八年級數學上冊第14章勾股定理14.2勾股定理的應用練習新版華東師大版

Page114.2勾股定理的應用1.三角形的三邊為a、b、c，由下列條件不能推斷它是直角三角形的是（）A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2C．a2=(b+c)(b-c)D．a=26b=10學問點：勾股定理的逆定理學問點的描述：在三角形中，假如某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，最大的邊就是斜邊。滿意a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數．勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數．最好能記住常見的幾組勾股數：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案:A具體解答:A．a:b:c=8∶16∶17，可設a＝8k，b＝16k，c＝17k，a2＋b2＝64k2＋256k2＝320k2，c2＝(17k)2＝289k2，所以，a2＋b2≠c2，這個三角形不是直角三角形．B．a2-b2=c2即a2=c2+b2，這個三角形是直角三角形．C．a2=(b+c)(b-c)即a2=b2-c2，所以a2+c2=b2，這個三角形是直角三角形．D．a=26，b=10，c=24，那么c2+b2=102+242=676，a2=262=676，所以a2=c2+b2，這個三角形是直角三角形．1．有一木工師傅測量了一個等腰三角形的腰、底邊和高的長，但他把這三個數據與其它的數據弄混了，請你幫他找出來，是（）． （A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4答案:C具體解答:如圖，假設等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中線AD=12，由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三邊是一組勾股數，所以AD是高。其他三組數據的△ACD的三邊都不是一組勾股數，AD不行能是高。2、△ABC中，AB=AC=10，BC邊上的高AD=6，則BC的長為（）A、8B、10C、12D、16學問點：勾股定理在數學上的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在數學中常常用于求線段的長度。求一條線段的長度的一般方法是：把這條線段放在一個直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加協助線，構建直角三角形。答案:D具體解答:在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD2=AC2-AD2=64，CD=8.△ABC中，AB=AC，那么BC邊上的高AD平分BC，所以BC=2CD=162、已知平面直角坐標系中有A（1，1）和B（4，4）兩點，則連結兩點的線段AB的長是（）A、3B、C、4D、5答案:B（3也可）具體解答:畫出如圖所示的示意圖，構建如圖所示的直角三角形，由A（1，1）和B（4，4）兩點的坐標可以知道AC=3,BC=3,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18因此AB=3、王英同學從C地沿北偏東600方向走10米到B地，再從B地向正南方向走20米到D地，此時王英同學離C地的距離為（）A、10米B、12米C、15米D、米學問點：勾股定理在實際問題中的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在實際問題中常常要求距離或長度等等，解決這種問題就要把實際問題轉化為數學中的求線段長度問題，求一條線段的長度的一般方法是：把這條線段放在一個直角三角形中，把這條線段作為三角形的一邊，利用勾股定理來求。答案:D（10也可）具體解答:依據題意畫出如圖所示的示意圖，由題意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,在Rt△BCE中，CB=10米,∠BCE=300,那么BE=5米，因為BC2=BE2+CE2，所以CE2=75。在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD2=DE2+CE2=75+225=300，所以CD=米.24cm32cm3.如圖，一個圓桶兒，底面直徑為24cm，高為32cm24cm32cmA.20cmB.50cmC.40cmD.45cm答案:C具體解答:畫出答圖如下，則桶內能容下的最長的木棒為圖中線段AB的長，由題意知在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=32cm，那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600，所以AB=40cm4．已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是（）．A．B．3C．D．學問點:特殊三角形——含30°角的直角三角形。學問點的描述:含30°角的直角三角形是一個特別重要的圖形，要記住這個三角形的角與角之間的關系，也要記住這個三角形中的邊和邊之間的關系，這些都是中考的重點。特殊要記住三邊之比1：：2，應用它來解決問題便利快捷。答案:D具體解答:如圖，直角三角形ABC中，一個銳角∠B=60°，斜邊長AB為1，那么BC=,依據勾股定理求出AC=,所以周長1++=4．如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC邊的垂直平分線交AB于E，那么AE∶ED等于()A．1∶1 B．1∶2 C．∶2 D．2∶答案:D具體解答:∵AC邊的垂直平分線交AB于E，∴AE=CE,∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,∵CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，滿意a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試推斷△ABC的形態(tài)()。