2025屆江西省萍鄉(xiāng)市高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故選：C．2.已知集合，，若，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因?yàn)?，所以，則，故選：B．3.已知直線，與平面滿足，，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①“”是“”的充分不必要條件；②“”是“”的必要不充分條件.判斷正確的是（）A.①，②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①，②都是假命題【答案】A【解析】①若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故①是真命題；②若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故②是真命題．故選：A．4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定義域?yàn)椋?，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除BC；，可排除D.故選：A.5.已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，，所以．故選：D．6.已知平面向量，，，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量為．故選：D．7.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以方程有5個(gè)根．設(shè)，結(jié)合fx圖象可得至多有三根，則方程化為，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，結(jié)合的圖象可知，，，令，則由二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況得：解得．故選:B．8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．若，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，可得，解得，所以，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，得，所以對(duì)任意的偶數(shù)成立，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取最大值，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得，所以對(duì)任意的奇數(shù)成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且當(dāng)是無(wú)限接近于12，故．綜上所述，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，取，，可得，，不滿足，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.若函數(shù)圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)C.的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】由題知，的最小正周期為，所以，所以，又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，，因?yàn)椋?，故．令，解得，故在上單調(diào)遞減，故A正確；，令，得，，所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，故B正確；因?yàn)?，，所以的圖像與的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；，令，解得或，，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，即，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的圖像關(guān)于軸對(duì)稱B.的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若恒成立，則或D.【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，通過(guò)整體向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以是上的奇函數(shù)．對(duì)于A，由于，所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以為偶函數(shù)，易知不恒成立，所以的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.13.用鐵水灌注上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和的正四棱臺(tái)工件，若其側(cè)面梯形的高為，則所需鐵水的體積為_(kāi)____．（灌注過(guò)程中鐵水無(wú)額外損耗）【答案】【解析】如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，，分別為側(cè)面上的高以及棱臺(tái)的高，則，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，過(guò)作，垂足為，則，所以，所以該正四棱臺(tái)的體積為，即所需鐵水的體積為．14.設(shè)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，令，則，且，所以，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，在正方體中，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．（2）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，則點(diǎn)在上．不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以是的中點(diǎn)，所以，，所以是平面與平面的夾角．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以?6.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長(zhǎng)；（2）求四邊形的面積．解：（1）因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長(zhǎng)為；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以四邊形的面積為．17.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）因?yàn)?，，且，所以，解得，?dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，所以，因?yàn)?，所以，且，所以是首?xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即有．（2），所以，兩式相減得，所以，因?yàn)?，所以?8.已知函數(shù)．（1）證明：的圖象與軸相切；（2）設(shè)．（i）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0又f1=0，所以曲線在1,f1處的切線方程為，即的圖象與軸相切．（2）（i），．當(dāng)時(shí)，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得，所以函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和1,+∞，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為0,+∞，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為1,+∞，減區(qū)間為（0，1）．（ii）在1,+∞上恒成立可轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則．令，則，所以函數(shù)φx在1,+又，，則函數(shù)φx在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，h'x<0，h當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，，h又，得，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．19.定義：多面體在點(diǎn)處離散曲率為，其中為多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，（，且）為多面體的所有與點(diǎn)相鄰的頂點(diǎn)，且平面、平面、、平面和平面為多面體的所有以為公共點(diǎn)的面．如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，．（1）求四棱錐在頂點(diǎn)處的離散曲率；（2）求四棱錐內(nèi)切球的表面積；（3）若是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，則．因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，、平面，所以平面，又平面，所以，即，由離散曲率的定義得．（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)四棱錐表面積為，則．