2025屆山東省煙臺市高三上學期11月期中考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺市2025屆高三上學期11月期中數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以，或，所以.故選：B.2.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，；反之，當時，.則“”是“”的充要條件.故選：C.3.已知，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，可得.展開得到.，則；，則.將和代入中，得到，移項可得，解得.根據投影向量公式，得到.故選：B4.若函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由x<2，得，且，所以，因此，故函數的定義域為.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，，∴.故選：A.6.已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，，若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時，，顯然，令得，當得，故在上單調遞減，在上單調遞增，又是定義在R上的奇函數，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故在R上為連續(xù)函數，故在區(qū)間上單調遞減，又在區(qū)間上單調遞減，所以，解得.故選：C7.已知定義在R上的函數滿足，當時，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為定義在R上的函數滿足，所以關于對稱，當時，，所以f'x<0所以在上單調遞減，因為關于對稱，所以在1,+∞上單調遞增，由，則，可得：，即或，所以不等式的解集為.故選：D.8.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中一題是測海島的高.如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，若，，，，則海島的高為（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A.由，得，因，所以，即，選項A正確.B.由，，，即，選項B錯誤.C.由，得，因為，所以，選項C正確.D.令，則不成立，選項D錯誤.故選：AC.10.已知函數相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（）A.函數的圖象關于點對稱B.是函數圖象的一條對稱軸C.若，則D.將圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】，又相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，所以，，所以函數的圖象關于點對稱，故正確；，所以是函數圖象的一條對稱軸，故正確；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故錯誤；將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故正確；故選：.11.設在區(qū)間上的可導函數，其導函數為，函數的導函數為.若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；又當函數在區(qū)間上單調遞減時，稱函數為區(qū)間上的“上凸函數”.則（）A.任何一個三次函數均有“拐點”B.函數為區(qū)間上的“上凸函數”C.若函數的“拐點”在軸的右側，則函數在區(qū)間上單調遞減D.若函數存在拐點，且為定義域上的“上凸函數”，則【答案】ABD【解析】對于A選項：對于三次函數，，再求導得到.令，則，解得，所以任何一個三次函數均有“拐點”，A選項正確.對于B選項：，，.當時，，，得出函數在區(qū)間上單調遞減，所以函數是區(qū)間上的“上凸函數”，B選項正確.對于C選項：，，.令，得，因為“拐點”在軸右側，所以，即.令可得，所以，的遞減區(qū)間是，C選項錯誤.對于D選項：，，.令，即在有解.即則有正解.則Δ=a2并且因為函數為定義域上的“上凸函數”，所以在定義域上單調遞減.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保證拐點，則.D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為___________.【答案】【解析】對于，因為，所以，根據對數運算法則.因為，所以.根據對數運算法則.13.已知平行四邊形ABCD中，，，，P是BC邊上的動點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】以B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖，則，，，，因為點P在邊AB上，所以設點P的坐標為，，則當時，，即的取值范圍為.14.函數，，.若時，函數為偶函數，試寫出滿足條件的b的一個值為_____；若當時，對，，，則a的取值范圍為___________.【答案】1（答案不唯一）【解析】若時，為偶函數，則，即，所以或0，對，，，所以，因為時，在上單調遞增，所以，所以，又，當時，在上單調遞增，所以，即，解得，當時，在上單調遞減，所以，所以，解得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無解，所以a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，函數.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）當時，，求實數的取值范圍.解：（1），令，，解得，，故的單調遞增區(qū)間為，；（2），故，則，因為當時，，所以，實數的取值范圍為.16.已知函數.（1）當時，求過點且與函數圖象相切的直線方程；（2）當時，討論函數的單調性.解：（1）當時，，求導可得，設函數在點的切線過點，所以，又，所以，又因為切線過點，所以，所以，解得，所以切線方程為，即.（2）由，可得，當時，由，可得或，所以函數在和上單調遞增，由，可得，所以函數在上單調遞減，當時，由，可得，所以函數在上單調遞增，當時，由，可得或，所以函數在和上單調遞增，由，可得，所以函數在上單調遞減，綜上所述：當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.17.如圖，某地一公園ABCD為等腰梯形，其中，，，（單位：百米），公園出入口分別為C，D和AB中點Q，公園管理部門準備在公園內部（不含邊界）距離C，D兩點相等的一點P處修建連接三個出口的道路PQ，PC，PD.設，，道路總長度為y.（單位：百米）（1）分別求y關于x和y關于θ的函數關系式；（2）請選用（1）中的一個關系式，求：當點P在何位置時三條道路的總長度最小.解：（1）如圖，過A作于E,過B作于F,延長交于G.由于距離C，D兩點相等的一點P，則.根據題意，，，由等腰梯形性質，知道,,在中,求得,且，則.在中,求得.故y關于x的關系式為：，即.在中，，且，則.并且,則.則y關于θ的關系式為：，即.（2）用,求導得到.令，則，，則.當,,單調遞減；當,,單調遞增；故當，y取得最小值.且綜上所得，當時,三條道路的總長度最小.18.在中，角所對的邊分別為，滿足，是邊上的點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.解：（1）由，可得，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，所以；（2）因為，所以，兩邊平方可得，又因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以，所以所以面積的最大值為.19.已知函數，，.（1）證明：當時，曲線與有且只有兩條公切線；（2）若函數與的圖象有兩個交點，求的取值范圍.