2023高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(配北師版)第11章-概率-第3節(jié)-幾何概型

高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第3節(jié)幾何概型第十二章2023內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實例,了解幾何概型及幾何概型的基本特征,能計算幾何概型中簡單隨機事件的概率.2.根據(jù)實際問題構(gòu)建概率模型,解決簡單的實際問題.1.與長度、角度有關(guān)的幾何概型2.與面積、體積有關(guān)的幾何概型3.與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型4.與實際生活相關(guān)的幾何概型5.隨機模擬方法1.直觀想象2.數(shù)據(jù)分析3.數(shù)學(xué)建模4.數(shù)學(xué)運算強基礎(chǔ)增分策略1.幾何概型向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機地投擲點M,若點M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比,而與G的形狀、位置無關(guān),即P(點M落在G1)=

,則稱這種模型為幾何概型.幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域,相應(yīng)的概率是體積之比或長度之比.微點撥幾種常見的幾何概型1.與長度有關(guān)的幾何概型,其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān).2.與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān),若已知圖形不明確,可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.3.與體積有關(guān)的幾何概型,可借助空間幾何體的體積公式解答問題.2.隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗,通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法的基本步驟是:①用計算機或計算器產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù),并賦予每個隨機數(shù)一定的意義;②統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N;③計算頻率fn(A)=

作為所求概率的近似值.增素能精準突破考點一與長度、角度有關(guān)的幾何概型典例突破(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=

,BC=1,在∠DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為

.

反思感悟1.與長度或角度有關(guān)的幾何概型的解法:如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度(或角度)表示,則其概率的計算公式為2.當考察對象為點,點的活動范圍在線段上時用線段長度之比計算;當考察對象為線時,一般用角度之比計算.對點訓(xùn)練1(1)(2021山西太原一模)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)任取一個實數(shù)k,則使得直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點的概率是(

)(2)如圖所示,在平面直角坐標系內(nèi),射線OT落在30°角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為

.

解析:(1)圓(x-2)2+y2=1的圓心為(2,0),半徑為1.要使直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1有公共點,典例突破例2.(1)(2021陜西寶雞一模)一只螞蟻在最小邊長大于4,且面積為24的三角形內(nèi)自由爬行,某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離大于2的概率為

.

(2)(2021河南鄭州三模)如圖,△OAB為等腰直角三角形,AO⊥BO,以O(shè)為圓心、以O(shè)A為半徑作大圓O,以AB為直徑作小圓.在整個圖形中隨機取一點,此點取自陰影部分的概率為(

)考點二與面積、體積有關(guān)的幾何概型解析:(1)三角形ABC的面積為24,該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離小于等于2的區(qū)域為如圖所示的三角形的陰影部分,反思感悟求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的基本思路用圖形準確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A對應(yīng)的區(qū)域,在圖形中畫出事件A對應(yīng)的區(qū)域,然后用公式(2)已知在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,PA=AB=2,現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或側(cè)面任取一點O,則四棱錐O-ABCD的體積不小于

的概率為

.

考點三與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型典例突破例3.若不等式組

表示的區(qū)域為Ω,不等式x2+y2-2x-2y+1≤0表示的區(qū)域為T,則在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點,則此點落在區(qū)域T中的概率為(

)答案:D

反思感悟幾何概型與線性規(guī)劃的交匯問題的解法:先根據(jù)約束條件作出可行域,再確定形狀,求面積大小,進而代入公式求概率.對點訓(xùn)練3(2021全國乙,理8)在區(qū)間(0,1)與(1,2)中各隨機取1個數(shù),則兩數(shù)之和大于

的概率為(

)答案:B

典例突破例4.甲、乙兩人約定晚6點到晚7點之間在某處見面,并約定甲若早到則等乙半小時,而乙早到無需等待即可離去,則甲、乙兩人能見面的概率為(

)考點四與實際生活相關(guān)的幾何概型答案:A

反思感悟生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法(1)審題:通過閱讀題目,提煉相關(guān)信息.(2)建模:利用相關(guān)信息的特征,建立概率模型.(3)解模:求解建立的數(shù)學(xué)模型.(4)結(jié)論:將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論.對點訓(xùn)練4(2021陜西榆林二模)甲、乙約定晚上七點在某校門口見面,甲晚上七點準時到了門口,此時,乙打電話告知甲路上出現(xiàn)堵車狀況,至少要過20分鐘才能到.甲決定等乙半個小時,超過半個小時乙還未到就離開,若乙在晚上七點五十之前一定能到,則兩人能見面的概率為

.

解析:由題意可知,甲在校門口等乙到7點30分,乙最早到校門口的時間為7點20分,最晚到校門口的時間為7點50分,有30分鐘,故兩人能見面的時間段為7點20分到7點30分,有10分鐘時間,所以兩人能見面的概率為考點五隨機模擬方法典例突破例5.從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(

)答案:C

解析:如圖,兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對所在的區(qū)域為圖中陰影部分(不含圓弧邊界),n個數(shù)對所在的區(qū)域為邊長為1的正方形.由題意利用幾何概型可知,反思感悟?qū)ⅵ锌醋魑粗獢?shù)表示出四分之一的圓面積,根據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與正方形面積之比約等于m與n之比,從而用m,n表示出π的近似值.對點訓(xùn)練5“割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一,他在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù),并作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ).劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形,并由此求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數(shù)值,這個結(jié)果是當時世界上圓周率計算的最精確數(shù)據(jù).如圖,當分割到圓內(nèi)接正六邊形時,某同學(xué)利用計算機隨機模擬法向圓內(nèi)隨機投擲點,計算得出