A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形學問點:代數思想和方法在幾何中的應用，代數與幾何的結合。學問點的描述:勾股定理是用代數的方式來描述一個圖形的性質，因此常常要結合代數的內容來解決問題，代數中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解決這些問題時用得比較多的。答案:A具體解答:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0∴a=5，b=12，c=13，是一組勾股數，利用勾股定理的逆定理推斷△ABC是直角三角形。5、△ABC的三邊a,b,c滿意則△ABC是（）等邊三角形B腰底不等的等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形答案:A具體解答:∵∴∴∴∴∴△ABC是等邊三角形6.一個三角形的三邊的比為5:12:13，它的周長為60cm，則它的面積是（）Ａ.100B.110C.120D.150學問點:對比值處理的一般方法。學問點的描述:當已知幾個比相等的時候，我們常常采納設比值為k的方法，這樣往往便于應用條件，也便于計算。答案:C具體解答:∵△ABC三條邊的比為a:b:c＝5:12:13，則可設a＝5k，b＝12k，c＝13k，∵它的周長為60cm，∴5k+12k+13k=60，k=2，∴△ABC的三邊分別為a＝10cm，b＝24cm，c＝26cm，∴a2＋b2＝102＋242＝676，c2＝262＝676，∴a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．∴它的面積是×10×24=120（cm2）6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周長為60，斜邊與一條直角邊之比為13∶5，則這個三角形三邊長分別是（）A.5、4、3B.13、12、5C.10、8、6D.26、24、10答案:D具體解答:斜邊與一條直角邊之比為13∶5，不妨設a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周長為60，∴5k+12k+13k=60，解得k=2，∴△ABC的三邊分別為a＝10，b＝24，c＝26。7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，則S△ABC等于()A． B．C．或 D．或學問點:多解問題學問點的描述:中考中常常用多解問題來檢查學生思索問題的嚴密性，從而培育學生探討問題的嚴謹性，是學生得高分的一個難點，各市的中考題中一般都有多解問題，平常在解決問題的時候要思索一再，不要輕易的下結論，形成嚴謹的學習習慣和學風。答案:C具體解答:本題沒給出圖形，作△ABC的AB邊的高CD，分兩種狀況探討：（1）若高CD在△ABC的內部，如圖在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1∴S△ABC=AB×CD=（3+1）×=（2）若高CD在△ABC的外部，如圖在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD=，利用勾股定理得AD=3在Rt△BDC中，BC＝2，CD=，那么利用勾股定理得BD=1則S△ABC=AB×CD=（3-1）×=∴S△ABC=或7．若等腰三角形的腰長為4，腰上的高為2，則此三角形的頂角為()A．30° B．150°B．30°或150° D．60°或120°答案:B具體解答:本題沒給出圖形，作圖如下，作△ABC的AC邊的高BD，分兩種狀況探討：（1）若高BD在△ABC的內部，如圖在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，∴∠A＝30°（2）若高CD在△ABC的外部，如圖在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴=，∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°∴三角形的頂角為30°或150°8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則Rt△ABC的面積是（）A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2學問點:代數思想和方法在幾何中的應用，代數與幾何的結合。學問點的描述:勾股定理是用代數的方式來描述一個圖形的性質，因此常常要結合代數的內容來解決問題，代數中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解決這些問題時用得較多。答案:A具體解答:Rt△ABC中，∠C=90°，那么a2+b2=c2，又c=10cm，所以a2+b2=100由已知a+b=14cm，得（a+b）2=196，即a2+b2+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48則Rt△ABC的面積是ab=×48=24（cm2）8．直角三角形中始終角邊的長為11，另兩邊為自然數，則直角三角形的周長為（）A．121 B．132 C．100 D．不能確定答案:B具體解答:假設另始終角邊為a，斜邊為c，依據勾股定理得：c2=a2+112，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1因為c+a＞c-a，所以c+a=121，c-a=1解方程組得c=61，a=60，則直角三角形的周長為132。9．如圖，A市氣象站測得臺風中心在A市正東方向480千米的B處，以30千米/時的速度向北偏西60°的BF方向移動，距臺風中心300千米范圍內是受臺風影響的區(qū)域．A市是否會受到臺風的影響？假如A市受這次臺風影響，那么受臺風影響的時間有多長？（）Ａ.8小時B.10小時C.12小時D.A市不會受到臺風影響學問點：勾股定理在實際問題中的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在實際問題中常常要求距離或長度等等，解決這種問題就要把實際問題轉化為數學中的求線段長度問題，只要仔細的讀題，理解題目的意思，是不難找到數學模型來解決問題的。