2015年高考數(shù)學試卷（文）（北京）（解析卷）

第頁|共頁2015年北京市高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分,共40分）1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，則A∩B=（）A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可．【解答】解：集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，則A∩B={x|﹣3＜x＜2}．故選：A．【點評】本題考查集合的交集的運算法則，考查計算能力．2．（5分）圓心為（1，1）且過原點的圓的標準方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 【考點】J1：圓的標準方程．【專題】11：計算題；5B：直線與圓．【分析】利用兩點間距離公式求出半徑，由此能求出圓的方程．【解答】解：由題意知圓半徑r=，∴圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故選：D．【點評】本題考查圓的方程的求法，解題時要認真審題，注意圓的方程的求法，是基礎(chǔ)題．3．（5分）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x 【考點】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】首先從定義域上排除選項C，然后在其他選項中判斷﹣x與x的函數(shù)值關(guān)系，相等的就是偶函數(shù)．【解答】解：對于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函數(shù)；對于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函數(shù)；對于C，定義域為（0，+∞），是非奇非偶的函數(shù)；對于D，定義域為R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函數(shù)；故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷；首先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；如果不對稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果對稱，再判斷f（﹣x）與f（x）關(guān)系，相等是偶函數(shù)，相反是奇函數(shù)．4．（5分）某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見如表，采用分層插樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）類別人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300A．90 B．100 C．180 D．300 【考點】B3：分層抽樣方法．【專題】11：計算題；5I：概率與統(tǒng)計．【分析】由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，老年和青年教師的人數(shù)比為900：1600=9：16，因為青年教師有320人，所以老年教師有180人，故選：C．【點評】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，比較基礎(chǔ)．5．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（）A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】EF：程序框圖．【專題】27：圖表型；5K：算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，k的值，當a=時滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不滿足條件a＜，a=，k=2不滿足條件a＜，a=，k=3不滿足條件a＜，a=，k=4滿足條件a＜，退出循環(huán)，輸出k的值為4．故選：B．【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）設(shè)，是非零向量，“=||||”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件；9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用；5L：簡易邏輯．【分析】由便可得到夾角為0，從而得到∥，而∥并不能得到夾角為0，從而得不到，這樣根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可找出正確選項．【解答】解：（1）；∴時，cos=1；∴；∴∥；∴“”是“∥”的充分條件；（2）∥時，的夾角為0或π；∴，或﹣；即∥得不到；∴“”不是“∥”的必要條件；∴總上可得“”是“∥”的充分不必要條件．故選：A．【點評】考查充分條件，必要條件，及充分不必要條件的概念，以及判斷方法與過程，數(shù)量積的計算公式，向量共線的定義，向量夾角的定義．7．（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．2 【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】26：開放型；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，結(jié)合直觀圖求相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，可得答案【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═該幾何體最長棱的棱長為：故選：C．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的最長棱長問題，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答本題的關(guān)鍵8．（5分）某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程，在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為（）A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【考點】3U：一次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到該車每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到該車加了48升的汽油，跑了600千米，所以該車每100千米平均耗油量48÷6=8；故選：B．【點評】本題考查了學生對表格的理解以及對數(shù)據(jù)信息的處理能力．二、填空題9．（5分）復(fù)數(shù)i（1+i）的實部為﹣1．【考點】A1：虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則，求解即可．【解答】解：復(fù)數(shù)i（1+i）=﹣1+i，所求復(fù)數(shù)的實部為：﹣1．故答案為：﹣1．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計算能力．10．（5分）2﹣3，，log25三個數(shù)中最大數(shù)的是log25．【考點】72：不等式比較大?。緦ｎ}】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，即可得到最大數(shù)．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，則三個數(shù)中最大的數(shù)為log25．故答案為：log25．【點評】本題考查數(shù)的大小比較，主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運用，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，則∠B=．【考點】HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的邊角關(guān)系，即可得到角B．【解答】解：由正弦定理可得，=，即有sinB===，由b＜a，則B＜A，可得B=．故答案為：．【點評】本題考查正弦定理的運用，同時考查三角形的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知（2，0）是雙曲線x2﹣=1（b＞0）的一個焦點，則b=．【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得雙曲線x2﹣=1（b＞0）的焦點為（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：雙曲線x2﹣=1（b＞0）的焦點為（，0），（﹣，0），由題意可得=2，解得b=．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查雙曲線的焦點的求法，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）如圖，△ABC及其內(nèi)部的點組成的集合記為D，P（x，y）為D中任意一點，則z=2x+3y的最大值為7．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】26：開放型；59：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【解答】解：由z=2x+3y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點A時，直線y=的截距最大，此時z最大．即A（2，1）．此時z的最大值為z=2×2+3×1=7，故答案為：7．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．14．