體．如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確．如圖2，直線(xiàn)PC與直線(xiàn)AD所成角即為直線(xiàn)PC與直線(xiàn)BC所成角，為，C正確．如圖1，因?yàn)槠矫鍼GC，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)BD距離最小時(shí)，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此M為PC的中點(diǎn)．如圖3，由M為PC的中點(diǎn)，即為中點(diǎn),平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn),可知N為QA的中點(diǎn)，故，D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．【答案】【解析】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．13.已知函數(shù)，若的最小值為，則________．【答案】【解析】，，所以，或，，所以．14.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互平行且分別交軸于、兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，，因此，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．（1）若，，求的面積；（2）求的最小值，并求出此時(shí)的大?。猓海?）由題意得，因?yàn)?，所以，故，又，所以．因?yàn)?、是的?nèi)角，所以為鈍角，所以，所以，所以是等腰三角形，則，所以．（2）由（1）可知，中，，即為鈍角，則，因?yàn)?，，所以，設(shè)，則，由，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，結(jié)合鈍角，即當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是5，此時(shí)．16.如圖，在正三棱錐中，有一半徑為1半球，其底面圓O與正三棱錐的底面貼合，正三棱錐的三個(gè)側(cè)面都和半球相切．設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，．（1）用分別表示線(xiàn)段BC和PD長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的側(cè)面積S的最小值．解：（1）連接OP，由題意O為的中心，且面ABC，又面ABC，所以，所以為直角三角形．設(shè)半球與面PBC的切點(diǎn)為E，則且．在中，，所以．在中，．（2）由題知，，化簡(jiǎn)得，，令，則上述函數(shù)變形為，，所以，令，得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的側(cè)面積S的最小值為．17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求實(shí)數(shù)的值.（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，則，解得.（2），由題設(shè)可知有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在零點(diǎn)的附近的符號(hào)發(fā)生變化.令，則，若，則，則為0,+∞上為增函數(shù)，在0,+∞上至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，若，則，故在上為增函數(shù)，若，則，故在上為減函數(shù)，故