解：（1）當時，，，求導得，，設直線與相切于點，則切線斜率，直線與相切于點，則切線斜率，則，整理得，由題意可得：，消去可得：，令，則，則，可得，令，要證曲線與有且只有兩條公切線，即證在上有且只有兩個零點，求導可得，可得在定義域內單調遞增，且，，故在上有唯一零點，且，當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，可知的最小值為，又因為，則，注意到趨近0時，趨近，趨近時，趨近，所以在和上分別存在一個零點，故在上有且只有兩個零點，故原命題得證.（2）由函數與的圖象有兩個交點，則有兩個不等的實根，因為，所以，所以，所以，即有兩個大于2且不等的實根，由，可得，所以，令，求導可得，所以在上單調遞增，所以有兩個實根，令，所以所兩個大于1的實根，兩邊取對數可得，令，求導可得，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以時，，又當時，，當時，，所以與在上有兩個交點，則，解得，所以函數與的圖象有兩個交點，的取值范圍為.山東省煙臺市2025屆高三上學期11月期中數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以，或，所以.故選：B.2.在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當時，；反之，當時，.則“”是“”的充要條件.故選：C.3.已知，，，則向量在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，可得.展開得到.，則；，則.將和代入中，得到，移項可得，解得.根據投影向量公式，得到.故選：B4.若函數的定義域為，則函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由x<2，得，且，所以，因此，故函數的定義域為.故選：D.5.已知，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，，∴.故選：A.6.已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，，若函數在區(qū)間上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時，，顯然，令得，當得，故在上單調遞減，在上單調遞增，又是定義在R上的奇函數，故在上單調遞減，在上單調遞增，又，故在R上為連續(xù)函數，故在區(qū)間上單調遞減，又在區(qū)間上單調遞減，所以，解得.故選：C7.已知定義在R上的函數滿足，當時，，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為定義在R上的函數滿足，所以關于對稱，當時，，所以f'x<0所以在上單調遞減，因為關于對稱，所以在1,+∞上單調遞增，由，則，可得：，即或，所以不等式的解集為.故選：D.8.魏晉時劉徽撰寫的《海島算經》是有關測量的數學著作，其中一題是測海島的高.如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，若，，，，則海島的高為（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A.由，得，因，所以，即，選項A正確.B.由，，，即，選項B錯誤.C.由，得，因為，所以，選項C正確.D.令，則不成立，選項D錯誤.故選：AC.10.已知函數相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則（）A.函數的圖象關于點對稱B.是函數圖象的一條對稱軸C.若，則D.將圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】ABD【解析】，又相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，所以，所以，，所以函數的圖象關于點對稱，故正確；，所以是函數圖象的一條對稱軸，故正確；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故錯誤；將圖象上所有的點向右平移個單位長度，得，故正確；故選：.11.設在區(qū)間上的可導函數，其導函數為，函數的導函數為.若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；又當函數在區(qū)間上單調遞減時，稱函數為區(qū)間上的“上凸函數”.則（）A.任何一個三次函數均有“拐點”B.函數為區(qū)間上的“上凸函數”C.若函數的“拐點”在軸的右側，則函數在區(qū)間上單調遞減D.若函數存在拐點，且為定義域上的“上凸函數”，則【答案】ABD【解析】對于A選項：對于三次函數，，再求導得到.令，則，解得，所以任何一個三次函數均有“拐點”，A選項正確.對于B選項：，，.當時，，，得出函數在區(qū)間上單調遞減，所以函數是區(qū)間上的“上凸函數”，B選項正確.對于C選項：，，.令，得，因為“拐點”在軸右側，所以，即.令可得，所以，的遞減區(qū)間是，C選項錯誤.對于D選項：，，.令，即在有解.即則有正解.則Δ=a2并且因為函數為定義域上的“上凸函數”，所以在定義域上單調遞減.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保證拐點，則.D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的值為___________.【答案】【解析】對于，因為，所以，根據對數運算法則.因為，所以.根據對數運算法則.13.已知平行四邊形ABCD中，，，，P是BC邊上的動點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】以B為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，如圖，則，，，，因為點P在邊AB上，所以設點P的坐標為，，則當時，，即的取值范圍為.14.函數，，.若時，函數為偶函數，試寫出滿足條件的b的一個值為_____；若當時，對，，，則a的取值范圍為___________.【答案】1（答案不唯一）【解析】若時，為偶函數，則，即，所以或0，對，，，所以，因為時，在上單調遞增，所以，所以，又，當時，在上單調遞增，所以，即，解得，當時，在上單調遞減，所以，所以，解得，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無解，所以a的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，函數.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）當時，，求實數的取值范圍.解：（1），令，，解得，，故的單調遞增區(qū)間為，；（2），故，則，因為當時，，所以，實數的取值范圍為.16.已知函數.（1）當時，求過點且與函數圖象相切的直線方程；（2）當時，討論函數的單調性.解：（1）當時，，求導可得，設函數在點的切線過點，所以，又，所以，又因為切線過點，所以，所以，解得，所以切線方程為，即.（2）由，可得，當時，由，可得或，所以函數在和上單調遞增，由，可得，所以函數在上單調遞減，當時，由，可得，所以函數在上單調遞增，當時，由，可得或，所以函數在和上單調遞增，由，可得，所以函數在上單調遞減，綜上所述：當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞增，當時，函數在和上單調遞增，在上單調遞減.17.如圖，某地一公園ABCD為等腰梯形，其中，，，（單位：百米），公園出入口分別為C，D和AB中點Q，公園管理部門準備在公園內部（不含邊界）距離C，D兩點相等的一點P處修建連接三個出口的道路PQ，PC，PD.設，，道路總長度為y.（單位：百米）（1）分別求y關于x和y關于θ的函數關系式；（2）請選用（1）中的一個關系式，求：當點P在何位置時三條道路的總長度最小.解：（1）如圖，過A作于E,過B作于F,延長交于G.由于距離C，D兩點相等的一點P，則.根據題意，，，由等腰梯形性質，知道,,在中,求得,且，則.在