答案:C具體解答:過A作AC⊥BF于C，則AC=AB=240<300，∴A市會受到臺風影響．過A作AD=300km，交BF于點D．∴DC==180（km），∴該市受臺風影響的時間為：=12小時．AB小河東北牧童小屋9．如圖，一個牧童在小河的南4AB小河東北牧童小屋Ａ.15kmB.16kmC.17kmD.18答案:CABDPNA′M具體解答:如圖，作出A點關于MN的對稱點AABDPNA′M在Rt△A′DB中，A′D=AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），由勾股定理求得A′B==17（km）10．某校把一塊形態(tài)為直角三角形的廢地開拓為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若線段CD是一條小渠，且D點在邊AB上，已知水渠的造價為10元/米，問D點在距A點多遠處時，水渠的造價最低？最低造價是多少？（）Ａ.D點在距A點60米的地方，最低造價為480元B.D點在距A點50米的地方，最低造價為300元C.D點在距A點64米的地方，最低造價為480元D.D點在距A點64米的地方，最低造價為400元學問點：勾股定理在實際問題中的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在實際問題中常常要求距離或長度等等，解決這種問題就要把實際問題轉化為數學中的求線段長度問題，只要仔細的讀題，理解題目的意思，是不難找到數學模型來解決問題的。答案:C具體解答:∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，那么依據勾股定理得AB=100米當CD為斜邊上的高時，CD最短，從而水渠造價最價，作AB邊的高CD∵CD·AB=AC·BC∴CD===48（米）∴AD==64（米）∴D點在距A點64米的地方，水渠的造價最低，其最低造價為480元．10．某市在舊城改造中，安排在市內一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價元，則購買這種草皮至少須要（）A.元 B.元 C.元 D.元150150°20m30m答案:C具體解答:作BC邊上的高AD，∵∠ABC=150°∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，∴AD=10m，∴三角形空地的面積為BC·AD=×30m×10m=150m∵這種草皮每平方米元，則購買這種草皮至少須要元11．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，則四邊形ABCD的面積為()A．47 B．49C．53 D．60學問點：轉化的數學思想、勾股定理學問點的描述：在解決有關求面積問題時，常通過添加協助線，把一般圖形的問題通過分割等手段轉化為規(guī)則圖形的問題。目前用得最多的圖形就是直角三角形。答案:B具體解答：連結AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°∴AC=在△ADC中，AD＝CD＝∴AD2+DC2=（）2+（）2=100又∵AC2=102=100∴AD2+DC2=AC2所以∠ADC=90°∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AD·DC=×8×6+··=24+25=49小結：不規(guī)則圖形的面積，可轉化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉化為三角形面積之和。11．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC邊上的高，DC=2，則BD等于（）A、4B、6C、8D、答案:B具體解答:∵AC=10，DC=2，∴AD=8在Rt△ABD中，AB=10，AD=8，∴BD=612．如圖所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，則BD的長為（）．A．B．C．1D．學問點:方程的思想學問點的描述:在找不到一個能干脆解決問題的直角三角形時，往往要利用方程來解決問題。答案:B具體解答:∵AD=2BD，∴可設BD=k，AD=2kRt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC2-AD2=DC2；Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC2-BD2=DC2，∴AC2-AD2=BC2-BD2，得方程52-（2k）2=42-k2解得k=，所以BD的長為。12．等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，則三角形的面積為（）A.56 B.48 C.40 D.32答案:B具體解答:如圖，假設BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，在Rt△ADC中，AD2+DC2=AC2∵AD＝8，CD＝x，AC=16-x∴82+x2=（16-x）2解得x=6三角形的面積為AD·BC=×8×12=4813．一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程(取3)是()A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.無法確定.學問點：勾股定理在實際問題中的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在實際問題中常常要求距離或長度等等，解決這種問題就要把實際問題轉化為數學中的求線段長度問題，求一條線段的長度的一般方法是：把這條線段放在一個直角三角形中，利用勾股定理。因此解決問題的關鍵是找到合適的直角三角形。答案:B具體解答:將圓柱沿過點A的母線綻開，畫出如圖所示的圓柱的側面綻開圖，螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路徑就是圖中的線段AB，由題意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝×2×2=6，∠C＝90°∴AB=（cm）13.