（5分）高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在全年級的排名情況如圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生．從這次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是乙；②在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是數(shù)學．【考點】BG：變量間的相關(guān)關(guān)系．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)散點圖1分析甲乙兩人所在的位置的縱坐標確定總成績名次；（2）根據(jù)散點圖2，觀察丙的對應(yīng)的坐標，如果橫坐標大于縱坐標，說明總成績名次大于數(shù)學成績名次，反之小于．【解答】解：由高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在全年級的排名情況的散點圖可知，兩個圖中，同一個人的總成績是不會變的．從第二個圖看，丙是從右往左數(shù)第5個點，即丙的總成績在班里倒數(shù)第5．在左邊的圖中，找到倒數(shù)第5個點，它表示的就是丙，發(fā)現(xiàn)這個點的位置比右邊圖中丙的位置高，所以語文名次更“大”①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是乙；②觀察散點圖，作出對角線y=x，發(fā)現(xiàn)丙的坐標橫坐標大于縱坐標，說明數(shù)學成績的名次小于總成績名次，所以在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是數(shù)學；故答案為：乙；數(shù)學．【點評】本題考查了對散點圖的認識；屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（共80分）15．（13分）已知函數(shù)f（x）=sinx﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值．【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)；H1：三角函數(shù)的周期性；HW：三角函數(shù)的最值．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函數(shù)的周期性及其求法即可得解；（2）由x∈[0，]，可求范圍x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范圍，即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2=sinx﹣2×=sinx+cosx﹣=2sin（x+）﹣∴f（x）的最小正周期T==2π；（2）∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，∴可解得f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值為：﹣．【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．16．（13分）已知等差數(shù)列{an}滿足a1+a2=10，a4﹣a3=2（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)等比數(shù)列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問：b6與數(shù)列{an}的第幾項相等？【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】11：計算題；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（I）由a4﹣a3=2，可求公差d，然后由a1+a2=10，可求a1，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求（II）由b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比數(shù)列的首項及公比，代入等比數(shù)列的通項公式可求b6，結(jié)合（I）可求【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．∵a4﹣a3=2，所以d=2∵a1+a2=10，所以2a1+d=10∴a1=4，∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）（II）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵b2=a3=8，b3=a7=16，∴∴q=2，b1=4∴=128，而128=2n+2∴n=63∴b6與數(shù)列{an}中的第63項相等【點評】本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用，屬于對基本公式應(yīng)用的考查，試題比較容易．17．（13分）某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××（1）估計顧客同時購買乙和丙的概率；（2）估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；（3）如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人，從而求得顧客同時購買乙和丙的概率．（2）根據(jù)在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有300人，求得顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率．（3）在這1000名顧客中，求出同時購買甲和乙的概率、同時購買甲和丙的概率、同時購買甲和丁的概率，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）從統(tǒng)計表可得，在這1000名顧客中，同時購買乙和丙的有200人，故顧客同時購買乙和丙的概率為=0.2．（2）在這1000名顧客中，在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有100+200=300（人），故顧客顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率為=0.3．（3）在這1000名顧客中，同時購買甲和乙的概率為=0.2，同時購買甲和丙的概率為=0.6，同時購買甲和丁的概率為=0.1，故同時購買甲和丙的概率最大．【點評】本題主要考查古典概率、互斥事件的概率加法公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點．（1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱錐V﹣ABC的體積．【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行；LY：平面與平面垂直．【專題】15：綜合題；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）利用三角形的中位線得出OM∥VB，利用線面平行的判定定理證明VB∥平面MOC；（2）證明：OC⊥平面VAB，即可證明平面MOC⊥平面VAB（3）利用等體積法求三棱錐V﹣ABC的體積．【解答】（1）證明：∵O，M分別為AB，VA的中點，∴OM∥VB，∵VB?平面MOC，OM?平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC=BC，O為AB的中點，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC?平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC?平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S△VAB=，∵OC⊥平面VAB，∴VC﹣VAB=?S△VAB=，∴VV﹣ABC=VC﹣VAB=．【點評】本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，考查體積的計算，正確運用線面平行、平面與平面垂直的判定定理是關(guān)鍵．19．（13分）設(shè)函數(shù)f（x）=﹣klnx，k＞0．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個零點．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】26：開放型；53：導數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）利用f'（x）≥0或f'（x）≤0求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并能求出極值；（2）利用函數(shù)的導數(shù)的極值求出最值，利用最值討論存在零點的情況．【解答】解：（1）由f（x）=f'（x）=x﹣由f'（x）=0解得x=f（x）與f'（x）在區(qū)間（0，+∞）上的情況如下：X（0，）（）f'（x）﹣0+f（x）↓↑所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；f（x）在x=處的極小值為f（）=，無極大值．（2）證明：由（1）知，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值為f（）=．因為f（x）存在零點，所以，從而k≥e當k=e時，f（x）在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞減，且f（）=0所以x=是f（x）在區(qū)間（1，）上唯一零點．當k＞e時，f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，且，所以f（x）在區(qū)間（1，）上僅有一個零點．綜上所述，若f（x）存在零點，則f（x）在區(qū)間（1，]上僅有一個零點．【點評】本題考查利用函數(shù)的導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和導數(shù)的綜合應(yīng)用，在高考中屬于常見題型．20．（14分）已知橢圓C：x2+3y2=