設(shè)四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，所以四棱錐內(nèi)切球的表面積．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面，則為直線與平面所成的角．易知，當(dāng)與重合時(shí)，；當(dāng)與不重合時(shí)，設(shè)，在中，由余弦定理得因?yàn)?，所以，所以，則，所以．當(dāng)分母最小時(shí)，最大，即最大，此時(shí)（與重合），由，得，即，所以的最大值為，所以直線與平面所成角的取值范圍為．江西省萍鄉(xiāng)市2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】由可得，所以．故選：C．2.已知集合，，若，則（）A.6 B.4 C. D.【答案】B【解析】，，因?yàn)?，所以，則，故選：B．3.已知直線，與平面滿足，，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①“”是“”的充分不必要條件；②“”是“”的必要不充分條件.判斷正確的是（）A.①，②都是真命題 B.①是真命題，②是假命題C.①是假命題，②是真命題 D.①，②都是假命題【答案】A【解析】①若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故①是真命題；②若，則“”“”，反之，“”推不出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故②是真命題．故選：A．4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】定義域?yàn)椋?，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，可排除BC；，可排除D.故選：A.5.已知，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以．故選：D．6.已知平面向量，，，若，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以，所以在上的投影向量為．故選：D．7.已知函數(shù)若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，所以方程有5個(gè)根．設(shè)，結(jié)合fx圖象可得至多有三根，則方程化為，此方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，結(jié)合的圖象可知，，，令，則由二次函數(shù)的零點(diǎn)的分布情況得：解得．故選:B．8.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列．若，且對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.（0，1） B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，可得，解得，所以，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由，得，所以對(duì)任意的偶數(shù)成立，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取最大值，故；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，得，所以對(duì)任意的奇數(shù)成立，因?yàn)閱握{(diào)遞增，且當(dāng)是無(wú)限接近于12，故．綜上所述，．故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，取，，可得，，不滿足，故D錯(cuò)誤．故選：BC．10.若函數(shù)圖像的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，且圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減B.在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)C.的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D.直線是曲線的切線【答案】ABD【解析】由題知，的最小正周期為，所以，所以，又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，，因?yàn)椋?，故．令，解得，故在上單調(diào)遞減，故A正確；，令，得，，所以在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)和，故B正確；因?yàn)?，，所以的圖像與的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；，令，解得或，，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故切線方程為，即，故D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.的圖像關(guān)于軸對(duì)稱B.的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若恒成立，則或D.【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，通過(guò)整體向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以是上的奇函數(shù)．對(duì)于A，由于，所以為偶函數(shù)，其函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，，所以為偶函數(shù)，易知不恒成立，所以的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，由恒成立，得恒成立，又，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，故D正確．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知正數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)____．【答案】【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），即的最小值為.13.用鐵水灌注上、下底面的邊長(zhǎng)分別為和的正四棱臺(tái)工件，若其側(cè)面梯形的高為，則所需鐵水的體積為_(kāi)____．（灌注過(guò)程中鐵水無(wú)額外損耗）【答案】【解析】如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，，分別為側(cè)面上的高以及棱臺(tái)的高，則，，在等腰梯形中，，等腰梯形中，過(guò)作，垂足為，則，所以，所以該正四棱臺(tái)的體積為，即所需鐵水的體積為．14.設(shè)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】，令，則，且，所以，因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以，即．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)．（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；（2）求平面與平面夾角的正弦值．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，在正方體中，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以，，，四點(diǎn)共面．（2）如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，，則點(diǎn)在上．不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以是的中點(diǎn)，所以，，所以是平面與平面的夾角．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以?6.如圖，在平面四邊形中，，，，．（1）求四邊形的周長(zhǎng)；（2）求四邊形的面積．解：（1）因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四邊形的周長(zhǎng)為；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以四邊形的面積為．17.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，證明：．解：（1）因?yàn)?，，且，所以，解得，?dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減可得，所以，因?yàn)?，所以，且，所以是首?xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，即有．（2），所以，兩式相減得，所以，因?yàn)?，所以?8.已知函數(shù)．（1）證明：的圖象與軸相切；（2）設(shè)．（i）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?,+∞，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x<0又f1=0，所以曲線在1,f1處的切線方程為，即的圖象與軸相切．（2）（i），．當(dāng)時(shí)，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，解得或；由，解得，所以函數(shù)在和