一次函數(shù)與方程、不等式-公開課獲獎(jiǎng)教案

19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式1．掌握一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系；(重點(diǎn))2．綜合應(yīng)用一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系解決問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入1．下面三個(gè)方程有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能進(jìn)行解釋嗎？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.能從函數(shù)的角度解這三個(gè)方程嗎？2．下面三個(gè)不等式有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對這三個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作探究探究點(diǎn)一：一次函數(shù)與一元一次方程一次函數(shù)y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kx＋b＝0的解為()A．x＝－1B．x＝2C．x＝0D．x＝3解析：∵y＝kx＋b經(jīng)過點(diǎn)(2，3)、(0，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,2k＋b＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,k＝1，))∴一次函數(shù)解析式為y＝x＋1.令x＋1＝0，解得x＝－1.故選A.方法總結(jié)：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值．從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y＝kx＋b，確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．探究點(diǎn)二：一次函數(shù)與一元一次不等式對照圖象，請回答下列問題：(1)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＝－x＋1?(2)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＞－x＋1?(3)當(dāng)x取何值時(shí)，2x－5＜－x＋1?解析：(1)直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值即為方程2x－5＝－x＋1的解；(2)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1上方的部分對應(yīng)的x的取值范圍即為不等式2x－5＞－x＋1的解集；(3)直線y＝2x－5在直線y＝－x＋1下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍即為不等式2x－5＜－x＋1的解集．解：(1)由圖象可知，直線y＝2x－5與直線y＝－x＋1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，所以當(dāng)x取2時(shí)，2x－5＝－x＋1；(2)由圖象可知，當(dāng)x＞2時(shí)，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的上方，即2x－5＞－x＋1；(3)由圖象可知，當(dāng)x＜2時(shí)，直線y＝2x－5落在直線y＝－x＋1的下方，即2x－5＜－x＋1.方法總結(jié)：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝kx＋b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx＋b在x軸上(或下)方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．探究點(diǎn)三：一次函數(shù)與二元一次方程(組)直角坐標(biāo)系中有兩條直線：y＝eq\f(3,5)x＋eq\f(9,5)，y＝－eq\f(3,2)x＋6，它們的交點(diǎn)為P，第一條直線交x軸于點(diǎn)A，第二條直線交x軸于點(diǎn)B.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)用圖象法解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5y－3x＝9，,3x＋2y＝12；))(3)求△PAB的面積．解析：(1)分別令y＝0，求出x的值即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)建立平面直角坐標(biāo)系，然后作出兩直線，交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解；(3)求出AB的長，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．解：(1)令y＝0，則eq\f(3,5)x＋eq\f(9,5)＝0，解得x＝－3，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，0)．令－eq\f(3,2)x＋6＝0，解得x＝4，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)；(2)如圖所示，方程組的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3；))(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，S△PAB＝eq\f(1,2)×7×3＝eq\f(21,2).方法總結(jié)：本題考查了二元一次方程(組)與一次函數(shù)的關(guān)系：兩個(gè)方程的解的對應(yīng)點(diǎn)分別在兩條直線上，所以作出兩個(gè)二元一次方程所對應(yīng)的兩條直線，求出交點(diǎn)，則交點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，即為方程組的解．探究點(diǎn)四：運(yùn)用一次函數(shù)與方程、不等式解決實(shí)際問題某銷售公司推銷一種產(chǎn)品，設(shè)x(單位：件)是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y(單位：元)是付給推銷員的月報(bào)酬．公司付給推銷員的月報(bào)酬的兩種方案如圖所示，推銷員可以任選一種與公司簽訂合同，看圖解答下列問題：(1)求每種付酬方案y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)選擇方案一所得報(bào)酬高于選擇方案二所得報(bào)酬時(shí)，求x的取值范圍．解析：(1)由圖已知兩點(diǎn)，可根據(jù)待定系數(shù)法列方程組，求出函數(shù)關(guān)系式；(2)列出方程得出兩直線的相交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得選擇方案一所得報(bào)酬高于選擇方案二所得報(bào)酬時(shí)x的取值范圍．解：(1)設(shè)方案一的解析式為y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，∴方案一y關(guān)于x的解析式為y＝40x；設(shè)方案二的解析式為y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝600，,40a＋b＝1400，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝20，,b＝600，))∴方案二y關(guān)于x的解析式為y＝20x＋600；(2)根據(jù)兩直線相交可得40x＝20x＋600，解得x＝30，故兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為30.當(dāng)x＞30時(shí)，選擇方案一所得報(bào)酬高于選擇方案二所得報(bào)酬．方法總結(jié)：解決此類識(shí)圖題，同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點(diǎn)”，還要善于分析各圖象的變化趨勢．三、板書設(shè)計(jì)1．一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系2．一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系3．用圖象法求二元一次方程組的解4．應(yīng)用一次函數(shù)與方程、不等式解決實(shí)際問題在教學(xué)的過程中，學(xué)生是教學(xué)的主體，所以發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性相當(dāng)?shù)闹匾竟?jié)課是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上教學(xué)的，是對學(xué)生學(xué)習(xí)的又一次綜合與擴(kuò)展．課堂教學(xué)充分體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)理念：教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，把課堂還給學(xué)生．17．1勾股定理第1課時(shí)勾股定理1．經(jīng)歷探索及驗(yàn)證勾股定理的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；(重點(diǎn))2．掌握勾股定理，并運(yùn)用它解決簡單的計(jì)算題；(重點(diǎn))3．了解利用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達(dá)哥拉斯樹，它由若干個(gè)圖形組成，而每個(gè)圖形的基本元素是三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：勾股定理【類型一】直接運(yùn)用勾股定理如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的長；(2)S△ABC；(3)CD的長．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根據(jù)勾股定理即可求出AC的長；(2)直接利用三角形的面積公式即可求出S△ABC；(3)根據(jù)面積公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝12cm；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)CB·AC＝eq\f(1,2)×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(60,13)cm.方法總結(jié)：解答此類問題，一般是先利用勾股定理求出第三邊，然后利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)方程即可．【類型二】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，試求△ABC的周長．解析：本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論．解：此題應(yīng)分兩種情況說明：(1)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖①所示．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周長為15＋13＋14＝42；(2)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖②所示．在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(152－122)＝9.在Rt△ACD中，CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(132－122)＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周長為15＋13＋4＝32.∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，△ABC的周長為42；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，△ABC的周長為32.方法總結(jié)：解題時(shí)要考慮全面，對于存在的可能情況，可作出相應(yīng)的圖形，判斷是否符合題意．【類型三】勾股定理的證明探索與研究：方法1：如圖：對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和．根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程；方法2：如圖：該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示再寫出一種證明勾股定理的方法嗎？解析：方法1：根據(jù)四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和進(jìn)行解答；方法2：根據(jù)△ABC和Rt△ACD的面積之和等于Rt△ABD和△BCD的面積之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四邊形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：此圖也可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移得到．∵S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法總結(jié)：證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理證明勾股定理．探究點(diǎn)二：勾股定理與圖形的面積如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5，1，2.則最大的正方形E的面積是________．解析：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得正方形A、B的面積和為S1，正方形C、D的面積和為S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案為10.方法總結(jié)：能夠發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C、D的邊長正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A、B、C、D的面積和即是最大正方形的面積．三、板書