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，須要找尋水源．為了不致于走散，他們用兩部對話機聯系，已知對話機的有效距離為15千米．早晨8：00甲先動身，他以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙動身，他以5千米/時的速度向北行進，上午10：00時甲、乙二人還能保持聯系嗎？（）Ａ.能B.不能答案:A分析：要求甲、乙兩人的距離，就要確定甲、乙兩人在平面的位置關系，由于甲往東、乙往北，所以甲所走的路途與乙所走的路途相互垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙兩人的距離．OAOAB走了12千米，即OA=12（千米）．乙從上午9：00到上午10：00一共走了1小時，走了5千米，即OB=5（千米）．在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13（千米），因此，上午10：00時，甲、乙兩人相距13千米．∵15＞13，∴甲、乙兩人還能保持聯系．14、如圖，∠AOB=450，點P在∠AOB的內部，OP=2，P1與P關于OA對稱，P2與P關于OB對稱，則P1P2的長（）。A、B、3C、D、2學問點：勾股定理在數學上的應用學問點的描述：勾股定理的內容：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。在數學中常常用于求線段的長度。求一條線段長度的一般方法是：把這條線段放在一個直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加協助線，構建直角三角形。答案:C（也可）具體解答:∵P1與P關于OA對稱，∴OP1=OP=2，∠AOP=∠AOP1∵P2與P關于OB對稱，∴OP2=OP=2，∠BOP=∠BOP2∵∠AOB=450，即∠AOP+∠BOP=450，∴∠P1OP2=2（∠AOP+∠BOP）=2×450=900，∴在Rt△P1OP2中，P1P22=OP12+OP22=8∴P1P2=14、如圖，AC是圓的直徑，∠B為直角，AB=6，BC=8，則陰影面積為（）。 （A）100π-24 （B）25π-24 （C）100π-48 （D）25π-48答案:B具體解答:∠B為直角，AB=6，BC=8，那么AC=10則陰影面積為π×52-×6×8=25π-2415．在直角三角形中，自兩銳角所引的兩條中線長分別為5和2，則斜邊長為（）A．10 B．4 C． D．2學問點:代數思想和方法在幾何中的應用，代數與幾何的結合。學問點的描述:勾股定理是用代數的方式來描述一個圖形的性質，因此常常要結合代數的內容來解決問題，代數中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解決這些問題時用得較多。答案:D（也可以）具體解答:如圖所示，不妨設中線AD=2，中線BE=5假設AC=b，BC=a在Rt△ADC中，AC2+DC2=AD2，即b2+（a）2=（2）2，化簡為4b2+a2=160，在Rt△BEC中，BC2+EC2=BE2，即a2+（b）2=52，化簡為4a2+b2=100，兩式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100，即5（a2+b2）=260，所以a2+b2=52，依據勾股定理得AB==215、CD是直角△ABC斜邊AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，則CD的長為（）。A、B、C、D、答案:A具體解答:假設CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB=k，又已知AB=1，所以k=，BC=，AC=AB·CD=AC·BC得CD=16、如圖，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，則BD的長為（）A、B、3C、D、學問點:方程的思想和折疊問題學問點的描述:在找不到一個能干脆解決問題的直角三角形時，往往要利用方程來解決問題。折疊問題中用得最多，還要特殊留意利用相等的線段。答案:A具體解答:連結AD，△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4，那么AB=5∵AB的垂直平分線交AB于E，∴AD=BD假設BD為x，那么AD=x，DC=4-x，△ADC中，∠C=900，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴32+（4-x）2=x2，解得x=16．已知，如圖長方形ABCD中，，，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）ABEFDCABEFDCC.D.答案:A具體解答:假設AE=x，那么EB=ED=9-x在Rt△ABE中，32+x2=（9-x）2，解得x=4△ABE的面積為×3×4=6（cm2）17．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=20cm，D是腰AB上一點，且CD=16cm，BD=12cmＡ.cmB.cmC.53cmD.42cm學問點:方程的思想學問點的描述:在找不到一個能干脆解決問題的直角三角形時，往往要利用方程來解決問題。DBDBCA具體解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故△ABC的周長為2AB+BC=cm17.如圖，南北向MN為我國領域，即MN以西為我國領海，以東為公海.上午9時50分，我反走私A艇發(fā)覺正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷向我領海開來，便馬上通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B.已知A、C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇測得離C艇的距離是12海里.若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國領海？（）Ａ.10時41分